第14章

超靜定結構概述用變形比較法解靜不定結構用力法解靜不定結構

對稱及反對稱性質(zhì)的利用本章應用能量法求解超靜定系統(tǒng)。應用能量法求解超靜定系統(tǒng)，特別是對桁架、剛架等構成的超靜定系統(tǒng)，將更加有效。求解超靜定問題的關鍵是建立補充方程。超靜定系統(tǒng)，按其多余約束的情況，可以分為外力超靜定系統(tǒng)和內(nèi)力超靜定系統(tǒng)?！?4-1超靜定結構概述1靜不定結構

外力靜不定由于外部的多余約束而構成的超靜定系統(tǒng)，一般稱為外力超靜定系統(tǒng)。求解外力超靜定系統(tǒng)的基本方法，是解除多余約束，代之以多余約束反力，根據(jù)多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件建立補充方程進行求解。

內(nèi)力靜不定有些結構，支座反力可以由靜力平衡條件全部求出，但無法應用截面法求出所有內(nèi)力，這類結構稱為內(nèi)力超靜定系統(tǒng)。求解內(nèi)力超靜定系統(tǒng)，需要解除桿件或桿系的內(nèi)部約束。2靜不定次數(shù)的確定靜不定次數(shù)=未知力個數(shù)-獨立平衡方程數(shù)外力靜不定次數(shù)的確定根據(jù)約束的性質(zhì)及力系的類型來確定。內(nèi)力靜不定次數(shù)的確定

平面桁架未知力個數(shù)=約束反力數(shù)+桿件數(shù)獨立方程數(shù)=節(jié)點數(shù)×2

剛架對于閉口的平面剛架，為三次內(nèi)力靜不定；每增加一個閉合框架，就增加三次靜不定。3靜定基和相當系統(tǒng)靜定基(基本靜定系)靜不定系統(tǒng)在解除某些約束后得到的靜定系統(tǒng).靜定基不唯一。相當系統(tǒng)在靜定基上作用外載荷和被解除約束的約束反力的系統(tǒng)。與靜不定系統(tǒng)靜力等效。例：作圖示梁的彎矩圖。解：即解得變形協(xié)調(diào)條件為另解：即解得變形協(xié)調(diào)條件為例：作圖示等剛度剛架的彎矩圖。解：變形協(xié)調(diào)條件為即解得§14-2用力法解靜不定結構1力法與位移法

力法

位移法2力法解靜不定

例子

靜不定次數(shù)1次

靜定基

相當系統(tǒng)

變形協(xié)調(diào)條件

位移的表示

△1X1的表示在B點沿X1的方向加單位力對線彈性結構，有:

代入變形協(xié)調(diào)條件，得到:這就是求解一次靜不定問題的力法正則方程。其中每一項的物理意義是位移?！?F表示:在X1作用點沿X1方向由于外載荷作用而引起的位移。11表示:在X1作用點沿X1方向由于X1處的單位載荷引起的位移。可用莫爾積分表示為:注意：外載荷中不包括X1。對本例用莫爾積分法，或圖乘法可求出由正則方程解出：3N次力法正則方程先以三次靜不定問題為例相當系統(tǒng)變形協(xié)調(diào)條件:變形協(xié)調(diào)條件:同理，對N次靜不定問題，有其中的常數(shù)項△iF

表示：在Xi作用點沿Xi方向由于外載荷而引起的位移。可用莫爾積分表示為:同理，對N次靜不定問題，有其中的系數(shù)ij

表示：在Xi作用點沿Xi方向由于Xj處的單位載荷引起的位移。根據(jù)位移互等定理，有：ij可用莫爾積分表示為：解靜不定問題的一般步驟1) 判定靜不定次數(shù)；2) 選擇靜定基，得到相當系統(tǒng)；3) 分解載荷：分別將外載荷、各單位載荷作 用在靜定基上；4) 畫出各載荷下的內(nèi)力(彎矩)圖或?qū)懗鰞?nèi)力

(彎矩)方程；5) 用圖乘法或莫爾積分等求出△iF和ij；6) 求解正則方程，解出未知力。例14.4已知:q,a,

EI為常數(shù)。求：靜不定問題。解：

靜不定次數(shù)3次

靜定基

相當系統(tǒng)分解載荷

外載荷

單位載荷分解載荷

外載荷

單位載荷用圖乘法求系數(shù)

外載荷的彎矩圖用圖乘法求系數(shù)

