1第2章線性系統(tǒng)理論2主要內(nèi)容2.1基本概念2.2狀態(tài)空間表達式的建立2.3線性變換2.4運動分析2.5綜合問題2.6狀態(tài)重構(gòu)與狀態(tài)觀測器2.7最優(yōu)控制32.5綜合問題42.5綜合問題本節(jié)主要內(nèi)容是極點配置，通過設(shè)計反饋控制來改善系統(tǒng)極點的分配，達到改善系統(tǒng)相應(yīng)特性的目的。根軌跡法：只改變一個參數(shù)，在根軌跡上選擇極點，不能做到按需要任意配置。系統(tǒng)反饋控制的分類：1按照反饋信號的來源或引出點分2

按照反饋信號的作用點或注入點分

（1）狀態(tài)反饋

（2）輸出反饋（1）反饋至狀態(tài)微分處（2）反饋至控制輸入處52.5綜合問題一、

狀態(tài)反饋與極點配置三、輸出反饋與極點配置二、

狀態(tài)重構(gòu)與狀態(tài)觀測器設(shè)計四、降維狀態(tài)觀測器的概念62.5綜合問題1、反饋至狀態(tài)微分處2、反饋至控制輸入處一、

狀態(tài)反饋與極點配置72.5綜合問題1、反饋至狀態(tài)微分處狀態(tài)反饋兩種基本形式：（1）狀態(tài)反饋至控制輸入處特點：系統(tǒng)無需可控可觀便可以任意配置耦合極點，且設(shè)計上只須將狀態(tài)反饋陣與原有的系統(tǒng)矩陣合并即可。能夠?qū)崿F(xiàn)這種反饋控制的系統(tǒng)極少。配置后系統(tǒng)的可控性與可觀性可能改變。2、反饋至控制輸入處原系統(tǒng)方程狀態(tài)向量x通過待設(shè)計的狀態(tài)反饋矩陣k，負(fù)反饋至控制輸入處，于是

（2）狀態(tài)反饋至狀態(tài)微分處（下面要重點講）82.5綜合問題從而構(gòu)成了狀態(tài)反饋系統(tǒng)。

狀態(tài)反饋至控制輸入狀態(tài)反饋系統(tǒng)方程證明

這里以SISO系統(tǒng)進行證明。設(shè)SISO系統(tǒng)可控，通過

程化為可控標(biāo)準(zhǔn)型，有

設(shè)計定理：

引入反饋后，系統(tǒng)可控性不變，閉環(huán)極點可任意配置的充要條件

（可觀性可能改變）。這種系統(tǒng)很少。

92.5綜合問題在變換后的狀態(tài)空間內(nèi)，引入狀態(tài)反饋陣這里分別由引出反饋系數(shù)，故變換后的狀態(tài)動態(tài)方程為102.5綜合問題式中顯見仍為可控標(biāo)準(zhǔn)型，故引入狀態(tài)反饋，系統(tǒng)可控不變。其閉環(huán)特征方程為于是，適當(dāng)選擇，可滿足特征方程中n個任意特定系統(tǒng)的要求，因而閉環(huán)極點可任意配置。充分性得證。

再證必要性。設(shè)系統(tǒng)不可控，必有狀態(tài)變量與輸入u無關(guān)，不可能實現(xiàn)全狀態(tài)反饋。于是不可控子系統(tǒng)的特征值不可能重新配置，傳遞函數(shù)不反映不可控部分的特性。必要性得證。112.5綜合問題對在變換后狀態(tài)空間中設(shè)計的k應(yīng)換算回到原狀態(tài)空間中去，由于故

對原受控系統(tǒng)直接采用狀態(tài)反饋陣k，可獲得于式(6—1)相同的特征值，這是因為線性變換后系統(tǒng)特征值不變。

實際求解狀態(tài)反饋陣時，并不一定要進行到可控標(biāo)準(zhǔn)型的變換，只需校驗系統(tǒng)可控，計算特征多項式

和特征值，并通過與具有希望特征值的特征多項式相比較，便可確定k陣。

狀態(tài)反

因為非奇異線性變換后傳遞函數(shù)矩陣不變，故原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為另外需注意:

饋系統(tǒng)仍是可控標(biāo)準(zhǔn)型。122.5綜合問題而狀態(tài)反饋系統(tǒng)的傳遞矩陣為顯然，的分子相同，例2.28設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

試用狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點配置在－2，－1。解

單輸入-單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)無零極點對消，故可控可觀測。其可控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)為132.5綜合問題（）狀態(tài)反饋矩陣為

