大學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用根底

——線性代數(shù)﹒概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(下冊)湖南教育出版社第十章行列式10.1二階、三階行列式10.2三階行列式的性質(zhì)10.3高階行列式克萊姆法那么湖南教育出版社下頁10.1二階、三階行列式1.二階行列式2.三階行列式上頁下頁首頁10.1二階、三階行列式時(shí),方程組(Ｉ)有唯一解1.二階行列式〔Ⅰ〕二階行列式:行列式的元素.上頁下頁首頁主對角線次對角線線性方程(Ｉ)的解可以表示為:二階行列式的展開式10.1二階、三階行列式上頁下頁首頁如果記:那么線性方程(Ｉ)的解可以簡單的表示為:行列式D是方程組(Ｉ)的系數(shù)行列式.10.1二階、三階行列式上頁下頁首頁例1

用行列式解二元一次方程組:解

10.1二階、三階行列式上頁下頁首頁(Ⅱ)

10.1二階、三階行列式2.三階行列式上頁下頁首頁10.1二階、三階行列式三階行列式三階行列式的展開式上頁下頁首頁10.1二階、三階行列式于是方程組的解可以簡單表示為:上頁下頁首頁例2計(jì)算以下行列式:10.1二階、三階行列式解三角行列式上頁下頁首頁例3

用行列式解三元線性方程組:解

10.1二階、三階行列式上頁下頁首頁10.2三階行列式的性質(zhì)把行列式的行和列依次互換,得到行列式D的轉(zhuǎn)置行列式上頁下頁首頁性質(zhì)1行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等,即例如10.2三階行列式的性質(zhì)上頁下頁首頁10.2三階行列式的性質(zhì)性質(zhì)2

交換行列式的任意兩行(列),行列式僅改變符號.推論如果行列式有兩行〔列〕的對應(yīng)元素相同，那么此行列式的值為零．上頁下頁首頁10.2三階行列式的性質(zhì)性質(zhì)3把行列式的某一行〔列〕中所有元素都乘以同一數(shù),等于以數(shù)乘以此行列式．推論1行列式中某一行〔列〕的所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．推論2如果行列式某行〔列〕的元素全為零，那么此行列式的值等于零．上頁下頁首頁10.2三階行列式的性質(zhì)推論3如果行列式某兩行〔列〕的元素對應(yīng)成比例，那么此行列式的值等于零.上頁下頁首頁10.2三階行列式的性質(zhì)性質(zhì)4如果行列式的某一行〔列〕的各元素都是二項(xiàng)的和，那么這個(gè)行列式等于兩個(gè)行列式的和.上頁下頁首頁性質(zhì)5

把行列式的某一行(列)的各元素乘以常數(shù)k,加到另一行上,行列式的值不變.10.2三階行列式的性質(zhì)(性質(zhì)4、推論3)

上頁下頁首頁例1

計(jì)算行列式10.2三階行列式的性質(zhì)解

(性質(zhì)4的推論3)上頁下頁首頁10.2三階行列式的性質(zhì)例2計(jì)算行列式：解上頁下頁首頁10.2三階行列式的性質(zhì)注意:互換第i、j兩行．:互換第i、j兩列．:將行列式的第行i〔i列〕乘以數(shù)k．:將行列式的第j行(j列)乘以k加到第i行(i列)．上頁下頁首頁余子式代數(shù)余子式10.2三階行列式的性質(zhì)上頁下頁首頁性質(zhì)6

行列式等于它的任意一行(列)的各元素與對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積的和.(行列式的展開性質(zhì))10.2三階行列式的性質(zhì)上頁下頁首頁例3

用行列式的展開性質(zhì)計(jì)算行列式解

10.2三階行列式的性質(zhì)上頁下頁首頁10.2三階行列式的性質(zhì)性質(zhì)7

行列式的某一行(列)的元素與另一行(列)對應(yīng)元素的代數(shù)余子式的乘積的和等于零.例如

上頁下頁首頁10.3高階行列式克萊姆法那么1.高階行列式2.克萊姆(Gramer)法那么上頁下頁首頁劃去元素所在的第i行第j列上所有的元素后形成的n-1階行列式10.3高階行列式克萊姆法那么1.高階行列式n階行列式代數(shù)余子式余子式主對角線上元素

次對角線上元素

上頁下頁首頁階數(shù)n大于3的行列式稱為高階行列式.三階行列式的所有性質(zhì)對于高階行列式都成立.10.3高階行列式克萊姆法那么上頁下頁首頁10.3高階行列式克萊姆法那么例1

計(jì)算解

將行列式按第1行展開,得上頁下頁首頁例2計(jì)算以下三角行列式(即主對角線上方的所有元素都為零的行列式):10.3高階行列式克萊姆法那么解

按第一行展開,得上頁下頁首頁對上式中的右邊的n-1階行列式再按第一行展開,得如此下去做n次,得10.3高階行列式克萊姆法那么上頁下頁首頁2.克萊姆(Gramer)法那么n元線性方程組(Ⅲ)系數(shù)行列式為10.3高階行列式克萊姆法那么上頁下頁首頁10.3高階行列式克萊姆法那么定理(克萊姆法那么)如果線性方程組〔Ⅲ〕的系數(shù)行列式那么該方程組有且只有惟一解上頁下頁首頁證10.3高階行列式克萊姆法那么行列式的展開性質(zhì)上頁下頁首頁例3用克萊姆法那么解方程組10.3高階行列式克萊姆法那么解上頁下頁首頁且10.3高階行列式克萊姆法那么上頁下頁首頁10.3高階行列式克萊姆法那么注意克萊姆法那么有兩個(gè)條件：一是方程組的未知數(shù)的個(gè)數(shù)等于方程的個(gè)數(shù)，二是系數(shù)行列式不等于零．上頁下頁首頁當(dāng)方程組(Ⅲ)的常數(shù)項(xiàng)不全為零時(shí),稱為非齊次線性方程組.(Ⅳ)10.3高階行列式克萊姆法那么齊次線性方程組零解上頁下頁首頁推論2如果齊次線性方程組有非零解,那么它的系數(shù)行列式D必為零.推論1如果齊次線性方程組的系數(shù)行列式,那么它只有零解.10.3高階行列式克萊姆法那么上頁下頁首頁10.3高階行列式克萊姆法那么例4

k取何值時(shí),齊次線性方程組有非零解?解上頁下頁首頁課堂小結(jié)一內(nèi)容提要本章的主要內(nèi)容有行列式的概念,行列式的性質(zhì),行列式的計(jì)算和克萊姆法那么