總結(jié)

矩陣位移法與位移法在理論上并無區(qū)別，只是在表達方式上有所不同。(1)矩陣位移法的理論基礎與一般位移法完全相同，只是表達方式不同。用矩陣形式表示具有更強的概括性。

(2)總剛度矩陣是由各單元剛度矩陣裝配成的，只要找出了裝配的規(guī)律，總剛度矩陣不必計算而可直接由單元剛度矩陣裝配而成。(3)矩陣位移法與一般位移法解題步驟的對應關系可以由下表表示：總結(jié)一、基本概念

結(jié)構矩陣分析是采用矩陣方法分析結(jié)構力學問題的一種方法。與傳統(tǒng)的力法、位移法相對應，在結(jié)構矩陣分析中也有矩陣力法和矩陣位移法，或柔度法與剛度法。矩陣位移法易于實現(xiàn)計算過程程序化而被廣泛應用。

矩陣位移法是結(jié)構力學中的位移法加上矩陣方法。矩陣位移法的基本未知量也是結(jié)點位移——獨立的線位移和轉(zhuǎn)角。但由于有時考慮桿件的軸向變形，且把桿件鉸結(jié)端的轉(zhuǎn)角也作為基本未知量，因此，基本未知量數(shù)目比傳統(tǒng)位移法的基本未知量多一些。總結(jié)

矩陣位移法的基本思路是:(1)先把結(jié)構離散成單元，進行單元分析,建立單元桿端力與桿端位移之間的關系；

(2)在單元分析的基礎上，考慮結(jié)構的幾何條件和平衡條件，將這些離散單元組合成原來的結(jié)構，進行整體分析，建立結(jié)構的結(jié)點力與結(jié)點位移之間的關系，即結(jié)構的總剛度方程，進而求解結(jié)構的結(jié)點位移和單元桿端力。

在從單元分析到整體分析的計算過程中，全部采用矩陣運算?？偨Y(jié)

集成總剛度矩陣最常用的方法是直接剛度法，即由單元剛度矩陣直接集成結(jié)構剛度矩陣，又可分為后處理法和先處理法。1.后處理法

(1)集成。對所有單元不做邊界條件處理，均采用自由式的單元剛度矩陣，按單元的結(jié)點編號將單元剛度矩陣分為四個子塊（階數(shù)相同），逐塊地將結(jié)點所對應的子塊在結(jié)構的原始剛度矩陣中對號入座，形成結(jié)構的原始剛度矩陣。由于結(jié)點位移分量中包括了非自由結(jié)點的已知位移，原始剛度矩陣為奇異的，需進行邊界條件處理，才能求解自由結(jié)點位移。由于原始剛度矩陣的階數(shù)較高，所以后處理法的主要缺點是占用較多的計算機內(nèi)存。二、總剛度矩陣的集成及約束處理總結(jié)對于每個結(jié)點位移分量數(shù)相同的結(jié)構，原始剛度矩陣的階數(shù)為結(jié)構的總結(jié)點數(shù)乘以結(jié)點位移分量的數(shù)目，例如，每個結(jié)點位移分量數(shù)為3的平面剛架，結(jié)構原始剛度矩陣的階數(shù)為3n×3n

?？偨Y(jié)

對于剛性支座，用劃行劃列法處理剛性支座，即直接劃去原始剛度方程中與零位移對應的行和列。這樣做有時要改變原方程的排列順序,會給編程帶來麻煩。為了不改變原方程的排列順序，同時又要引入邊界條件,采用“主一副零”法。（2）邊界條件處理

設結(jié)點位移向量中第r個位移等于零,即r=0

，則在結(jié)構的原始剛度矩陣k中的第r行第r列中主對角元素krr改為1其余元素改為零。同時將結(jié)點結(jié)點荷載列向量P中的第r個分量也改為零。即總結(jié)對于支座位移等于給定值時，采用“乘大數(shù)法”。設結(jié)點位移向量中第r個位移等于d0，在矩陣K與向量P中，主對角元素krr

改為Gkrr，將Pr改為d0Gkrr，其中G為一大數(shù)通常取108～1010

。，總結(jié)

單元定位向量：按單元連接結(jié)點編號順序由結(jié)點未知位移編號組成的向量。2.先處理法

(1)

