第十二章一元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分多元函數(shù)的積分及其應(yīng)用三、多元函數(shù)積分的性質(zhì)第一節(jié)一、引例二、多元函數(shù)積分的概念多元函數(shù)積分的概念與性質(zhì)

第十二章解法:

類似定積分解決問(wèn)題的思想:一、引例1.曲頂柱體的體積給定曲頂柱體:底：

xoy

面上的閉區(qū)域D頂:

連續(xù)曲面?zhèn)让妫阂訢

的邊界為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面求其體積.“大化小,常代變,近似和,求極限”1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為n個(gè)區(qū)域以它們?yōu)榈装亚斨w分為

n

個(gè)2)“常代變”在每個(gè)3)“近似和”則中任取一點(diǎn)小曲頂柱體4)“取極限”令2.平面薄片的質(zhì)量有一個(gè)平面薄片,在xoy

平面上占有區(qū)域

D,計(jì)算該薄片的質(zhì)量M

.度為設(shè)D的面積為,則若非常數(shù),仍可用其面密“大化小,常代變,近似和,求極限”解決.1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D

為n

個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域.2)“常代變”中任取一點(diǎn)3)“近似和”4)“取極限”則第

k小塊的質(zhì)量3.變密度空間立體的質(zhì)量計(jì)算設(shè)有空間立體Ω,其密度為μ=μ(x,y,z)(μ=μ(x,y,z)在Ω

上連續(xù)),計(jì)算立體Ω

的質(zhì)量m1)“大化小”:將Ω

劃分成至多只有公共邊界面的n個(gè)空間子區(qū)域:則有當(dāng)充分小時(shí),則μ=μ(x,y,z)在上近似于常數(shù)(即近似于不變)任取,則在上當(dāng)時(shí),2)“常代變”3)“近似和”4)“取極限”4.設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度類似求平面薄板質(zhì)量的思想,采用可得求質(zhì)“大化小,常代變,近似和,求極限”的方法,量M.其中,表示n

小塊曲面的直徑的最大值(曲面的直徑為其上任意兩點(diǎn)間距離的最大者).這些問(wèn)題的共性：(1)解決問(wèn)題的步驟相同(2)所求量的結(jié)構(gòu)式相同“大化小,常代變,近似和,取極限”曲頂柱體體積:平面薄片的質(zhì)量:空間立體的質(zhì)量:曲面薄片的質(zhì)量:二、多元函數(shù)積分的概念定義:設(shè)為一個(gè)有界的幾何形體（可以是平面區(qū)域、空間立體、曲線弧段、空間曲面）.它是可以度量的（即可以求長(zhǎng)度或面積或體積），函數(shù)f(P)

是定義在上的一個(gè)有界函數(shù)（數(shù)量值的）.將任意劃分為n個(gè)小部分并仍用表示每一個(gè)小部分的度量。在每一個(gè)小部分上任取一點(diǎn)，作乘積，并作和式（也稱為黎曼和式）記

為子區(qū)域

的直徑,如果不論對(duì)怎樣劃分，不論點(diǎn)在中怎樣選取，極限存在并且為同一個(gè)值，則稱函數(shù)f(P)在上可積，并稱此極限值為多元函數(shù)f(P)在幾何形體上的積分（黎曼積分），記作其中

f(P)被稱為被積函數(shù)，被稱為被積表達(dá)式（或積分微元），稱為積分區(qū)域。引例1中曲頂柱體體積:引例2，3，4中形體的質(zhì)量:A、二重積分定義:將區(qū)域D

任意分成n

個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),作和式記d(Δσk)為子區(qū)域Δσk

的直徑,(其面積也記

),可積,在D上的二重積分.積分和積分域被積函數(shù)積分表達(dá)式面積元素記作若存在一個(gè)常數(shù)I,使說(shuō)明:(1)若f(x,y)在D

上可積,則積分和的極限與劃分無(wú)關(guān)引例1中曲頂柱體體積:引例2中平面薄板的質(zhì)量:(2)如果在D上可積,也常二重積分記作這時(shí)分區(qū)域D,因此面積元素可用平行坐標(biāo)軸的直線來(lái)劃記作(3)二重積分的幾何意義:(a)若

,則表示以D為底,曲面z=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積(b)若

,則即表示由D與z=f(x,y)所成曲頂柱體體積的負(fù)值(c)對(duì)于一般的函數(shù)f(x,y),表示這些部分區(qū)域上的曲頂柱體體積的代數(shù)和(xoy平面上方的取正值,xoy平面下方的取負(fù)值)(4)二重積分值與積分變量名稱無(wú)關(guān)定義.設(shè)存在,稱為體積元素,

若對(duì)作任意分割:任意取點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫(xiě)作下列“乘積和式”極限記作B、三重積分說(shuō)明:(1)空間立體的質(zhì)量:(2)空間立體的體積:設(shè)是空間中一條有限長(zhǎng)的光滑曲線,義在上的一個(gè)有界函數(shù),都存在,上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分,記作若通過(guò)對(duì)的任意分割局部的任意取點(diǎn),C.第一型曲線積分下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一型曲線積分.稱為被積函數(shù)，稱為積分弧段.曲線形構(gòu)件的質(zhì)量和對(duì)如果L是xoy

面上的曲線弧,如果L

是閉曲線,則記為則定義對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分為思考:(1)若在

L

上f(x,y)≡1,(2)定積分是否可看作對(duì)弧長(zhǎng)曲線積分的特例?否!

對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分要求ds0,但定積分中dx

可能為負(fù).(3)第一型曲線積分的幾何意義設(shè)f(x,y)0,記以L為準(zhǔn)線,母線平行于z軸的柱面與曲面z=f(x,y)的交線為L(zhǎng)1f(x,y)ds表示介于L與L1

之間小細(xì)條的面積,與L1

之間的曲面面積:所以介于L定義:設(shè)為光滑曲面,“乘積和式極限”都存在,的曲面積分其中f(x,y,z)叫做被積f(x,y,z)是定義在上的一個(gè)有界函數(shù),記作或第一型曲面積分.若對(duì)做任意分割和局部區(qū)域任意取點(diǎn),則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在曲面上對(duì)面積函數(shù),叫做積分曲面.D.第一型曲面積分當(dāng)曲面為封閉曲面時(shí)，習(xí)慣上記為據(jù)此定義,曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為定理1(可積的必要條件).多元函數(shù)積分存在定理:(證明略)定理2（可積的充分條件）.若函數(shù)上可積.在有界幾何形體則在上有界.若函數(shù)在上可積.在有界閉區(qū)域上連續(xù),則三、多元函數(shù)積分的性質(zhì)(k

為常數(shù))（齊次性）（關(guān)于被積函數(shù)的可加性）除邊界外無(wú)公共點(diǎn)）（關(guān)于積分域的分域性質(zhì)）（關(guān)于被積函數(shù)的線性運(yùn)算性質(zhì)）(α和β為常數(shù))特別,由于則4.（保序性）若在上5.（估值定理）設(shè)在積分區(qū)域上||

表示的度量，則有6.(多元函數(shù)積分的中值定理)證:

由性質(zhì)5可知,由連續(xù)函數(shù)介值定理,至少有一點(diǎn)在有界閉區(qū)則至少存在一點(diǎn)使使域上連續(xù),因此7.多元函數(shù)積分值與積分變量名稱無(wú)關(guān)。例3.比較下列積分的大小:其中解:積分域D的邊界為圓周它與x軸交于點(diǎn)(1,0),而域D位從而于直線的上方,故在D上被積函數(shù)相同,且非負(fù),解:由它們的積分域范圍可知（