外載荷的彎矩圖

單位載荷的彎矩圖

單位載荷的彎矩圖

計算常數(shù)項△iF

△1F為MF圖與M1圖互乘△2F為MF圖與M2圖互乘

計算常數(shù)項△iF

△1F為MF圖與M1圖互乘△2F為MF圖與M2圖互乘△3F為MF圖與M3圖互乘

計算系數(shù)ij

11為M1圖與M1圖自乘22為M2圖與M2圖自乘33為M3圖與M3圖自乘12為M1圖與M2圖自乘13為M1圖與M3圖自乘23為M2圖與M3圖自乘

將求出的系數(shù)和常數(shù)代入正則方程，有:例：平面剛架受力如圖，各桿EI=常數(shù)。試求C處的約束力及支座A、B的約束反力。解：由力法正則方程得例：解：例：圖示剛架EI為常量，畫出剛架的彎矩圖。解：M

圖由力法正則方程得例：試求圖示平面剛架的支座反力。已知各桿EI=常數(shù)。解：由力法正則方程得例：兩端固定的梁，跨中受集中力F作用，設梁的抗彎剛度為EI，不計軸力影響。求梁中點的撓度。解：由力法正則方程得例：已知梁的抗彎剛度為EI，不計軸力影響。求梁的支反力。解：由得例：剛架的抗彎剛度為

E

I，承受力

F

后，支座

C

有一下陷量，試求剛架

C

處的反力。解：由得例：已知剛架的抗彎剛度為E

I。試求支座

B

處的反力。解：由得二次拋物線n次拋物線另解：（略）例：已知剛架的抗彎剛度為

E

I,試求剛架內(nèi)最大彎矩及其作用位置。解：作用于固定端

A由得例：已知桁架各桿的拉壓剛度為

EA，求各桿的軸力。解：由得例2已知:F,a,

各桿EA相同。求：各桿內(nèi)力。解：

靜不定次數(shù)

1次

靜定基

相當系統(tǒng)這里，1的物理意義是4號桿切口處的相對位移。

正則方程所以：F15432aa6F154326X1

分解載荷

外載荷作用時的內(nèi)力F154326X1

單位載荷作用時的內(nèi)力1543261

計算△1F

計算△1F

計算11

代入正則方程，解得:

由疊加原理，各桿的內(nèi)力:例3:已知四分之一圓曲桿，F(xiàn),a,EI為常數(shù)。求：彎矩圖。解：

靜不定次數(shù)1次

靜定基

相當系統(tǒng)

對曲桿，不能用圖乘法，用莫爾積分求。

正則方程

分解載荷FABa45°45°X1FAB45°45°

分解載荷

外載荷BC段CA段

單位載荷的彎矩方程

單位載荷

外載荷的彎矩方程FABC1ABC

用莫爾積分求△1F

用莫爾積分求11

1ABC

代入正則方程，得:

由疊加原理，可得到彎矩方程BC段CA段§14-3對稱及反對稱性質(zhì)的利用1對稱結構的對稱變形和反對稱變形

對稱結構若結構的幾何尺寸、形狀，構件材料及約束條件均對稱于某一軸，則稱此結構為對稱結構。

對稱載荷若載荷的作用位置，大小和方向也對稱于結構的對稱軸，則稱為對稱載荷。

反對稱載荷若載荷的作用位置，大小對稱于結構的對稱軸，但方向反對稱，則稱為反對稱載荷。對稱結構在對稱載荷作用下對稱變形對稱結構在反對稱載荷作用下反對稱變形其中的常數(shù)項△iF

表示：在Xi作用點沿Xi方向由于外載荷而引起的位移?？捎媚獱柗e分表示為:N次超靜定力法的正則方程其中的系數(shù)ij

表示：在Xi作用點沿Xi方向由于Xj處的單位載荷引起的位移。

根據(jù)位移互等定理，有：ij可用莫爾積分表示為：內(nèi)容回顧解靜不定問題的一般步驟1) 判定靜不定次數(shù)；2) 選擇靜定基，得到相當系統(tǒng)；3) 分解載荷：分別將外載荷、各單位載荷作 用在靜定基上；4) 畫出各載荷下的內(nèi)力(彎矩)圖或?qū)懗鰞?nèi)力

(彎矩)方程；5) 用圖乘法或莫爾積分等求出△iF和ij；6) 求解正則方程，解出未知力。對稱及反對稱性質(zhì)的利用（以3次超靜定為例）對稱結構與對稱載荷對稱結構：若結構的幾何尺寸、形狀，構件材料及約束條件均對稱于某一軸，則稱此結構為對稱結構。對稱載荷：若載荷的作用位置，大小和方向也對稱于結構的對稱軸，則稱為對稱載荷。2對稱結構受對稱載荷時的特點對稱結構受對稱載荷作用時，在對稱截面上，反對稱內(nèi)力（剪力）為零。證明：從對稱截面截開。即要證明，X2=0證明：從對稱截面截開。即要證明，X2=0用圖乘法可證明△2F，

