第四章復(fù)變函數(shù)的級(jí)數(shù)§4.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)§4.2冪級(jí)數(shù)§4.3Taylor級(jí)數(shù)§4.4Laurent級(jí)數(shù)主要內(nèi)容

本章介紹復(fù)變函數(shù)級(jí)數(shù)的概念,重點(diǎn)是Taylor級(jí)數(shù)、Laurent級(jí)數(shù)及其展開.1復(fù)數(shù)列的極限2復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念§4.1

復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1復(fù)數(shù)列的極限稱為復(fù)數(shù)列,簡(jiǎn)稱為數(shù)列,記為定義4.1設(shè)是數(shù)列，是常數(shù).如果e>0,

存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí),不等式成立,則稱當(dāng)n時(shí),收斂于或稱是的極限,記作復(fù)數(shù)列收斂與實(shí)數(shù)列收斂的關(guān)系定理一

的充分必要條件是此定理說明:

判別復(fù)數(shù)列的斂散性可轉(zhuǎn)化為判別兩個(gè)實(shí)數(shù)列的斂散性.即同理證明如果則存在正整數(shù)N,從而有使得當(dāng)n>N時(shí),從而有反之,

如果那么存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時(shí),所以2復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念為無窮級(jí)數(shù).稱為該級(jí)數(shù)的部分和.設(shè)是復(fù)數(shù)列,則稱級(jí)數(shù)收斂與發(fā)散的概念定義4.2如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂于復(fù)數(shù)S,則稱級(jí)數(shù)收斂,這時(shí)稱S為級(jí)數(shù)的和,并記做如果不收斂，則稱級(jí)數(shù)發(fā)散.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的關(guān)系定理二級(jí)數(shù)收斂的充要條件是都收斂,并且說明復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題

推論如果級(jí)數(shù)收斂,則證明由記于是由定理一知收斂的充要條件是與皆收斂,此時(shí)顯然有解因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂,所以原復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散.練習(xí)級(jí)數(shù)是否收斂?發(fā)散,而級(jí)數(shù)證明由定理二知，再由實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的級(jí)數(shù)收斂的充要條件是

都收斂必要條件知非絕對(duì)收斂的收斂級(jí)數(shù)稱為條件收斂級(jí)數(shù).

定義4.3設(shè)是復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),如果正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,則稱級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.

絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)并且

定理三若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則也收斂,

收斂證明由于而級(jí)數(shù)收斂,由正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的比較判別法,知和收斂.從而和絕對(duì)收斂,故收斂.因此級(jí)數(shù)收斂.因?yàn)樗匝a(bǔ)充因?yàn)樗跃C上可得:因此,如果和都絕對(duì)收斂時(shí),也絕對(duì)收斂.絕對(duì)收斂和都絕對(duì)收斂.例1

下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.例2

下列級(jí)數(shù)是否收斂?是否絕對(duì)收斂.定理4.4設(shè)是收斂數(shù)列，則其有界,即存在M>0,使得1冪級(jí)數(shù)的概念2收斂圓與收斂半徑3收斂半徑的求法§4.2冪級(jí)數(shù)4冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).

為該級(jí)數(shù)的部分和.設(shè)是定義在區(qū)域D上的復(fù)變函數(shù)列,稱1冪級(jí)數(shù)的概念稱為該級(jí)數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù).如果對(duì)下述極限存在則稱級(jí)數(shù)在點(diǎn)收斂,且是級(jí)數(shù)和.如果級(jí)數(shù)在D內(nèi)處處收斂,則稱其在區(qū)域D內(nèi)收斂.此時(shí)級(jí)數(shù)的和是函數(shù)這類函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).當(dāng)或時(shí),或的特殊情形函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的形式為定理一(Abel定理)若級(jí)數(shù)在處收斂，則當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂;若級(jí)數(shù)在處發(fā)散，則當(dāng)時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.因而存在正數(shù)M,

使得當(dāng)時(shí),記于是,由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知,收斂,因此證明若級(jí)數(shù)收斂,則級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.其余的結(jié)論用反證法易得.2收斂圓與收斂半徑

(1)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都收斂.級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)絕對(duì)收斂.(2)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都發(fā)散.級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.(3)既存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù),也存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù).設(shè)時(shí),級(jí)數(shù)收斂;時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.如圖:由,冪級(jí)數(shù)收斂情況有三種:..收斂圓收斂半徑冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域...