態(tài)反饋系統(tǒng)特征方程為

期望閉環(huán)極點對應(yīng)的系統(tǒng)特征方程為由兩特征方程同冪項系數(shù)應(yīng)相同，可得

即

系統(tǒng)反饋陣

將系統(tǒng)閉環(huán)極點配置在－2，－1。

例2.29設(shè)受控系統(tǒng)狀態(tài)方程為，試用狀態(tài)反饋使閉環(huán)極點配置在－1。解

由系統(tǒng)矩陣為對角陣，顯見系統(tǒng)可控，但不穩(wěn)定。設(shè)反饋控制律為，，則142.5綜合問題閉環(huán)特征多項式為

因此，

最后，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

例2.30設(shè)受控系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，綜合指標(biāo)為：①超調(diào)量：；

②峰值時間：；③系統(tǒng)帶寬：；④位置誤差。152.5綜合問題解

1）如圖所示，本題要用帶輸入變換的狀態(tài)反饋來解題，原系

AvS(A,B,C)KU圖8-24帶輸入變換的狀態(tài)反饋系統(tǒng)統(tǒng)可控標(biāo)準(zhǔn)型動態(tài)方程為

2）根據(jù)技術(shù)指標(biāo)確定希望極點

系統(tǒng)有三個極點，為方便，選一對主導(dǎo)極點，另外一個為可忽略影響的遠162.5綜合問題極點。由第三章，上述指標(biāo)計算公式如下：

式中，分別為阻尼比和自然頻率。將上述數(shù)據(jù)代入，從前兩個指標(biāo)可以分別求出：；代入帶寬公式，可求得；綜合考慮響應(yīng)速度和帶寬要求，取。于是，閉環(huán)主導(dǎo)極點為，取非主導(dǎo)極點為。

3）

確定狀態(tài)反饋矩陣

k狀態(tài)反饋系統(tǒng)的特征多項式為

由此，狀態(tài)反饋矩陣

172.5綜合問題

4）確定輸入放大系數(shù)狀態(tài)反饋系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

因此由，可以求出

二、輸出反饋與極點配置

輸出反饋至控制輸入

1、輸出反饋至控制輸入

182.5綜合問題如上頁圖所示，閉環(huán)系統(tǒng)式中，h為

輸出反饋陣。

原系統(tǒng)其中

輸出至輸入的反饋不會改變原系統(tǒng)的可控性和可觀測性。只要輸出是儀器傳感器測得，系統(tǒng)總是可以實現(xiàn)的。注意：2、輸出反饋至狀態(tài)微分處

輸出反饋至狀態(tài)微分處

192.5綜合問題原系統(tǒng)如上頁圖所示，閉環(huán)系統(tǒng)式中，h為

輸出反饋陣

設(shè)計定理：輸出反饋至狀態(tài)微分處定理

用輸出至狀態(tài)微分的反饋任意配置閉環(huán)極點的充要條件是系統(tǒng)可觀測提示：此定理可用對偶定理來證明。定理的證明也可以用與狀態(tài)反饋配置極點定理證明類似的步驟進行。202.5綜合問題三、狀態(tài)重構(gòu)與狀態(tài)觀測器設(shè)計

反饋控制類型（方法）反饋控制能力反饋設(shè)計可實現(xiàn)性閉環(huán)極點任意配置條件狀態(tài)反饋至狀態(tài)微分處很強極差無狀態(tài)反饋至控制輸入處強差系統(tǒng)可控輸出反饋至控制輸入處強差系統(tǒng)可觀輸出反饋至狀態(tài)微分處

弱好可控可觀＋足夠的輸入與輸出，一般情況不能任意配置極點

輸出到狀態(tài)觀測器再到控制輸入強好系統(tǒng)可控可觀注意：從輸出引反饋信號和從輸入引反饋信號總是可行的。212.5綜合問題1、全維狀態(tài)觀測器及其狀態(tài)反饋系統(tǒng)組成結(jié)構(gòu)原系統(tǒng)模擬系統(tǒng)設(shè)計原理：

設(shè)計H陣，將反饋引入狀態(tài)觀測器，使和盡快衰減至零。

（6－2）用全維狀態(tài)觀測器實現(xiàn)狀態(tài)反饋原理222.5綜合問題2、狀態(tài)觀測器的分析與設(shè)計由圖（6－2），全維狀態(tài)觀測器狀態(tài)方程為

