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2.2一元二次方程的解法(四)1.已知一元二次方程ax2+4x+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,則a=__2__,x=-1.2.若關(guān)于x的方程(k-2)x2-4x+1=0有實(shí)數(shù)根,則k滿足的條件是k≤6.3.若關(guān)于x的一元二次方程x2-3x+m=0有實(shí)數(shù)根,則x的取值范圍是m≤eq\f(9,4).4.用公式法解方程3x2+4=12x,下列代入公式正確的是(D)A.x=eq\f(12±\r(122-4×3×4),2×3)B.x=eq\f(-12±\r(122-4×3×4),2×3)C.x=eq\f(12±\r(122+4×3×4),2×3)D.x=eq\f(-(-12)±\r((-12)2-4×3×4),2×3)5.若關(guān)于x的一元二次方程x2-2x+kb+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則一次函數(shù)y=kx+b的大致圖象可能是(B)6.方程x2-kx-1=0的根的情況是(A)A.方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根D.方程的根的情況與k的取值有關(guān)7.已知關(guān)于x的一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是(CA.m>eq\f(3,4)B.m≥eq\f(3,4)C.m>eq\f(3,4)且m≠2D.m≥eq\f(3,4)且m≠28.用公式法解下列方程:(1)2x2-3x-5=0.【解】∵a=2,b=-3,c=-5,∴b2-4ac=49∴x=eq\f(-(-3)±\r(49),2×2)=eq\f(3±7,4),∴x1=eq\f(5,2),x2=-1.(2)3x2-10x-8=0.【解】∵a=3,b=-10,c=-8,∴b2-4ac=196∴x=eq\f(-(-10)±\r(196),6)=eq\f(10±14,6),∴x1=4,x2=-eq\f(2,3).(3)y(2y+7)=4.【解】y(2y+7)=4,2y2+7y-4=0.∵a=2,b=7,c=-4,∴b2-4ac=81∴y=eq\f(-7±\r(81),4)=eq\f(-7±9,4),∴y1=eq\f(1,2),y2=-4.(4)(x+2)(2x-9)=-6.【解】(x+2)(2x-9)=-6,2x2-5x-12=0.∵a=2,b=-5,c=-12,∴b2-4ac=121∴x=eq\f(-(-5)±\r(121),4)=eq\f(5±11,4),∴x1=4,x2=-eq\f(3,2).9.用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)x2-8x=20.(2)(x-eq\r(2))2+4eq\r(2)x=0.(3)eq\r(2)x2-4x=4eq\r(2).(4)(x-2)2-4(x-2)=-4.【解】(1)x2-8x-20=0,(x-10)(x+2)=0,∴x1=10,x2=-2.(2)x2-2eq\r(2)x+2+4eq\r(2)x=0,x2+2eq\r(2)x+2=0,(x+eq\r(2))2=0,∴x1=x2=-eq\r(2).(3)eq\r(2)x2-4x-4eq\r(2)=0,x2-2eq\r(2)x-4=0,b2-4ac=(-2eq\r(2))2-4×1×(-4)=24,∴x=eq\f(-b±\r(b2-4ac),2a)=eq\f(2\r(2)±2\r(6),2)=eq\r(2)±eq\r(6),∴x1=eq\r(2)+eq\r(6),x2=eq\r(2)-eq\r(6).(4)(x-2)2-4(x-2)+4=0,(x-2-2)2=0,(x-4)2=0,∴x1=x2=4.10.如果實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+2b+3c=12,且a2+b2+c2=ab+ac+bc,求代數(shù)式a+b2+c3【解】∵a2+b2+c2=ab+ac+bc,∴2a2+2b2+2c2=2ab+2ac∴(a2-2ab+b2)+(a2-2ac+c2)+(b2-2bc+c2)=0∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,∴a-b=0,a-c=0,b-c=0,即a=b=c.又∵a+2b+3c=12,∴6a∴a=b=c=2,∴a+b2+c3=2+4+8=14.11.已知關(guān)于x的方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有實(shí)數(shù)根,則a=__1__,b=-eq\f(1,2).【解】∵關(guān)于x的方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有實(shí)數(shù)根∴Δ=4(1+a)2-4(3a2+4ab+4b2=-4[(a+2b)2+(a-1)2]≥0,∴(a+2b)2+(a-1)2≤0.∵(a+2b)2+(a-1)2≥0,∴(a+2b)2+(a-1)2=0,∴a+2b=0,a-1=0,∴a=1,b=-eq\f(1,2).12.已知整數(shù)k<5,若△ABC的三邊長(zhǎng)均滿足關(guān)于x的方程x2-3eq\r(,k)x+8=0,則△ABC的周長(zhǎng)是6或12或10.【解】根據(jù)題意,得k≥0且(3eq\r(,k))2-4×8≥0,解得k≥eq\f(32,9).∵整數(shù)k<5,∴k=4,∴方程可變形為x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4.