人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第一章測(cè)試題及答案解析第一章空間向量與立體幾何測(cè)試題考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知，，且，則（

）A．， B．，C．， D．，2．在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．3．如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則（

）A． B．C． D．4．如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與所成的角可能是B．平面平面C．三棱錐的體積不是定值D．平面截正方體所得的截面可能是直角三角形5．下列說(shuō)法中正確的是（）A．若，則、的長(zhǎng)度相等，方向相同或相反B．若向量是向量的相反向量，則C．空間向量的減法滿足結(jié)合律D．在四邊形中，一定有6．如圖所示，在正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①DP長(zhǎng)度為定值；②三棱錐的體積為定值；③任意點(diǎn)P，都有；④存在點(diǎn)P，使得平面其中正確的是（

）A．①③ B．②④ C．②③ D．①④7．如圖所示，在三棱柱中，底面，，，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，則直線與所成的角是（）A． B． C． D．8．已知直角梯形ABCD滿足：AD∥BC，CD⊥DA，且△ABC為正三角形．將△ADC沿著直線AC翻折至△AD'C如圖，且，二面角、、的平面角大小分別為α，β，γ，直線，，與平面ABC所成角分別是θ1，θ2，θ3，則（

）A．B．C．D．二、多選題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)或者多項(xiàng)是符合題目要求的.9．設(shè)是空間的一組基底，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，，可以為任意向量B．對(duì)空間任一向量，存在唯一有序?qū)崝?shù)組，使C．若，，則D．可以作為構(gòu)成空間的一組基底10．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，則下列四個(gè)命題正確的是（

）A．兩條異面直線和所成的角為B．直線與平面所成的角等于C．點(diǎn)D到面的距離為D．三棱柱外接球半徑為11．在下列條件中，不能使M與A，B，C一定共面的是（

）A．＝2－－ B．C． D．＋＋＋12．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線段，上，則下列命題正確的是（

）A．直線BC與平面所成的角等于 B．點(diǎn)到平面的距離為C．異面直線和所成的角為. D．線段長(zhǎng)度的最小值為三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．已知向量為平面的法向量，點(diǎn)在內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_______________14．在正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，已知，，，用表示，則______.15．已知是空間兩個(gè)向量，若，則________．16．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為4，，分別是棱和的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面，當(dāng)?shù)耐饨訄A面積最小時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)___________.

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．如圖，四棱錐的側(cè)面是正三角形，底面是直角梯形，，，為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若，求線與平面所成角的正弦值.18．如圖，在四棱錐中，O是BD的中點(diǎn)，平面ABCD，，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)，若二面角的余弦值為，求的值.19．如圖，在空間四邊形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)，，.（1）試用向量，，表示向量；（2）若，，，求的值.20．如圖，在幾何體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面，，且，是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求平面和平面的夾角的余弦值.21．如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，與棱相交于點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值.22．如圖，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2.（I）若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：；（II）求二面角的正弦值；（III）若點(diǎn)P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60°，求線段DP的長(zhǎng).答案解析考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知，，且，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】【分析】利用向量平行的充要條件列出關(guān)于x、y的方程組，解之即可求得x、y的值.【詳解】，，則，由，可得，解之得故選：B2．在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為A． B． C． D．【答案】C【解析】【詳解】分析：先建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)向量夾角與線線角相等或互補(bǔ)關(guān)系求結(jié)果.詳解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD1為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以,因?yàn)椋援惷嬷本€與所成角的余弦值為，選C.點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.3．如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點(diǎn)，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則和空間向量基本定理相關(guān)知識(shí)求解即可.【詳解】由題意得，.故選：D4．如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線與所成的角可能是B．平面平面C．三棱錐的體積不是定值D．平面截正方體所得的截面可能是直角三角形【答案】B【解析】【分析】判斷結(jié)論是否正確,需要每個(gè)選項(xiàng)都驗(yàn)證;對(duì)于A選項(xiàng),在該空間幾何體中建立空間直角坐標(biāo)系,用向量法求出異面直線所成的角即可;B選項(xiàng)用面面垂直的判定證明平面平面;C選項(xiàng)用換底法;得出體積為定值;D選項(xiàng)則直接觀測(cè)即可判斷.【詳解】對(duì)于A，以D為原點(diǎn)，DA為軸，DC為軸，DD1為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),設(shè),,,,直線D1P與AC所成的角為，故A錯(cuò)誤;對(duì)于B，正方體ABCD-ABCD中，，平面，平面，∴平面平面,故B正確;對(duì)于C，,P到平面的距離BC=1，∴三棱錐的體積:為定值，故C錯(cuò)誤;對(duì)于D，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接并延長(zhǎng)，若的延長(zhǎng)線交于，如圖，此時(shí)截面為四邊形，若的延長(zhǎng)線交于，設(shè)交點(diǎn)為，此時(shí)截面為，設(shè)，則，，故，故不為直角三角形，故D錯(cuò)誤.故選：B.5．說(shuō)法中正確的是（）A．若，則、的長(zhǎng)度相等，方向相同或相反B．若向量是向量的相反向量，則C．空間向量的減法滿足結(jié)合律D．在四邊形中，一定有【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的概念可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用相反向量的概念可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用空間向量的線性運(yùn)算法則可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用向量加法的平行四邊形法則可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A，向量的模相等指的是向量的長(zhǎng)度相等，方向具有不確定性，因而不一定方向相同或相反，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，相反向量指的是大小相等，方向相反的兩個(gè)向量，因而相反向量滿足模長(zhǎng)相等，所以B正確；對(duì)于C，空間向量減法結(jié)合律指的是，因而由運(yùn)算可得空間向量減法不滿足結(jié)合律，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，滿足的一定是平行四邊形，一般四邊形是不滿足的，因而D錯(cuò)誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量有關(guān)概念的理解，同時(shí)也考查了空間向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.6．如圖所示，在正方體中，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①DP長(zhǎng)度為定值；②三棱錐的體積為定值；③任意點(diǎn)P，都有；④存在點(diǎn)P，使得平面其中正確的是（