集成。將單元剛度矩陣先按邊界條件進行處理,然后按照單元連接結(jié)點的總位移編號將單元剛度矩陣的元素在結(jié)構的剛度矩陣中對號入座，形成總剛后即可進行求解。上述過程可通過引入定位向量來實現(xiàn)。在單元定位向量中考慮邊界條件，凡給定的結(jié)點位移分量，其位移總碼均編為零，與總碼編為零相應的行、列元素在集成總剛時被屏棄在外?？偨Y(jié)

（2）邊界條件處理。對于剛性支座，其位移總碼均編為零。對于支座位移等于給定值時，通常也將其位移總碼均編為零，將支座結(jié)點位移的影響轉(zhuǎn)換成單元非結(jié)點荷載,即，將支座結(jié)點位移轉(zhuǎn)換成與該支座結(jié)點位移連接的各單元在單元坐標系中的桿端位移，求出由此給定的桿端位移產(chǎn)生的單元固端力，然后轉(zhuǎn)換成等效結(jié)點荷載。

通常用主對角元素疊加法處理彈性支座。如果結(jié)構的第j個自由度是彈性約束，那么，把彈性支座的剛度系數(shù)疊加到原始剛度矩陣主對角線的第j個元素上即可得到經(jīng)約束處理后的總剛度方程。3.彈性支座的處理

總結(jié)

總剛度方程為整體結(jié)構的結(jié)點荷載與結(jié)點位移之間的關系式，是結(jié)構應滿足的平衡條件。無論何種結(jié)構，其總剛度方程都具有統(tǒng)一的形式:4.

總剛度方程和總剛度矩陣的性質(zhì)與特點K=P

式中K為總剛度矩陣，為結(jié)構的結(jié)點位移列向量，P為結(jié)點力列向量。

總剛度矩陣K反應了整個結(jié)構的剛度，是描述結(jié)點力與結(jié)點位移之間關系的系數(shù)矩陣。其矩陣的性質(zhì)與特點：總結(jié)

(1)元素kij的物理意義為：當△j=1而其他位移分量為零時產(chǎn)生在△i方向的桿端力。

（2）主子塊Kii是由結(jié)點i的相關單元中與結(jié)點i相應的主子塊疊加而得。

（3）當i、j為相關結(jié)點時，副子塊Kij就等于連接ij的桿單元中相應的子塊；若i、j不相關，則Kij為零子塊。（4）總剛度矩陣為對稱矩陣。

（5）總剛度矩陣為稀疏帶狀矩陣。愈是大型結(jié)構，帶狀分布規(guī)律就愈明顯。

（6）總剛度矩陣主對角元素都大于零。通常是主對角元素占優(yōu)勢的矩陣，因此，線形方程組的解有較好的穩(wěn)定性?？偨Y(jié)5.

總剛度矩陣的最大半帶寬

總剛度矩陣的上三角部分，從某行的主對角元素到該行最末一個非零元素所具有的元素的個數(shù)稱為該行的半帶寬。各行半帶寬的最大值稱為總剛度矩陣的最大半帶寬。對應于后處理法，結(jié)構內(nèi)部不存在組合結(jié)點時最大半帶寬的計算公式為:d=(b+1)c，其中b為單元兩端結(jié)點編碼的最大差;c為結(jié)構中一個結(jié)點的位移分量數(shù)，顯然，最大半帶寬與結(jié)構的結(jié)點編碼的順序有關。通常應使相鄰結(jié)點編碼的最大差值為最小，即d值為最小?？偨Y(jié)

例如圖示剛架，按圖a編碼，d=3×(9+1)=30，而按b圖編碼，d=3×(3+1)=12

?？偨Y(jié)

如果結(jié)構內(nèi)部存在組合結(jié)點，并采用先處理法，則不能用上述公式計算總剛度矩陣的最大半帶寬，而應按照單元編，利用單元定位向量求出總剛度矩陣的最大半帶寬。設用MAX表示單元(e)定位向量中的最大分量，MIN表示單元(e)定位向量中的最小分量，則de=MAX-MIN+1總剛度矩陣的最大半帶寬為：d=MAX(d1d2…dn)總結(jié)

（1）初學者易把單元的固端力與傳統(tǒng)位移法中載常數(shù)混淆，造成求等效荷載時出錯。單元的固端力是在固定單元的桿端其不能有任何位移時荷載作用下的桿端力（即固端力）。二、需要注意的幾個問題

