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文檔簡介
引言正如有限中包含著無窮級數(shù),而無限中呈現(xiàn)極限一樣,無限之靈魂居于細(xì)微之處,而最緊密地趨近極限卻并無止境.區(qū)分無窮大之中的細(xì)節(jié)令人喜小中見大,多么偉大的神力.------雅克.伯努利無窮級數(shù)是數(shù)與函數(shù)的一種重要表達(dá)形式,也是微積分理論研究無窮級數(shù)在表達(dá)函數(shù)、研究函數(shù)的性質(zhì)、計算函數(shù)值以及求解微分方程等方面悅!與實(shí)際應(yīng)用中極其有力的工具.都有著重要的應(yīng)用.的另一種形式,但無論在研究極限的存在性還是在計算這種極限的時候,這種形式都顯示出很大的優(yōu)本章先介紹無窮級數(shù)的一些基本內(nèi)容,然后再討論常數(shù)項(xiàng)級數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級數(shù),并著重討論如何將函數(shù)展開成冪級數(shù)的問題.越性.研究無窮級數(shù)及其和,可以說是研究數(shù)列及其極限一、問題的提出二、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念三、等比級數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用四、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)五、小結(jié)第一節(jié)常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念和性質(zhì)一、問題的提出我們在前面所學(xué)的定積分,所表達(dá)的是一類和式極限。有限和的極限實(shí)際上是無窮多個數(shù)相加之和,所謂和式極限存在是指無窮多項(xiàng)相加之和是一個有限數(shù)。下面我們將專門研究無窮和的問題,并把無窮多個數(shù)相加的式子稱為無窮級數(shù),簡稱級數(shù)。
“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”,如果把每天截取的棒長相加,到第n天所得之棒長之和為:
此時上式中的加項(xiàng)無窮增多,成為無窮多個數(shù)相加的式子,這就是級數(shù)。計算棒長顯然總的棒長小于1,并且n的值愈大,其數(shù)值愈接近于1;當(dāng)時,的極限為1。二、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念設(shè)有無窮數(shù)列稱和式(1)為(常數(shù)項(xiàng))無窮級數(shù),簡稱為級數(shù).其中稱為級數(shù)的一般項(xiàng)或通項(xiàng).級數(shù)(1)的前項(xiàng)的和(2)稱為級數(shù)(1)的前項(xiàng)部分和.時,當(dāng)依次取它們構(gòu)成一個新的數(shù)列即數(shù)列稱為部分和數(shù)列.例1寫出級數(shù)一般項(xiàng).解分母是偶數(shù)的連乘積,而且第一項(xiàng)為偶數(shù),二項(xiàng)是兩個偶數(shù)之積,第三項(xiàng)是三個偶數(shù)之積,,第項(xiàng)是個偶數(shù)之積,故可寫成而分子為奇數(shù),故第項(xiàng)為于是該級數(shù)的一般項(xiàng)為的第例2已知級數(shù)的前項(xiàng)的部分和求這個級數(shù).解因?yàn)樗詮亩仕蠹墧?shù)為.2.級數(shù)的收斂與發(fā)散定義如果級數(shù)的部分和數(shù)列存在極限即則稱無窮級數(shù)收斂,極限稱為級數(shù)的和,并寫成如果沒有極限,則稱無窮級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,如果級數(shù)收斂于則部分和們之間的差(3)稱為級數(shù)的余項(xiàng).顯然有而是用近似代替所產(chǎn)生的誤差.注:按定義,級數(shù)與數(shù)列同時收斂或同時它例3討論級數(shù)的收斂性.解所以即題設(shè)級數(shù)收斂,其和為1.解故所給算術(shù)級數(shù)是發(fā)散的
例6證明一反證法證明二三、等比級數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)學(xué)上的應(yīng)用1.等比級數(shù)(幾何級數(shù))定義
其中叫做公比.
2.等比級數(shù)(幾何級數(shù))斂散性定理
收斂
發(fā)散
發(fā)散
發(fā)散
綜上解已知級數(shù)為等比級數(shù),四、無窮級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng),不會改變級數(shù)的收斂性.證這里只證明“改變級數(shù)的前面有限項(xiàng)不會改變級數(shù)的收斂性”,其它兩種情況容易由此結(jié)果設(shè)有級數(shù)(1)得到一個新的級數(shù)(2)推出.若改變它的前個有限項(xiàng),設(shè)級數(shù)(1)的前項(xiàng)和為則設(shè)級數(shù)(2)的前項(xiàng)和為則于是,數(shù)列與具有相同的收斂性,即級數(shù)(1)與(2)具有相同的收斂性.性質(zhì)2如果級數(shù)分別收斂于和則對任意常數(shù)級數(shù)收斂,且證設(shè)級數(shù)及的部分和分別為及則于是因此收斂,且結(jié)論:收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.問題:1.級數(shù)一個收斂一個發(fā)散能否得出肯定結(jié)論?2.兩個級數(shù)都發(fā)散能否得出肯定結(jié)論?(1.發(fā)散;2.不一定.)設(shè)級數(shù)收斂,發(fā)散,證明:發(fā)散.證用反證法,已知收斂,假定收斂,由收斂,這與題設(shè)矛盾,所以級數(shù)發(fā)散.與級數(shù)性質(zhì)得知例如:1.級數(shù)2.級數(shù)發(fā)散解例9解例10證明注意1.收斂級數(shù)可以加括弧,但收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂.
收斂
發(fā)散3.正項(xiàng)級數(shù)加括弧與去括弧均不影響其斂散性.證明注意1.
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