冪級(jí)數(shù)的收斂范圍是因此，事實(shí)上,冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上斂散性的討問題：冪級(jí)數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?以為中心的圓域.收斂半徑根據(jù)前面所述的三種情形,分別規(guī)定為論比較復(fù)雜,沒有一般的結(jié)論,要對(duì)具體級(jí)數(shù)進(jìn)行具體分析.解級(jí)數(shù)收斂,級(jí)數(shù)發(fā)散.絕對(duì)收斂,且有在內(nèi),級(jí)數(shù)

例1

求級(jí)數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).所以收斂半徑3收斂半徑的求法

(3)當(dāng)時(shí),收斂半徑(1)當(dāng)時(shí),收斂半徑(2)當(dāng)時(shí),收斂半徑定理二(比值法)設(shè)級(jí)數(shù)如果則形式上可以記為證明：由于故知當(dāng)時(shí)，收斂。根據(jù)上節(jié)的定理三，級(jí)數(shù)在圓內(nèi)收斂。正項(xiàng)級(jí)數(shù)達(dá)朗貝爾判別法當(dāng)時(shí)。假設(shè)在圓外有一點(diǎn)z0,使級(jí)數(shù)收斂。反證法在圓外再取一點(diǎn)z1，使，那么根據(jù)Abel定理，級(jí)數(shù)必收斂。然而所以這與收斂相矛盾。在圓外發(fā)散。由z0的任意性知級(jí)數(shù)(3)當(dāng)時(shí),收斂半徑(1)當(dāng)時(shí),收斂半徑(2)當(dāng)時(shí),收斂半徑定理三

(根值法)設(shè)級(jí)數(shù)如果則形式上可以記為例2

求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑（并且討論在收斂圓周上的情形）；(并討論z=0,2時(shí)的情形)由于冪級(jí)數(shù)在收斂圓的內(nèi)部絕對(duì)收斂，因此可得出下面幾個(gè)定理.

定理

(1)設(shè)級(jí)數(shù)和的收斂半徑分別為和則在內(nèi),4冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)

例3

設(shè)有冪級(jí)數(shù)與求的收斂半徑(2)設(shè)級(jí)數(shù)的收斂半徑為r.如果在內(nèi),函數(shù)解析,并且則當(dāng)時(shí),前面關(guān)于級(jí)數(shù)的性質(zhì),如果將換成之后,對(duì)于級(jí)數(shù)當(dāng)然也成立.說明:

上述運(yùn)算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù).例4

把函數(shù)表示成形如的冪級(jí)數(shù),其中a與b是不相等的復(fù)常數(shù).代數(shù)變形,使其分母中出現(xiàn)湊出

把函數(shù)寫成如下的形式:當(dāng)即時(shí),所以補(bǔ)例

把函數(shù)在的范圍表示成形如的冪級(jí)數(shù)。定理四設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R，那么是收斂圓：內(nèi)的解析函數(shù)。在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到，即1）它的和函數(shù)f(z),即補(bǔ)例

把函數(shù)在的范圍表示成形如的冪級(jí)數(shù)。3）f(z)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分，即或§4.3泰勒級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)在收斂圓域內(nèi)收斂于解析函數(shù)。

函數(shù)是否能夠展開成冪級(jí)數(shù)。解析能R為到D邊界的最短距離

定理

(Taylor展開定理)

設(shè)在區(qū)域D內(nèi)解析,為D內(nèi)的一點(diǎn),.R(D是全平面時(shí),R=+),

則在內(nèi)可展開為冪級(jí)數(shù)其中系數(shù)cn按上述表示的冪級(jí)數(shù)稱為在點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù).