（2）在考慮軸向變形的單元剛度矩陣中剔除EA項，即得忽略軸向變形的單元剛度矩陣。

（3）為適應計算機計算、節(jié)省內(nèi)存和機時，在對結(jié)點編號時應力求使相關結(jié)點的最大差值為最小，以減小總剛度矩陣的帶寬。

例如，對于梁式桿，不論連接該桿的結(jié)點是鉸結(jié)點、定向結(jié)點，均按兩端固定梁計算固端力?？偨Y(jié)

例：圖示梁用矩陣位移法求解時的基本未知量數(shù)目為多少？解：基本未知量數(shù)目為2，即A點的豎向位移和轉(zhuǎn)角。三、例題總結(jié)例：圖示結(jié)構中單元①的定位向量為——。C.（001324）T

B.（234001）T

D.（324001）T

A.（001234）T

解：答案為B。

總結(jié)例：圖示結(jié)構整體剛度矩陣K中元素k22等于（）

D.16EI/l

A.28EI/3l

B.12EI/l

C.20EI/3l

解：答案選A。總結(jié)

例：矩陣位移法中，結(jié)構的原始剛度方程是表示下列兩組量值之間的相互關系：（）A．桿端力與結(jié)點位移B．桿端力與結(jié)點力

C．結(jié)點力與結(jié)點位移D．結(jié)點位移與桿端力

解：答案選C。

例：平面桿件結(jié)構用后處理法建立的原始剛度方程組,（）A．可求得全部結(jié)點位移B．可求得可動結(jié)點的位移C．可求得支座結(jié)點位移D．無法求得結(jié)點位移解：答案選D?？偨Y(jié)

例：圖示結(jié)構若考慮軸向變形，在未引入支撐條件時，其整體剛度矩陣K是____階方陣。

解：答案為21×21?？偨Y(jié)

例：圖示結(jié)構若只考慮彎曲變形，括號中的數(shù)字為結(jié)點位移分量編碼，則其整體剛度矩陣中元素k11等于（）.A.

B.

C.

D.

解：答案選D。

提示：在不考率軸向變形時，結(jié)點2和結(jié)點3只有水平位移和轉(zhuǎn)角，桿件12對k11的貢獻為12×（2EI）／l3，桿件34對k11的貢獻為12×EI／（l／2）3?？偨Y(jié)

例：用矩陣位移法計算圖a所示連續(xù)梁,并畫M圖，EI=常數(shù)。q=12kN/m,l=6m。

解：

(1)建立坐標系、對單元和結(jié)點編號如圖b，單元剛度矩陣

單元定位向量λ①=（01）T，λ②=（12）T，λ③=（20）T(2)將各單元剛度矩陣中的元素按單元定位向量在K中對號入座，得整體剛度矩陣

總結(jié)(3)連續(xù)梁的等效結(jié)點荷載

(4)將整體剛度矩陣K和等效結(jié)點荷載P代入基本方程得

(5)解方程得

(6)求桿端力并繪制彎矩圖如圖所示c。M圖（kN·m）總結(jié)四、思考題1.單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)與特點各是什么？2.單元定位向量是由什么組成？他的用處是什么？3.剛架中有鉸結(jié)點時應該怎樣處理？總結(jié)

一、判斷題

1.在矩陣位移法中整體分析的實質(zhì)是結(jié)點平衡。()2.單元剛度矩陣是單元固有的特性，與坐標選取無關。(

)3.矩陣位移法中，結(jié)構等效節(jié)點荷載作用下的內(nèi)力與結(jié)構在荷載作用下的內(nèi)力相同。（

）

4.結(jié)構剛度矩陣是對稱矩陣，即有kij=kji

，這可由位移互等定理得到證明。()

5.設整體坐標下單元剛度矩陣為

ke，桿端力列陣為Fe,桿端位移列陣為⊿e，桿件固端力列陣為F0e，則有

Fe

=ke⊿e+F0e()√√√應該是反力互等定理?！翍撌俏灰葡嗤??！磷詼y題二、選擇填空1.平面桿件結(jié)構用后處理法建立的原始剛度方程組。（）

A．可求得全部結(jié)點位移

B．可求得可動結(jié)點的移

C．可求得支座結(jié)點位移

D．無法求得結(jié)點位移2.單元剛度方程所表示的是_______兩組物理量之間的關系。

A.桿端位移與結(jié)點位移B.桿端力與結(jié)點荷載

C.結(jié)點荷載與結(jié)點位移C.桿端力與桿端位移

DD自測題1.單元i,j在圖示兩種坐標系中的剛度矩陣：（）(3分)（大連理工1995年）

A.完全相同B.第2，5行（列）等值異號