數(shù)學(xué)分析2-3數(shù)列極限存在的條件§2.3數(shù)列極限存在的條件一數(shù)列收斂的一個(gè)充分條件

——單調(diào)有界原理

二數(shù)列收斂的充要條件

——Cauchy收斂準(zhǔn)則三關(guān)于極限

四數(shù)列單調(diào)有界證法欣賞

一單調(diào)有界原理定義稱(chēng)為單調(diào)上升的，若稱(chēng)為單調(diào)下降的，若

單調(diào)增加和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)數(shù)列

提問(wèn):

收斂的數(shù)列是否一定有界？

有界的數(shù)列是否一定收斂？M定理1(單調(diào)有界定理)

單調(diào)有界數(shù)列必有極限

定理1的幾何解釋x1

x5

x4

x3

x2

xn

A

以單調(diào)增加數(shù)列為例

數(shù)列的點(diǎn)只可能向右一個(gè)方向移動(dòng)

或者無(wú)限向右移動(dòng)

或者無(wú)限趨近于某一定點(diǎn)A

而對(duì)有界數(shù)列只可能后者情況發(fā)生

數(shù)列極限存在的條件數(shù)列極限存在的條件定理1(單調(diào)有界定理)

單調(diào)有界數(shù)列必有極限

證明

例1設(shè)證明數(shù)列{}收斂.例2

例3

(n重根號(hào)),···證明數(shù)列單調(diào)有界,并求極限.求

(計(jì)算的逐次逼近法,亦即迭代法).解由均值不等式,有有下界;注意到對(duì)有有↘···,例4

1）證明序列的極限存在；2）求極限解

1）因時(shí)有所以即有故序列下降。因此序列極限存在，記極限值為c。于是這表明序列有下界。又或2）因所以又即得證(舍去)二數(shù)列收斂的充要條件——Cauchy收斂準(zhǔn)則1Cauchy列：

如果數(shù)列具有以下特性：＞＞＜則稱(chēng)數(shù)列是一個(gè)基本數(shù)列.（Cauchy列）2Cauchy收斂準(zhǔn)則：定理數(shù)列

收斂的充要條件是：是一個(gè)基本數(shù)列.數(shù)列收斂或數(shù)列極限存在的條件定理的幾何解釋

柯西準(zhǔn)則說(shuō)明收斂數(shù)列各項(xiàng)的值越到后邊,彼此越是接近,以至充分后面的任何兩項(xiàng)之差的絕對(duì)值可小于預(yù)先給定的任意小正數(shù).或形象地說(shuō),收斂數(shù)列的各項(xiàng)越到后面越是擠在一起.x1

x2

x3

x4

x5

例5證明:任一無(wú)限十進(jìn)小數(shù)

的不足近似值所組成的數(shù)列收斂.其中

是中的數(shù).

證令有

……三

關(guān)于極限

（證明留在下段進(jìn)行.）例8例9例10四數(shù)列

證法一單調(diào)有界證法欣賞:

Cauchy(1789—1857)最先給出這一極限，Riemann（1826—1866）最先給出以下證法一.設(shè)用二項(xiàng)式展開(kāi)，得注意到

且比多一項(xiàng)

即↗.有界.綜上,數(shù)列{}單調(diào)有界.評(píng)註:該證法樸素而穩(wěn)健.證法二(利用Bernoulli不等式)注意到Bernoulli不等式為正整數(shù)),有+小結(jié)

(1)單調(diào)有界定理;

(2)單調(diào)有界定理的幾何意義;

(3)