..C.R證明對(duì)內(nèi)任意一點(diǎn)z,存在r>0,使得并且以z0為圓心,r為半徑作正向圓周由因?yàn)楫?dāng)時(shí),..C.R從而實(shí)際上積分號(hào)下的級(jí)數(shù)可在C上逐項(xiàng)積分.50R為到D邊界的最短距離

定理

(Taylor展開定理)

設(shè)在區(qū)域D內(nèi)解析,為D內(nèi)的一點(diǎn),.R(D是全平面時(shí),R=+),

則在內(nèi)可展開為冪級(jí)數(shù)其中系數(shù)cn按上述表示的冪級(jí)數(shù)稱為在點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù).

此定理給出了函數(shù)在z0點(diǎn)的鄰域內(nèi)展開成Taylor級(jí)數(shù)的公式,同時(shí)給出了展開式的收斂半徑R=|z0-a|,其中a

是離z0最近的f(z)的奇點(diǎn).Taylor展開式的唯一性定理

定理設(shè)是D上的解析函數(shù),是D內(nèi)的點(diǎn)，且在內(nèi)可展成冪級(jí)數(shù)則這個(gè)冪級(jí)數(shù)是在點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)，即注任何解析函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果就是泰勒級(jí)數(shù)。證明因?yàn)樵趦?nèi)，絕對(duì)收斂.取則由收斂，得于是有界,即存在

使得則其中所以是收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù).則由,級(jí)數(shù)在上可以逐項(xiàng)積分.又因?yàn)閷⑸鲜皆谏现痦?xiàng)積分，利用

以及因此,解析函數(shù)在一點(diǎn)展開成冪級(jí)數(shù)的結(jié)果唯一.考慮f(z)的任意展開式顯然又所以顯然又所以又即將函數(shù)展開為Taylor級(jí)數(shù)的方法:

1.直接方法;2.間接方法.1.直接方法由Taylor展開定理計(jì)算級(jí)數(shù)的系數(shù)然后將函數(shù)f(z)在z0展開成冪級(jí)數(shù).

例求在的Taylor展開式.所以它在處的Taylor級(jí)數(shù)為并且收斂半徑

因?yàn)樵趶?fù)平面上解析，且2.間接方法

借助于一些已知函數(shù)的展開式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級(jí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等)和其它的數(shù)學(xué)技巧(代換等),求函數(shù)的Taylor展開式.間接法的優(yōu)點(diǎn):

不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑,因而比直接展開更為簡(jiǎn)潔,使用范圍也更為廣泛.例利用并且收斂半徑同理本例利用直接方法也很簡(jiǎn)單以及上節(jié)可得

例1

求在點(diǎn)鄰域內(nèi)的Taylor級(jí)數(shù).解

是的唯一奇點(diǎn),且

故收斂半徑在中，用z替換-z,則逐項(xiàng)求導(dǎo)，得

例2

求對(duì)數(shù)函數(shù)的主值在z=0點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù).負(fù)實(shí)軸向左的射線的區(qū)域內(nèi)解析.因?yàn)?/p>

并且由有

函數(shù)在復(fù)平面中割去從點(diǎn)-1沿所以根據(jù)，把上式逐項(xiàng)積分，得

例3求冪函數(shù)(a為復(fù)數(shù))的主值支在z=0點(diǎn)的Taylor展開式.

解法一

待定系數(shù)法由于可知f(z)滿足微分方程設(shè)

（※）

（※※

）將（※※

）帶入（※

）得即比較上式的系數(shù)所以所求得展開式為實(shí)軸向左的射線的區(qū)域內(nèi)解析.因此在內(nèi),可展開為z的冪級(jí)數(shù).根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,按照直接方法展開如下:

顯然,在復(fù)平面中割去從點(diǎn)-1沿負(fù)

解法二

令z=0,有于是附:常見函數(shù)的Taylor展開式1Laurent級(jí)數(shù)的概念2函數(shù)的Laurent級(jí)數(shù)展開3典型例題§3.4Laurent級(jí)數(shù)1Laurent級(jí)數(shù)的概念本節(jié)將引進(jìn)一種在圓環(huán)域收斂的雙邊冪級(jí)數(shù),即Laurent級(jí)數(shù).它將在后面討論孤立奇點(diǎn)與留數(shù)中起重要作用.問題：解析函數(shù)能否在奇點(diǎn)處展開成冪級(jí)數(shù)？如果能應(yīng)為何種形式？負(fù)冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分這種雙邊冪級(jí)數(shù)的形式為同時(shí)收斂Laurent級(jí)數(shù)收斂主要部分解析部分收斂半徑R收斂域收斂半徑R2收斂域兩收斂域無公共部分,兩收斂域有公共部分結(jié)論:.常見的特殊圓環(huán)域:...(1)

