直線與平面垂直的判定定理的兩種_第1頁
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直線與平面垂直的判定定理的兩種簡(jiǎn)證時(shí)間：2021.02.09創(chuàng)作人：歐陽歷立體幾何中關(guān)于直線與平面垂直的判定定理的證明，由于構(gòu)思復(fù)雜，過程繁瑣，給教學(xué)帶來了一定的困難.本文利用勾股定理及其逆定理給岀該定理的兩種簡(jiǎn)捷證明，供參考.設(shè)g是a內(nèi)的任一直線，先證明/、g都通過0點(diǎn)的情況.如圖1,證法在直線m、n上分別取點(diǎn)A、B,使0A=0B,P是/上異于0的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、AB.因?yàn)?丄m,/丄n,所以PA=P02+0A=P02+0B=PB2,因此，APAB、AOAB都是以AB為底邊的等腰三角形.所以AB=2PA?cosZPAB=20A?cosZOAB?設(shè)AB與g交于C,連結(jié)PC,0C?在APAC,AOAC中，由余弦定理得：PC=PA2+AC?—2PA?AC?cosZPAOPA2+AC?—AC?AB,0C=0A2+AC?—20A?AC?cosZ0AC=0A2+AC?—AC?AB?所以PC?二(PO2+OA2)+AC2-AC-AB=P02+(0A2+AC2-AC-AB)=PO2+OC2.由勾股定理的逆定理知，P0丄0C即/丄g?證法2：過g上一點(diǎn)C在a內(nèi)作直線分別交m、n于A、B,使得AC二CB?P是/上異于0的一點(diǎn)，連結(jié)PA、PB、PC.因?yàn)?丄m,/丄n,所以PA2=PO2+OA2,pb2=po2+ob2.在APAB、A0AB中，由中線定理得PA2+PB2=2(PC2+AC2)OA2+OB2=2(OC2+AC2)兩式相減得(PA2—OA2)+(PB2—OB2)=2(PC2—Od)所以PO2+PO=2(PC2-OC2)po2+oc2=pc2.由勾股定理的逆定理知，P0丄0C即/丄g?如果直線人g中有一條或兩條不經(jīng)過點(diǎn)0,那么可過點(diǎn)0引它們的

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