故有，

式中，稱為觀測器系統(tǒng)矩陣，H為維矩陣。為了保證狀態(tài)反饋系統(tǒng)正常工作，

必須滿足

狀態(tài)誤差向量的狀態(tài)方程為

其解為

232.5綜合問題當(dāng)時，恒有，輸出反饋不起作用；當(dāng)時，有，輸出反饋便起作用，這時只要觀測器的極點具有負(fù)實部，狀態(tài)誤差向量總會按指數(shù)衰減，衰減速率取決于觀測器的極點配置。

設(shè)計定理

若系統(tǒng)可觀測，則可用全維觀測器

來給出狀態(tài)估值，矩陣H可按極點配置的需要來設(shè)計，以決定狀態(tài)估計誤差衰減的速率。實際選擇H陣參數(shù)時，既要防止?fàn)顟B(tài)反饋失真，又要防止數(shù)值過大導(dǎo)致飽和效應(yīng)和噪聲加劇等，通常希望觀測器的響應(yīng)速度比狀態(tài)反饋系統(tǒng)的響應(yīng)速度快3～10倍為好。

提示：設(shè)計過程與方法與輸出反饋到狀態(tài)微分的系統(tǒng)相同242.5綜合問題例2.31設(shè)受控對象傳遞函數(shù)為

，試設(shè)計全維狀態(tài)觀測器，將其極點配置在－10，－10。

解

該單輸入－單輸出系統(tǒng)傳遞函數(shù)無零極點對消，故系統(tǒng)可控可觀測。若寫出其可控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)，則有

由于

，輸出反饋H為矩陣。全維觀測器的系統(tǒng)矩陣為觀測器的特征方程為

期望特征方程為

由特征方程同冪系數(shù)相等可得

分別為由引至

的反饋系數(shù)。一般來說，如果給定的系統(tǒng)模型是傳遞函數(shù)，建議按可觀標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)較好，這樣觀測器的極點總可以任意配置，從而達到滿意的效果，若用可控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn)，則觀測器設(shè)計往往會失敗。252.5綜合問題

狀態(tài)反饋子系統(tǒng)的動態(tài)方程為全維狀態(tài)觀測器子系統(tǒng)的動態(tài)方程為3、狀態(tài)重構(gòu)反饋系統(tǒng)分析與設(shè)計故復(fù)合系統(tǒng)動態(tài)方程為由于，

可以得到復(fù)合系統(tǒng)的另外一種形式。262.5綜合問題由式（6－3）

，可以導(dǎo)出復(fù)合系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣為

利用分塊矩陣求逆公式

則

272.5綜合問題式（6－3）右端正是引入真實狀態(tài)作為反饋的狀態(tài)反饋系統(tǒng)

的傳遞函數(shù)矩陣。該式表明復(fù)合系統(tǒng)與狀態(tài)反饋系統(tǒng)具有相同的傳遞特性，與觀測器的部分無關(guān)，可用估值狀態(tài)代替真實狀態(tài)作為反饋。從維復(fù)合系統(tǒng)導(dǎo)出了傳遞函數(shù)矩陣，這是由于不可控造成的。復(fù)合系統(tǒng)的特征值多項式為

282.5綜合問題該式表明復(fù)合系統(tǒng)特征值是由狀態(tài)反饋子系統(tǒng)和全維狀態(tài)觀測器的特征值組合而成的，且兩部分特征值相互獨立，彼此不受影響，因而狀態(tài)反饋矩陣K和輸出反饋矩陣H，可根據(jù)各自的要求來獨立進行設(shè)計，故有下列定理。

設(shè)計定理

若受控系統(tǒng)S可控可觀測，用狀態(tài)觀測器估值形成狀態(tài)反饋時，其系統(tǒng)的極點配置和觀測器設(shè)計可分別獨立進行。即K與H的設(shè)計可分別獨立進行.4、降維狀態(tài)觀測器的概念

當(dāng)狀態(tài)觀測器估計狀態(tài)向量維數(shù)小于受控對象狀態(tài)向量維數(shù)時，稱為降維狀態(tài)觀測器。使用場合：一是系統(tǒng)不可觀測；二是不可控系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制設(shè)計；三是希望簡化觀測器的結(jié)構(gòu)或減小狀態(tài)估計的計算量。292.5綜合問題例2.32已知

和

,試設(shè)計特征值為－2的降維狀態(tài)觀測器。

解

(1)檢查受控系統(tǒng)可觀測性

系統(tǒng)不可觀測，實際上正是不可觀測。(2)考慮到可通過