冪級(jí)數(shù)的收斂域是圓域,且和函數(shù)在收斂域內(nèi)解析.(2)在圓域內(nèi)的解析函數(shù)一定能展開成冪級(jí)數(shù).對(duì)于Laurent級(jí)數(shù)，已經(jīng)知道：

Laurent級(jí)數(shù)的收斂域是圓環(huán)域，且和函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析.

問題:在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否可以展開成Laurent級(jí)數(shù)?對(duì)于通常的冪級(jí)數(shù)，討論了下面兩個(gè)問題:?2函數(shù)的Laurent級(jí)數(shù)展開定理3.15(Laurent展開定理)設(shè)函數(shù)f(z)在圓環(huán)域內(nèi)解析,則函數(shù)f(z)在此環(huán)域內(nèi)可展開為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù)其中C是圓周的正向.證明設(shè)z在圓環(huán)域內(nèi),取正數(shù)r和R,使得作圓周和當(dāng)z在K2上變化時(shí)，根據(jù)和Rr.z..于是所以與的證明方法相同,可以逐項(xiàng)積分.Rr.z..當(dāng)z在K1上變化時(shí)，類似有因?yàn)閒(z)在K1上有界,即存在使得z

K1時(shí),Rr.z..所以其中由于是收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，根據(jù),可以逐項(xiàng)積分.根據(jù),Rr.z..因此，注函數(shù)f(z)展開成Laurent級(jí)數(shù)的系數(shù)與展開成Taylor級(jí)數(shù)的系數(shù)在形式上完全相同。當(dāng)f(z)在圓環(huán)域內(nèi)解析,如果函數(shù)f(z)在內(nèi)解析，則根據(jù)所以Laurent級(jí)數(shù)包含了Taylor級(jí)數(shù).cn不能寫為L(zhǎng)aurent展開式的唯一性定理定理3.16設(shè)函數(shù)f(z)在圓環(huán)域內(nèi)解析,并且可以展開成雙邊冪級(jí)數(shù)則其中C的正向.是圓周注函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)Laurent展開式是唯一的.因此為函數(shù)展開成Laurent級(jí)數(shù)的間接方法奠定了基礎(chǔ).方法,可以證明雙邊冪級(jí)數(shù)也可以在C上逐項(xiàng)積分.設(shè)是函數(shù)f(z)在內(nèi)的雙邊冪級(jí)數(shù)展開式，則在上,證明利用證明的于是在C上取積分得根據(jù)所以(1)直接方法直接計(jì)算展開式系數(shù)然后寫出Laurent展開式這種方法只有理論意義,而沒有實(shí)用價(jià)值.就是

說,只有在進(jìn)行理論推導(dǎo)時(shí),才使用這種表示方法.將函數(shù)展開為L(zhǎng)aurent級(jí)數(shù)的方法:

1.直接方法;2.間接方法.

根據(jù)解析函數(shù)Laurent級(jí)數(shù)展開式的唯一性,可運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去將函數(shù)展開成Laurent級(jí)數(shù).(2)

間接方法這是將函數(shù)展開成Laurent級(jí)數(shù)的常用方法.

給定函數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的一點(diǎn)以后,函數(shù)在各個(gè)不同的圓環(huán)域中有不同的Laurent展開式(包括Taylor展開式作為特例).這與Laurent展開式的唯一性并不矛盾,在同一圓環(huán)域內(nèi)的展開式唯一.內(nèi)展開成Laurent級(jí)數(shù).

例1

將函數(shù)在圓環(huán)域處都解析,并且可分解為3.4.3典型例題函數(shù)f(z)在z=1和z=2處不解析,在其它點(diǎn)oxy1(1)在內(nèi),有則于是在內(nèi)，12oxy(2)在內(nèi),有2oxy于是在內(nèi),(3)在內(nèi),有于是在內(nèi),2oxy.1(4)由知,展開的級(jí)數(shù)形式應(yīng)為所以在