）A．①③ B．②④ C．②③ D．①④【答案】C【解析】【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可判斷①的正誤，利用錐體的體積公式可判斷②的正誤，利用空間向量法可判斷③④的正誤．【詳解】如下圖所示：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、，設(shè)點(diǎn)，其中.對(duì)于①，不是定值，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，在正方體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，則平面，，則點(diǎn)到平面的距離為定值，而的面積也為定值，所以，三棱錐的體積為定值，②正確；對(duì)于③，，，所以，，因此，對(duì)任意點(diǎn)，都有，③正確；對(duì)于④，，，，，這樣的不存在，所以，不存在點(diǎn)，使得平面，④錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于建系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量的運(yùn)算求解判斷．7．如圖所示，在三棱柱中，底面，，，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，則直線與所成的角是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出和的坐標(biāo)，進(jìn)而由夾角公式可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．由于，不妨取，則，，，，∴，，∴，又，∴，即直線與所成的角為.故選：C．8．已知直角梯形ABCD滿足：AD∥BC，CD⊥DA，且△ABC為正三角形．將△ADC沿著直線AC翻折至△AD'C如圖，且，二面角、、的平面角大小分別為α，β，γ，直線，，與平面ABC所成角分別是θ1，θ2，θ3，則（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由題意得到平面圖以及翻折的立體示意圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，G為DE與AF的交點(diǎn)，可知點(diǎn)D在平面ABC上的投影在DE上，由，判斷D投影點(diǎn)在的位置，根據(jù)投影點(diǎn)到AB，BC，CA的距離判斷二面角的大小關(guān)系，再設(shè)的高為h，由，即可得到線面角的大小關(guān)系.【詳解】由題意可知，不妨設(shè)，則.如圖所示，取點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，連結(jié)AF，DE，設(shè)G為DE與AF的交點(diǎn)，DE與AC的交于點(diǎn)H.所以，則，則旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)在平面ABC上的投影在DE上.當(dāng)點(diǎn)的投影為點(diǎn)G時(shí)，則；當(dāng)點(diǎn)的投影在DG上時(shí)，則；當(dāng)點(diǎn)的投影在GE上時(shí)，則；當(dāng)點(diǎn)投影為點(diǎn)E時(shí)，則.故要使，則點(diǎn)的投影在點(diǎn)G，E兩點(diǎn)之間，此時(shí)投影點(diǎn)到AB，BC，CD的距離為所以二面角最大，其次為二面角，而二面角最小，故；設(shè)三棱錐的高為h.則.因?yàn)?，所?因?yàn)椋怨蔬x：A二、多選題：本大題共4小題，每個(gè)小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)或者多項(xiàng)是符合題目要求的.9．設(shè)是空間的一組基底，則下列結(jié)論正確的是（

