解直角三角形(一)1.在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，則AC＝eq\r(3)，AB＝2.2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若已知∠A與a，則c＝eq\f(a,sinA).3.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°.(第3題)(1)已知c和a，則sinA＝eq\f(\r(c2－a2),c)，sinB＝eq\f(a,c).(2)已知a和∠A，則b＝a·tanA，c＝eq\f(a,cosA).4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝eq\f(3,5)，BC＝6，則AB＝(D)A.4B.6C.8D.105.如圖，廠房屋頂人字形(等腰三角形)鋼架的跨度BC＝10m，∠B＝36°，則中柱AD(D為底邊中點)的長是(C(第5題)A.5sin36°mB.5cos36°mC.5tan36°mD.10tan36°m6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sinA＝eq\f(3,5)，則斜邊上的高線長為(C)A.eq\f(12,5)B.eq\f(16,5)C.eq\f(48,25)D.eq\f(64,25)7.在△ABC中，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，∠C＝90°.求證：a3sinB＋b3sinA＝abc.【解】∵在△ABC中，∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2，sinB＝eq\f(b,c)，sinA＝eq\f(a,c)，∴a3sinB＋b3sinA＝a3·eq\f(b,c)＋b3·eq\f(a,c)＝eq\f(a3b＋b3a,c)＝eq\f(ab（a2＋b2）,c)＝eq\f(abc2,c)＝abc，即a3sinB＋b3sinA＝abc.8.如圖，在一個房間內，有一架梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離MA為a(m)，此時梯子的傾斜角為75°，如果梯子的底端不動，頂端靠在對面墻上，此時梯子的頂端距地面的垂直距離NB為b(m)，梯子的傾斜角為45°，則這間房子的寬AB為(D)A.eq\f(a＋b,2)mB.eq\f(a－b,2)mC.b(m)D.a(m)(第8題)【解】如解圖，過點N作ND⊥MA于點D，連結NM.(第8題解)設AB＝x(m)，則ND＝AB＝x(m).∵∠MCN＝180°－45°－75°＝60°，MC＝NC，∴△CNM是等邊三角形.∵∠NCB＝45°，∴∠DNC＝45°，∴∠MND＝60°－45°＝15°，∴cos15°＝eq\f(x,MN).∵∠MCA＝75°，∴∠AMC＝90°－75°＝15°，∴cos∠AMC＝cos15°＝eq\f(MA,MC)＝eq\f(x,MN).∵NM＝CM，∴x＝MA＝a.9.如圖，山腳下西端A處與東端B處相距800(1＋eq\r(3))m，小軍和小明同時分別從A處和B處向山頂C勻速行走.已知山的西端的坡角是45°，東端的坡角是30°，小軍的行走速度為eq\f(\r(2),2)m/s.若小明與小軍同時到達山頂C處，則小明的行走速度是1m/s.(第9題)【解】如解圖，過點C作CD⊥AB于點D，設AD＝x(m)，小明的行走速度是a(m/s).(第9題解)∵∠A＝45°，CD⊥AB，∴CD＝AD＝x(m)，∴AC＝eq\r(2)x(m).在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝eq\f(CD,sin30°)＝eq\f(x,\f(1,2))＝2x(m).∵小軍的行走速度為eq\f(\r(2),2)m/s，小明與小軍同時到達山頂C處，∴eq\f(\r(2)x,\f(\r(2),2))＝eq\f(2x,a)，解得a＝1.(第10題)10.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2eq\r(5)，sinB＝eq\f(\r(5),5).P為BC上一動點，PD∥AB，PD交AC于點D，連結AP.(1)求AC，BC的長.(2)設PC的長為x，△ADP的面積為y，問：當x為何值時，y最大？最大值為多少？【解】(1)在Rt△ABC中，∵sinB＝eq\f(\r(5),5)，AB＝2eq\r(5)，∴AC＝AB·sinB＝2eq\r(5)×eq\f(\r(5),5)＝2.∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝4.(2)在Rt△ABC中，∵AC＝2，BC＝4，∴tanB＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).∵PD∥AB，∴∠DPC＝∠B，∴tan∠DPC＝tanB＝eq\f(1,2).在Rt△PCD中，∵tan∠DPC＝eq\f(1,2)，PC＝x，∴DC＝eq\f(1,2)x，∴AD＝2－eq\f(1,2)x.∴y＝eq\f(1,2)AD·PC＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)x))·x＝－eq\f(1,4)x2＋x＝－eq\f(1,4)(x－2)2＋1.∴當x＝2時，y最大，最大值為1.11.在△ABC中，點P從點B開始出發(fā)向點C運動.在運動過程中，設線段AP的長為y，線段BP的長為x(如圖①)，而y關于x的函數(shù)圖象如圖②所示，Q(1，eq\r(3))是函數(shù)圖象上的最低點.請仔細觀察圖①，②，解答下列問題：(第11題)(1)請直接寫出AB邊的長和BC邊上的高線AH的長.(2)求∠B的度數(shù).(3)若△ABP為鈍角三角形，求x的取值范圍.【解】(1)AB＝2，AH＝eq\r(3).(2)在Rt△ABH中，根據(jù)函數(shù)圖象，易得AH＝eq\r(3)，BH＝1，∴tanB＝eq\r(3)，∴∠B＝60°.(第11題解)(3)①當∠APB