5.1測量誤差概述一、誤差來源測量誤差來源于以下三個方面：儀器測量誤差——因觀測條件限制不可避免地產(chǎn)生的測量偏差。

儀器制造上所能達到的精度具有一定的限度。儀器構(gòu)造不可能十分完善。觀測者觀測者感官的鑒別力具有一定的限度。觀測者的熟練程度和認(rèn)真程度。外界條件：大氣條件、光線及時間。

第5章測量誤差的基本知識

我們把產(chǎn)生測量誤差的這三方面因素總稱為觀測條件。觀測條件決定觀測質(zhì)量。若觀測條件相對較好，產(chǎn)生的測量誤差就相對較小。二、誤差分類1.系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差——在相同的觀測條件下對某量作一系列的觀測，如果產(chǎn)生的誤差的符號及大小表現(xiàn)出一致的傾向，即按一定的規(guī)律變化或保持為常數(shù)。例1：量距某鋼尺的尺長方程式對已知距離進行丈量，結(jié)果如下：例2：視準(zhǔn)軸不平行于水準(zhǔn)管軸對水準(zhǔn)尺讀數(shù)的影響系統(tǒng)誤差的特點：具有累計性，對測量結(jié)果影響大。

具有規(guī)律性，其影響一般可消除。消除方法：

1）用計算方法，如對丈量結(jié)果加改正數(shù)。

2）采取適當(dāng)?shù)挠^測方法，如水準(zhǔn)測量要求前后視距離相等。2.偶然誤差偶然誤差——在相同的觀測條件下對某量作一系列的觀測，如果產(chǎn)生的誤差的符號及大小都沒有表現(xiàn)出一致的傾向，即表面上沒有任何規(guī)律性。例：水準(zhǔn)尺讀數(shù)誤差、角度測量中的瞄準(zhǔn)誤差偶然誤差的產(chǎn)生總是有原因的，是多方面因素的綜合影響，當(dāng)無一因素占主導(dǎo)地位時，誤差呈隨機性。但對大量偶然誤差而言，具有統(tǒng)計規(guī)律。儀器誤差多為系統(tǒng)誤差觀測誤差是偶然誤差誤差判斷：

在一般情況下，測量誤差同時包含系統(tǒng)誤差和偶然誤差。因系統(tǒng)誤差可以消除或大大減弱，當(dāng)系統(tǒng)誤差不顯著時，可認(rèn)為測量誤差僅含有偶然誤差。偶然誤差是不能消除的，只能設(shè)法減弱其影響。本章討論的內(nèi)容是如何估計偶然誤差的影響。

(一是對被觀測量進行精度評定、二是求出被觀測量的最可靠值.)注：測量中是不容許發(fā)生錯誤的，錯誤不屬于測量誤差范圍。5.2偶然誤差的特性實例分析：β1β3β2

由于測量誤差的存在，使得三角形內(nèi)角的觀測值不等于理論值，而存在真誤差Δ

獨立觀測了96個三角形，將產(chǎn)生的真誤差按其正負(fù)號和大小并以0.5"為誤差區(qū)間排列于下表。誤差區(qū)間

dΔ"

Δ為正值

Δ為負(fù)值個數(shù)

v頻率

v/n頻率/組距個數(shù)v頻率v/n頻率/組距0.0~0.5190.1980.396200.2080.4160.5~1.0130.1350.270120.1250.2501.0~1.580.0830.16690.0940.1881.5~2.050.0520.10440.0420.0842.0~2.520.0210.04220.0210.0422.5~3.010.0100.02010.0100.0203.0以上000000

Σ4848

偶然誤差的特性：1.在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值；2.絕對值較小的誤差比絕對值較大的誤差出現(xiàn)的可能性大；3.絕對值相等的正、負(fù)誤差，其出現(xiàn)的可能性相等；4.偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測次數(shù)的無限增大而趨近于零。即左式中上式是由偶然誤差的第3特性導(dǎo)出。誤差分布曲線

如果觀測個數(shù)增大，誤差出現(xiàn)在各區(qū)間的頻率就趨向一個穩(wěn)定值。也就是說，在一定的觀測條件下，一組偶然誤差對應(yīng)著一種確定不變的誤差分布。誤差分布曲線函數(shù)式為式中稱為方差，定義為01.02.03.0