）A．，，可以為任意向量B．對(duì)空間任一向量，存在唯一有序?qū)崝?shù)組，使C．若，，則D．可以作為構(gòu)成空間的一組基底【答案】BD【解析】根據(jù)可作為基底的一組向量的性質(zhì)，結(jié)合向量垂直、共線的判定，判斷各選項(xiàng)的正誤即可.【詳解】A選項(xiàng)：，，為不共線的非零向量；B選項(xiàng)：由向量的基本定理知，空間任一向量，存在唯一有序?qū)崝?shù)組，使；C選項(xiàng)：，，則不一定垂直；D選項(xiàng)：中三個(gè)向量間無(wú)法找到實(shí)數(shù)使得它們之間有的等式形式成立，即可以構(gòu)成基底.故選：BD【點(diǎn)睛】本題考查了向量的基本定理，理解作為基底向量的非零、不共線性質(zhì)，應(yīng)用向量垂直、共線判定正誤.10．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，則下列四個(gè)命題正確的是（

）A．兩條異面直線和所成的角為B．直線與平面所成的角等于C．點(diǎn)D到面的距離為D．三棱柱外接球半徑為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)異面直線的求法易得：異面直線和所成的角為∠；對(duì)于B：可證平面，則直線與平面所成的角為；對(duì)于C：根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換，求點(diǎn)D到面的距離；對(duì)于D：三棱柱的外接球即為正方體的外接球，直接求正方體外接球的半徑即可．【詳解】連接、∵∥且，則四邊形為平行四邊形，∴異面直線和所成的角為∠∵，則△為正三角形，即∠A不正確；連接在正方形中，∵平面，平面∴，則平面∴直線與平面所成的角為B正確；根據(jù)等體積轉(zhuǎn)換可知：即，則C正確；三棱柱的外接球即為正方體的外接球則外接球的半徑即為正方體體對(duì)角線的一半，即D正確；故選：BCD．11．在下列條件中，不能使M與A，B，C一定共面的是（

）A．＝2－－ B．C． D．＋＋＋【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)四點(diǎn)共面的條件對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng)．【詳解】與，，一定共面的充要條件是，對(duì)于A選項(xiàng)，由于，所以不能得出共面，對(duì)于B選項(xiàng)，由于，所以不能得出共面，對(duì)于C選項(xiàng)，由于，則為共面向量，所以共面，對(duì)于D選項(xiàng)，由得，而，所以不能得出共面．故選：ABD12．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別在線段，上，則下列命題正確的是（

