第八章無窮級數(shù)習(xí)題課常數(shù)項級數(shù)

一、定義及性質(zhì)

2．?dāng)可⑿远x

3．性質(zhì)

必要性:

線性運算性質(zhì):

則級數(shù)收斂，否則級數(shù)發(fā)散。

設(shè)級數(shù)為常數(shù)

則

設(shè)，如果存在，

級數(shù)收斂

1．常數(shù)項級數(shù)

4．常數(shù)項級數(shù)類型

正項級數(shù)交錯級數(shù)任意項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)

二、判別常數(shù)項級數(shù)收斂的解題方法

若成立，則需作進(jìn)一步的判別。

判別常數(shù)項級數(shù)

的斂散性，應(yīng)先考察是否有

成立。若不成立，則可判定級數(shù)發(fā)散；此時可將常數(shù)項級數(shù)分為兩大類，即正項級數(shù)與任意項級數(shù)。

對于正項級數(shù)，可優(yōu)先考慮應(yīng)用比值法或根值法。若此二方法失效，則可利用比較法（或定義）作進(jìn)一步判別；

若不收斂，但級數(shù)是交錯級數(shù)，可考慮應(yīng)用萊布尼茲判別法，若能判別級數(shù)收斂，則原級數(shù)條件收斂；

對于一般的任意項級數(shù)，則可考慮利用利用級數(shù)收斂定義、性質(zhì)等判別。

解題方法流程圖如下圖所示。對于任意項級數(shù)，一般應(yīng)先考慮正項級數(shù)是否收斂。若收斂，則可判定原級數(shù)收斂，且為絕對收斂；

解題方法流程圖

Yes判斷的斂散性比值法根值法比較法

找正項收斂級數(shù)找正項發(fā)散級數(shù)用其它方法證明No

萊布尼茲判別法

YesNoNoNoYesNoYesNoYes為正項級數(shù)為任意項級數(shù)發(fā)散收斂收斂發(fā)散條件收斂絕對收斂為交錯級數(shù)收斂且

三、典型例題

，由定義

所以原級數(shù)收斂，且和為1?！纠?】判別級數(shù)的收斂性，并求級數(shù)的和。分析：此級數(shù)為正項級數(shù)，由于因此可利用定義求。解：由于由級數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù)發(fā)散?！纠?】判別級數(shù)的收斂性。分析：此級數(shù)為正項級數(shù)，因為分別求分子、分母的極限不為0，由級數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù)發(fā)散。解：因為而故由比較審斂法的極限形式，原級數(shù)收斂。

【例3】判別級數(shù)的收斂性。分析：此級數(shù)為正項級數(shù)，根據(jù)的形式，可用比較審斂法，也可采用比值審斂法。解法1：此級數(shù)為正項級數(shù)，而級數(shù)為等比級數(shù)收斂，

解法2：由比值審斂法故由比值審斂法知原級數(shù)收斂。,由于

故轉(zhuǎn)到應(yīng)用比較判別法。由于

【例4】判別級數(shù)的收斂性。而不存在，所以不存在。

分析：此級數(shù)為正項級數(shù)，設(shè)

而級數(shù)收斂，從而級數(shù)收斂；或?qū)⒉鸪蓛蓚€級數(shù)，分別判定級數(shù)的收斂性。同理極限也不存在，即不能應(yīng)用比值和根值判別法，,由于

解法1：設(shè)而由比值法

易知級數(shù)收斂,故由級數(shù)的比較判別法知，級數(shù)收斂。解法2：因為所以，分別考慮和的斂散性。對于由比值法

知收斂，所以，絕對收斂；同理得收斂，可知原級數(shù)收斂。

收斂，故由比較審斂法，原級數(shù)收斂?！纠?】判別級數(shù)的收斂性。分析：此級數(shù)為正項級數(shù),由的形式，利用比值法和根值法均不合適，由于,可采用比較法。

解：此級數(shù)為正項級數(shù)，令注：應(yīng)用比較法判斷一個正項級數(shù)的斂散性，最關(guān)鍵問題是熟練掌握一批已知正項級數(shù)的斂散性（如幾何級數(shù)，

級數(shù)等），然后根據(jù)的特點，進(jìn)行有針對性的放縮?！纠?】判別級數(shù)的收斂性。分析：此級數(shù)為正項級數(shù)，，由于中含有，可用比值審斂法。

解：令

所以，原級數(shù)發(fā)散。

由比值審斂法，當(dāng)時，原級數(shù)收斂；

當(dāng)時，原級數(shù)發(fā)散。

當(dāng)時，比值審斂法失效，注意到注：在級數(shù)一般項中，若含有形如的因子時，

適于使用比值審斂法。

故由根值審斂法，原級數(shù)收斂。【例7】判斷級數(shù)的斂散性.

分析：此級數(shù)為正項級數(shù)

,由于中解：此級數(shù)為正項級數(shù)，

注：在級數(shù)一般項

中,若含有次方時,適于使用根值審斂法。含有次方，可用根值審斂法?！纠?】判斷級數(shù)收斂？如果收斂，是條件收斂還是絕對收斂？

分析：本題中，為交錯級數(shù)，可采用萊布尼茲定理判別法。解：此級數(shù)為交錯級數(shù)，因為

,而發(fā)散,原級數(shù)非絕對收斂.