-3.0-2.0-1.0

表中統(tǒng)計結(jié)果用頻率直方圖表示長方條面積代表誤差出現(xiàn)在該區(qū)間的頻率5.3衡量精度的指標(biāo)精度——誤差分布的密集或離散的程度。Ⅰ組觀測值精度高于Ⅱ組精度高說明觀測條件好一、中誤差設(shè)對某一未知量進行了n次等精度觀測，其觀測值為，設(shè)該未知量的真值為X，相應(yīng)的真誤差為，則定義該組觀測值的中誤差m的平方為式中ΔⅠⅡ0在實際測量工作中，觀測次數(shù)n有限，只能計算出觀測值中誤差的估值測量上通常將觀測值中誤差的估值就看作為觀測值的中誤差即ΔⅠⅡ誤差分布曲線函數(shù)式可表示為設(shè)Ⅰ組觀測值的中誤差為

Ⅱ組觀測值的中誤差為即m值小，觀測精度高。二、相對誤差相對誤差——中誤差或真誤差的絕對值與相應(yīng)觀測值之比。距離丈量的相對誤差例：注意：相對誤差是一個無量綱的數(shù)值。

相對誤差這一指標(biāo)僅用來衡量距離測量精度。三、容許誤差誤差出現(xiàn)的概率Δ

-3m-2m-mm2m3m測量上，一般取2倍中誤差作為誤差的容許值，即例：水平角測回互差

豎直角指標(biāo)差的變動范圍錯誤誤差四、用觀測值的改正數(shù)計算中誤差（5.5節(jié)）設(shè)某量真值為X；等精度觀測值為1.觀測值的算術(shù)平均值證明：當(dāng)將上組式取和，再除以n，得根據(jù)偶然誤差的第四特性所以可以認(rèn)為算術(shù)平均值是最接近真值的，也稱為最可靠值。2.觀測值的改正數(shù)——觀測值的改正數(shù)3.觀測值的中誤差因為有以上兩式相加，得代入上式并移項上式兩邊平方求和式中上式為而取上式平方因為偶然誤差，根據(jù)偶然誤差的第四特性，有當(dāng)n為有限值時，第二項的值遠(yuǎn)比第一項的值要小，可忽略不計。因此有根據(jù)中誤差的定義，前式寫為上式變換成則利用觀測值的改正數(shù)計算觀測值的中誤差的公式為注意：只有當(dāng)n較大時，計算中誤差才有意義。4.算術(shù)平均值的中誤差例1：對某角觀測6個測回，求觀測值的中誤差和算術(shù)平均值的中誤差。觀測值vvv計算1136°48'30"-4

162

4826

0

03

4828

-2

44

4824

+2

45

4825

+1

16

4823

+3

9X=136°48'26"[v]=0[vv]=34

提高算術(shù)平均值的精度的兩個途徑：1）通過改善觀測條件，使m值減小。2）增加觀測次數(shù)。例2：對某直線丈量了4次，丈量結(jié)果為246.535m、246.548m、246.521m、246.529m。求其算術(shù)平均值、算術(shù)平均值的中誤差及相對誤差。5.4誤差傳播定律

某些未知量，例如點的坐標(biāo)X、Y，高程H等都是直接觀測量的函數(shù)。函數(shù)的中誤差與直接觀測量的中誤差之間存在一定的函數(shù)關(guān)系，闡述這種函數(shù)關(guān)系的定律被稱為誤差傳播定律。由于的存在，使函數(shù)Z亦產(chǎn)生相應(yīng)的真誤差。取上式全微分設(shè)有一般函數(shù)式中為可直接觀測的未知量，設(shè)的獨立觀測值為，其相應(yīng)的中誤差為、真誤差一、誤差傳播定律都很小，可用因此有設(shè)有將以上各式等號兩邊平方后再相加得上式兩端除以k，有根據(jù)偶然誤差的第四特性，有根據(jù)中誤差的定義，上式可寫成或上式為一般函數(shù)的誤差傳播定律。式中例1：證明算術(shù)平均值的中誤差為算術(shù)平均值則因為等精度觀測值，故有函數(shù)對各自變量的偏導(dǎo)數(shù)根據(jù)誤差傳播定律，有

例2：已知觀測值求上式全微分式中將全微分式轉(zhuǎn)換成中誤差誤差傳播定律應(yīng)用總結(jié)：對于一般函數(shù)設(shè)的獨立觀測值為，其相應(yīng)的中誤差為式中取上式全微分轉(zhuǎn)換成中誤差平方的表達式二、應(yīng)用舉例水準(zhǔn)測量的精度（1）一個測站的高差中誤差單儀高法：

設(shè)h的中誤差為a、b的中誤差為雙儀高法：說明：兩個等精度獨立觀測值之和或差的中誤差，等于觀測值中誤差的倍。

兩個等精度獨立觀測值的平均值的中誤差，等于觀測值中誤差的倍。（2）一個測段的高差中誤差A(yù)B一測回方向值設(shè)：一測回方向值中誤差為水平角測量的精度DJ6級經(jīng)緯儀的一測回方向