）A．直線BC與平面所成的角等于 B．點(diǎn)到平面的距離為C．異面直線和所成的角為. D．線段長(zhǎng)度的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)直線和平面所成的夾角，點(diǎn)到平面的距離，異面直線所成的角以及異面直線距離的計(jì)算方法進(jìn)行逐項(xiàng)判斷.【詳解】解：由題意得：正方體的棱長(zhǎng)為2對(duì)于選項(xiàng)A：連接，設(shè)交于O點(diǎn)平面即為直線BC與平面所成的角，且，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：連接，設(shè)交于O點(diǎn)平面點(diǎn)到平面的距離為,故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：連接、，由正方體性質(zhì)可知∥故異面直線和所成的角即為和所成的角又為等邊三角形故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：過(guò)作，過(guò)作，連接PQ為異面直線之間的距離，這時(shí)距離最?。辉O(shè)，為等腰直角三角形，則，也為等腰直角三角形，則為直角三角形故當(dāng)時(shí)，取最小值，故，故D正確；故選：ABD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．已知向量為平面的法向量，點(diǎn)在內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_______________【答案】【解析】【分析】把點(diǎn)到平面距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積問(wèn)題求解．【詳解】解：，0，，點(diǎn)到平面的距離為．故答案為：.14．在正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，已知，，，用表示，則______.【答案】【解析】【分析】先求出，再求出，即得解.【詳解】又是的中點(diǎn),，，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.15．已知是空間兩個(gè)向量，若，則________．【答案】【解析】【分析】將將兩邊平方，求出，再根據(jù)平面向量的夾角公式計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】將化為，得，即，解得，所以.故答案為：16．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為4，，分別是棱和的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面，當(dāng)?shù)耐饨訄A面積最小時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)___________.【答案】【解析】【分析】由已知，證明，取的中點(diǎn)，連接，證明，然后證明面平面，找到動(dòng)點(diǎn)在側(cè)面的軌跡，根據(jù)的外接圓面積最小確定點(diǎn)的位置，然后先計(jì)算外接圓半徑，然后使用勾股定理再計(jì)算三棱錐的外接球半徑，從而求得其表面積即可.【詳解】由已知，如圖所示，連接，因?yàn)?，分別是棱和的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以,平面，平面，所以平面，取的中點(diǎn)，連接，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，分別是棱和的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面，而平面，，所以平面平面，而是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面，所以是棱內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，在中，，所以外接圓半徑為斜邊的一半，要使外接圓面積最小，即外接圓半徑最小，即取得最小值，又，所以為中點(diǎn)時(shí)取得最小值，由，，，為中點(diǎn)，所以，設(shè)的外接圓半徑為，，三棱錐的外接球半徑為，所以，所以三棱錐的外接球表面積為.故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．如圖，四棱錐的側(cè)面是正三角形，底面是直角梯形，，，為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若，求線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）取中點(diǎn)，連，，可證明，，進(jìn)而可得平面，即可求證；（2）以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量和的坐標(biāo)，利用即可求解.【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連，，因?yàn)槭钦切危?又是中點(diǎn)，所以.因?yàn)椋?所以，因?yàn)椋?平而，所以平面，平面，所以.（2），又，所以，則.又，所以平面，所以平面平面，，平面，平面平面，所以平面.如圖以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，，，設(shè)平面的法向量為，所以即，令，可得，，可取，又，所以.即直線與平面所成角的正弦值為.18．如圖，在四棱錐中，O是BD的中點(diǎn)，平面ABCD，，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)，若二面角的余弦值為，求的值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)，由平面PDB，得到，再由，得到，然后利用線面垂直和面面垂直的判定定理證明；（2）以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，NA，NB所在直線分別為x，y軸，過(guò)點(diǎn)N且與直線OP平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面BDM的一個(gè)法向量和平面PDC的一個(gè)法向量為，然后由求解.【詳解】（1）如圖所示：設(shè)，連接.因?yàn)?，O為BD的中點(diǎn)，所以，即O為的中心.又因?yàn)椋?由平面ABCD，可得.又，所以平面PDB，所以.因?yàn)?，，所以，，，，所以，則.又，所以平面APC.因?yàn)槠矫鍭DP，所以平面平面APC.（2）以N為坐標(biāo)原點(diǎn)，NA，NB所在直線分別為x，y軸，過(guò)點(diǎn)N且與直線OP平行的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）得，，，，，.所以，，..設(shè)平面BDM的一個(gè)法向量為，則即得,令，得.所以平面BDM的一個(gè)法向量為.設(shè)平面DPM的一個(gè)法向量為，則即令，得,所以平面PDC的一個(gè)法向量為.所以，整理得，解得或.當(dāng)時(shí)，二面角的平面角為鈍角，不符合題意.故.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1、利用向量求異面直線所成的角的方法：設(shè)異面直線AC，BD的夾角為β，則cosβ＝.2、利用向量求線面角的方法：(1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角)；(2)通過(guò)平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．3、利用向量求面面角的方法：就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．19．如圖，在空間四邊形中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，設(shè)，，.（1）試用向量，，表示向量；（2）若，，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】(1）根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)求出即可；(2）根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)代入計(jì)算即可.【詳解】（1），故∵點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，故（2）由題意得故故20．如圖，在幾何體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面，，且，是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求平面和平面的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)F，連接EF，，由四邊形是平行四邊形即可求解；（2）采用建系法，以為軸，為軸，垂直底面方向?yàn)檩S，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合二面角夾角余弦公式即可求解.(1)證明：因?yàn)闉檎切?，為的中點(diǎn)，則，又，，，取的中點(diǎn)，連接，，所以，又，故，，所以四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，故平面；(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，同理求出平面的法向量為，所以，故平面和平面夾角的余弦值為.21．如圖，在直三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，與棱相交于點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，由中位線定理證明，再由線面平行的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得出二面角的正弦值.(1)連接交于點(diǎn)，連接在直三棱柱中，，是的中點(diǎn)是中點(diǎn)又是的中點(diǎn)，.平面，平面平面(2)在直三棱柱中，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的法向量為且，，取，則同理可得出平面的法向量設(shè)二面角的平面角為，則22．如圖，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，