因為

為交錯級數(shù),由萊布尼玆定理由比較審斂法知發(fā)散所以此交錯級數(shù)收斂，故原級數(shù)是條件收斂。所以在上單增，即單減，故當(dāng)時，單減，令即原級數(shù)非絕對收斂。

【例9】*判別級數(shù)的斂散性。分析：本題中，為交錯級數(shù)，可采用萊布尼茲定理判別法。

解：先考慮級數(shù)的斂散性。

由于當(dāng)時，

而級數(shù)發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散，

即原級數(shù)為交錯級數(shù)，故應(yīng)用萊布尼茲判別法判別。

從而原級數(shù)條件收斂。

注：在運用萊布尼玆定理判別時，可引入函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判別單調(diào)性。因為,其中所以在內(nèi)單調(diào)遞減，得于是由萊布尼茲判別法可得級數(shù)收斂，

令證明：設(shè)級數(shù)

和的部分和分別為和則【例10】若

,級數(shù)收斂,證明級數(shù)收斂.沒有具體表達(dá)式，只能將

看成任意項級數(shù),所以，考慮級數(shù)收斂定義。分析：因為題設(shè)給出了級數(shù)收斂,但即

由于級數(shù)收斂,

所以存在,所以要根據(jù)級數(shù)收斂的定義知收斂.證明存在，只需要證明

存在即可.根據(jù)題中的條件，所以，因此第八章無窮級數(shù)習(xí)題課函數(shù)項級數(shù)一、冪級數(shù)

1．冪級數(shù)的基本概念(1)

冪級數(shù)的定義：(2)收斂半徑：

(3)冪級數(shù)的和函數(shù)：

或收斂區(qū)間：

存在正數(shù)

當(dāng)冪級數(shù)收斂，當(dāng)冪級數(shù)發(fā)散，稱為冪級數(shù)的收斂半徑。

收斂域：收斂點的全體

2．冪級數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)

（1）連續(xù)性：

（2）可導(dǎo)性：

（3）可積性：

3．冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間（收斂域）的求法求冪級數(shù)的收斂域，通常有三種基本類型，即型、

型和缺冪型，還有一種特殊的非冪函數(shù)型。

對于型，通過求，得半徑，

然后討論處的斂散性，從而得收斂域；對于缺冪型，可采用比值法，先求出收斂半徑，再討論處的斂散性，從而得收斂域。解題方法流程圖如下。對于型，令,化為型,可得收斂域；解題方法流程圖

求冪級數(shù)收斂域

判別冪級數(shù)類型收斂域收斂域

令

討論處的斂散性，，其它討論處的斂散性

當(dāng)時收斂當(dāng)時發(fā)散

用比值法令

1234．冪級數(shù)和函數(shù)的求法求冪級數(shù)的和函數(shù)，最常用的方法是首先對給定的冪級數(shù)進(jìn)行恒等變形，然后采用“先求導(dǎo)后積分”或“先積分后求導(dǎo)”等技巧，并利用與形如（或等）冪級數(shù)的和函數(shù)，求出其和函數(shù)。解題方法流程圖如下圖所示。

求的和函數(shù)令NoYesYesNo能直接求出和函數(shù)恒等變換直接求和逐項積分逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo)逐項積分Yes能直接求出和函數(shù)NoYesNo能直接求出和函數(shù)解題方法流程圖5．典型例題【例1】求冪級數(shù)的收斂半徑及收斂域。解：

當(dāng)時，級數(shù)為，該級數(shù)收斂。當(dāng)時，級數(shù)為，該級數(shù)收斂。故此冪級數(shù)的收斂域為。

【例2】求冪級數(shù)的收斂域。解：令，原級數(shù)變?yōu)?/p>

所以，即時，冪級數(shù)收斂。當(dāng)時，級數(shù)為，為交錯級數(shù)收斂，

當(dāng)時，級數(shù)為，為P-級數(shù)發(fā)散，故此冪級數(shù)的收斂域為。【例3】求冪級數(shù)的收斂域。解：缺少偶次冪的項，由比值審斂法當(dāng)，即時，級數(shù)收斂。當(dāng)，即時，級數(shù)發(fā)散。當(dāng)時，級數(shù)為，為交錯級數(shù)收斂。當(dāng)時，級數(shù)為，為交錯級數(shù)收斂。故此冪級數(shù)的收斂域為。

【例4】求冪級數(shù)的和函數(shù)，并求的和。

解：記

求導(dǎo)得

積分得

令，則

【例5】*求冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)。分析：由于冪級數(shù)，通過比較級數(shù)和

的一般項，不難發(fā)現(xiàn)，，而

，所以應(yīng)用給定的冪級數(shù)先積分，后求導(dǎo)，

就可以利用進(jìn)行計算。

解：令

對冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)逐項積分，得：其中，。

再應(yīng)用逐項積分的方法得：對求導(dǎo)得

所以

對求導(dǎo)得

即

注：本題利用“先導(dǎo)后積”的方法求和函數(shù)，數(shù)項級數(shù)求和可通過冪級數(shù)和函數(shù)求得。二、函數(shù)的泰勒級數(shù)1．泰勒級數(shù)定義：稱為在點的泰勒級數(shù)。

2．麥克勞林級數(shù)定義：稱為的麥克勞林級數(shù)。3．將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)(冪級數(shù))直接展開法：直接展開法是通過函數(shù)求在給定點的各階導(dǎo)數(shù)，寫出泰勒展開式。

間接展開法：間接展開法通常要先對函數(shù)進(jìn)行恒等變形，然后利用已知展式（如函數(shù)，的展開式等）或利用和函數(shù)的性質(zhì)（求導(dǎo)數(shù)或積分），將函數(shù)展開成冪級數(shù)。解題方法流程圖如下圖所示。

求的冪級數(shù)展開式關(guān)于的冪級數(shù)對求導(dǎo)對積分令將展成的冪級數(shù)求直接展開法間接展開式對進(jìn)行恒等變形能利用已知展開式令令寫出的展開式Y(jié)es關(guān)于的冪級數(shù)NoNo解題方法流程圖4．典型例題【例6】將函數(shù)