單級倒立擺系統(tǒng)在水平方向，應(yīng)用牛頓第二定律：在垂直于擺桿方向，應(yīng)用牛頓第二定律：而有：線性化：當和較小時，有化簡后，得求解得：選擇狀態(tài)變量，，，為系統(tǒng)輸入，為系統(tǒng)輸出選取四個研究對象作為狀態(tài)變量，分別為：位移y、小車的速度、擺的角速度θ及其角速度

狀態(tài)圖為方便研究，假定系統(tǒng)的參數(shù)M=4kg,m=0.2kg,l=1m,則系統(tǒng)狀態(tài)方程中參數(shù)矩陣為：此時倒置擺的狀態(tài)空間模型表達式為：

系統(tǒng)特性分析

作為被控制的倒置擺，當它向左或向右傾倒時，能否通過控制作用使它回復(fù)到原直立位置，這取決于其能控性。該電橋系統(tǒng)中,電源電壓u(t)為輸入變量,并選擇兩電容器兩端的電壓為狀態(tài)變量x1(t)和x2(t)。試分析電源電壓u(t)對兩個狀態(tài)變量的控制能力。例

某電橋系統(tǒng)的模型如圖所示。由電路理論知識可知,若圖所示的電橋系統(tǒng)是平衡的(例Z1=Z2=Z3=Z4),電容C2的電壓x2(t)是不能通過輸入電壓u(t)改變的,即狀態(tài)變量x2(t)是不能控的,則系統(tǒng)是不完全能控的。若圖所示的電橋系統(tǒng)是不平衡的,兩電容的電壓x1(t)和x2(t)可以通過輸入電壓u(t)控制,則系統(tǒng)是能控的。判定方法特點判據(jù)矩陣指數(shù)函數(shù)判據(jù)代數(shù)判據(jù)模態(tài)判據(jù)1模態(tài)判據(jù)2矩陣函數(shù)e-AtB的各行函數(shù)線性獨立能控性矩陣Qc=[BAB…An-1B]滿秩約旦標準形中同一特征值對應(yīng)的B矩陣分塊的最后一行線性無關(guān)對于所有特征值

,rank[I-A

B]=n需要求矩陣指數(shù)函數(shù)并判定函數(shù)相關(guān),計算復(fù)雜計算簡便可行。缺點為不知道狀態(tài)空間中哪些變量(特征值/極點)能控易于分析狀態(tài)空間中哪些變量(特征值/極點)能控。缺點為需變換成約旦標準形易于分析哪些特征值(極點)能控。缺點為需求系統(tǒng)的特征值通過秩判據(jù)判斷能控性，將有關(guān)數(shù)據(jù)帶入該判據(jù)，可得系統(tǒng)是可控的，可設(shè)計控制器實現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定。也就是說設(shè)計控制器的目的就是使倒立擺系統(tǒng)動態(tài)穩(wěn)定，即保持擺桿在垂直的位置上。穩(wěn)定性分析

Lyapunov第二法由單倒置擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程，可求的其特征方程為：解得特征值為0,0，3.2078，-3.2078。四個特征值中存在一個正根，兩個零根，還有一個負根，這說明單倒置擺系統(tǒng)，即被控系統(tǒng)不穩(wěn)定的。Lyapunov第一法A的所有特征值均具有負實部定理：線性時不變系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的的充分必要條件是存在一個對稱正定矩陣P，使得矩陣不等式成立ATP+PA<0Lyapunov第二法狀態(tài)反饋控制器設(shè)計在控制系統(tǒng)設(shè)計中，若需通過狀態(tài)反饋使閉環(huán)系統(tǒng)漸進穩(wěn)定，可以利用極點配置狀態(tài)反饋的方法，還可以采用李雅普諾夫第二法來確定系統(tǒng)的控制方案。狀態(tài)反饋控制器設(shè)計線性連續(xù)定常系統(tǒng)（1）

其中為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，為系統(tǒng)的輸入變量。系數(shù)矩陣和為不依賴狀態(tài)和輸入的常矩陣。狀態(tài)反饋控制規(guī)律形式為u（t）=Kx（t）（2）其中K為控制器增益矩陣，是待設(shè)計矩陣。由系統(tǒng)（1）和控制律（2）構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)為

根據(jù)前面的定理，可以得到如下設(shè)計狀態(tài)反饋控制器增益矩陣的算法。定理：對于系統(tǒng)（1）存在狀態(tài)反饋控制器（2）使得閉環(huán)系統(tǒng)（3）漸進穩(wěn)定的充分必要條件為對于正定矩陣X>0