∵△ABC的三邊長(zhǎng)均滿足關(guān)于x的方程x2-6x+8=0,∴△ABC的三邊長(zhǎng)為2,2,2或4,4,4或4,4,2,∴△ABC的周長(zhǎng)為6或12或10.13.已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.(1)求證:方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)若△ABC的兩邊AB,AC的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,第三邊BC的長(zhǎng)為5,當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí),求k的值.【解】(1)∵Δ=(2k+1)2-4(k2+k)=1>0,∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0的解為x=eq\f(2k+1±\r(1),2),即x1=k,x2=k+1.當(dāng)AB=k,AC=k+1,且AB=BC時(shí),△ABC是等腰三角形,則k=5;當(dāng)AB=k,AC=k+1,且AC=BC時(shí),△ABC是等腰三角形,則k+1=5,解得k=4.∴k的值為5或4.14.已知關(guān)于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.(1)求證:無(wú)論k取何值,方程總有實(shí)數(shù)根.(2)若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)a=1,另兩邊長(zhǎng)b,c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根,求△ABC的周長(zhǎng).【解】(1)∵Δ=b2-4ac=(k+2)2-8k=(k-2)2≥0∴無(wú)論k取何值,方程總有實(shí)數(shù)根.(2)分兩種情況:①若b=c,則方程x2-(k+2)x+2k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ=b2-4ac=(k-2)2=0解得k=2,此時(shí)方程為x2-4x+4=0,解得x1=x2=2.∴△ABC的周長(zhǎng)為5.②若b≠c,則b=a=1或c=a=1,即方程有一個(gè)根為1,把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0,得1-(k+2)+2k=0,解得k=1,此時(shí)方程為x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2.∴方程的另一個(gè)根為2.∵1,1,2不能構(gòu)成三角形,∴此時(shí)不能構(gòu)成三角形.綜上所述,所求△ABC的周長(zhǎng)為5.15.閱讀材料:一元二次方程的求根公式有兩種推導(dǎo)方法:方法一(教材中的方法):∵ax2+bx+c=0,a≠0,∴x2+eq\f(b,a)x+eq\f(c,a)=0.配方,得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(b,2a)))eq\s\up12(2)=eq\f(b2-4ac,4a2).當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)x+eq\f(b,2a)=±eq\f(\r(b2-4ac),2a),∴x=eq\f(-b±\r(b2-4ac),2a).方法二:∵ax2+bx+c=0,a≠0,∴4a2x2+4abx+4ac∴(2ax+b)2=b2-4ac當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)2ax+b=±eq\r(b2-4ac),∴x=eq\f(-b±\r(b2-4ac),2a).根據(jù)材料,請(qǐng)回答下列問(wèn)題:(1)這兩種方法有什么異同?你認(rèn)為哪個(gè)方法好?(2)說(shuō)說(shuō)你有什么感想?(3)選用上述方法解方程:(x-1)(2-3x)=x-3.【解】(1)兩種方法的本質(zhì)是相同的,都運(yùn)用了配方法,不同的是:第一種方法配方時(shí)出現(xiàn)分式,比較繁瑣;兩邊開(kāi)平方時(shí)分子、分母都出現(xiàn)“±”,相除后為何只有分子上有“±”,不好理解;更重要的是易誤認(rèn)為eq\r(4a2)=2a.第二種方法運(yùn)用等式的性質(zhì)后,配方時(shí)無(wú)上述問(wèn)題,是對(duì)教材方法的再創(chuàng)新.所以第二種方法好.(2)學(xué)習(xí)要勤于思考,敢于向傳統(tǒng)挑戰(zhàn)和創(chuàng)新,雖然教材是我們的學(xué)習(xí)之本,但也不能完全照本宣科.(3)原方程整理,得3x2-4x-1=0,9x2-12x-3=0,(3x-2)2=7,∴x1=eq\f(2,3)+eq\f(\r(7),3),x2=eq\f(2,3)-eq\f(\r(7),3).(第16題)16.如圖,有一塊長(zhǎng)方形空地ABCD,要在中央修建一個(gè)長(zhǎng)方形花圃EFGH,使其面積為這塊空地面積的一半,且花圃四周道路的寬相等.現(xiàn)無(wú)測(cè)量工具,只有一條無(wú)刻度且足夠長(zhǎng)的繩子,如何確定道路的寬?【解】設(shè)道路的寬為x,AD=a,AB=b,不妨設(shè)a<b,則x<eq\f(a,2).由題意,得(a-2x)(b-2x)=eq\f(1,2)ab,解方程,得x=eq\f(a+b±\r(a2+b2),4).當(dāng)x=eq\f(a+b+\r(a2+b2),4)時(shí),4x=a+b+e
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