21和23

均為零。由正則方程由MF和M2圖由M1和M2圖由M2和M3圖又所以用圖乘法可證明△2F，

21和23

均為零。用圖乘法可證明△2F，

21和23

均為零。由正則方程對稱結構受對稱載荷作用時，在對稱截面上，反對稱內(nèi)力（剪力）為零。3對稱結構受反對稱載荷時的特點對稱結構受反對稱載荷作用時，在對稱截面上，對稱內(nèi)力（彎矩和軸力）為零。證明：從對稱截面截開。即要證明：

X1=0，

X3=0證明：從對稱截面截開。即要證明：

X1=0，

X3=0由正則方程用圖乘法可證明△1F，△3F，

12和23

均為零。由MF和M2圖由M1和M2圖由M2和M3圖又所以用圖乘法可證明△1F，△3F，

21和23

均為零。由MF和M3圖用圖乘法可證明△1F

，

△3F，

21和23

均為零。由正則方程對稱結構受反對稱載荷作用時，在對稱截面上，對稱內(nèi)力（軸力和彎矩）為零。++4可轉(zhuǎn)化為對稱載荷或反對稱載荷的情況例：平面框架受切向分布載荷q作用，求截面A的剪力、彎矩和軸力。解：注：對稱結構受反對稱載荷作用時，在對稱截面上，對稱內(nèi)力（彎矩和軸力）為零。例：圖示小曲率桿在力偶與均勻分布剪流作用下處于平衡狀態(tài),已知、與常數(shù),試求截面A的剪力、彎矩和軸力。解：例：等截面平面框架的受力情況如圖所示。試求最大彎矩及其作用位置。解：作用于框架四條邊的正中間例：已知結構的抗彎剛度為EI，求對稱軸上

A

截面的內(nèi)力。解：由得所以例：已知剛架的抗彎剛度為EI。試求截面

A

處彎矩。解：由得另解：例：圖示平面桁架，各桿的彈性模量

E

皆相同，CA、AB、BF

三桿的橫截面面積均為，其余各桿面積均為。試求桿

AB

的軸力。解：將載荷分解為正對稱與反對稱，在反對稱情況下桿AB的軸力為零。=+由得例：圖示桁架各桿的拉壓剛度為

EA，試求各桿軸力。解：

由得

解：例：圖示桁架各桿的拉壓剛度為

EA，試求各桿軸力。(a

為1、2、3桿的長度)由得另解：(a

為1、2、3桿的長度)由得例：圖示桁架，各桿的拉壓剛度均為EA，試求支反力。解：由得再由靜力平衡方程可求得其它支反力，略。例：圖示桁架，各桿長度均為a，拉壓剛度均為EA，試求各桿軸力。解：由得各桿軸力均為例：已知圖示半圓曲桿的抗彎剛度為EI，試求支反力。解：由得1靜不定結構

外力靜不定由于外部的多余約束而構成的超靜定系統(tǒng)，一般稱為外力超靜定系統(tǒng)。求解外力超靜定系統(tǒng)的基本方法，是解除多余約束，代之以多余約束反力，根據(jù)多余約束處的變形協(xié)調(diào)條件建立補充方程進行求解。本章小結

內(nèi)力靜不定有些結構，支座反力可以由靜力平衡條件全部求出，但無法應用截面法求出所有內(nèi)力，這類結構稱為內(nèi)力超靜定系統(tǒng)。求解內(nèi)力超靜定系統(tǒng)，需要解除桿件或桿系的內(nèi)部約束。2靜不定次數(shù)的確定靜不定次數(shù)=未知力個數(shù)-獨立平衡方程數(shù)外力靜不定次數(shù)的確定根據(jù)約束的性質(zhì)及力系的類型來確定。內(nèi)力靜不定次數(shù)的確定

平面桁架未知力個數(shù)=約束反力數(shù)+桿件數(shù)獨立方程數(shù)=節(jié)點數(shù)×2

剛架對于閉口的平面剛架，為三次內(nèi)力靜不定；每增加一個閉合框架，就增加三次靜不定。3靜定基和相當系統(tǒng)靜定基(基本靜定系)靜不定系統(tǒng)在解除某些約束后得到的靜定系統(tǒng).靜定基不唯一。相當系統(tǒng)在靜定基上作用外載荷和被解除約束的約束反