8/86.3.1平面向量基本定理（第1課時(shí)）一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容：平面向量基本定理．內(nèi)容解析：本節(jié)是高中數(shù)學(xué)人教A版必修2第六章第3節(jié)第一課時(shí)的內(nèi)容．平面向量的基本定理揭示了平面向量之間的基本關(guān)系，是向量解決問(wèn)題的理論基礎(chǔ)，同時(shí)平面向量的基本定理也為我們提供了一種重要的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想.平面向量基本定理是在學(xué)習(xí)了共線向量基本定理的前提下，進(jìn)一步研究平面內(nèi)任意向量的表示，為今后平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算建立向量坐標(biāo)的一個(gè)邏輯基礎(chǔ)，只有正確地構(gòu)建向量的坐標(biāo)才能有正確的坐標(biāo)運(yùn)算.平面向量的基本定理的研究綜合了前面學(xué)習(xí)過(guò)的向量知識(shí)，同時(shí)又為后續(xù)的學(xué)習(xí)做了奠基，起到了承前啟后的作用.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析目標(biāo)：（1）理解平面向量基本定理，了解向量的一組基底的含義，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；（2）在平面內(nèi)，當(dāng)一組基底選定后，會(huì)用這組基底來(lái)表示其他向量，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)；（3）會(huì)應(yīng)用平面向量基本定理解決有關(guān)平面向量的綜合問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).目標(biāo)解析：（1）經(jīng)歷平面向量基本定理的探索過(guò)程.體會(huì)由力的分解到向量分解的過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理等數(shù)學(xué)思想的作用.通過(guò)證明平面向量基本定理理解定理，體會(huì)定理的重要性及意義.增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思維方法的理解．（2）通過(guò)選擇基底表示平面內(nèi)的一些向量.解決一些平面幾何問(wèn)題，體會(huì)向量法在解決平面幾何問(wèn)題中的作用和基本步驟．基于上述分析，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)定為：平面向量基本定理，定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程．三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析1．教學(xué)問(wèn)題一：雖然本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了平面向量的概念、平面向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積，但學(xué)生對(duì)向量之間的關(guān)系認(rèn)識(shí)還只是停留在“一維”層面，包括“相等向量”，“相反向量”、“共線向量”等，而平面向量基本定理揭示的是“二維”層面的平面向量間的關(guān)系.要實(shí)現(xiàn)這種認(rèn)識(shí)層級(jí)的躍遷對(duì)學(xué)生有一定難度．解決方案：引導(dǎo)學(xué)生積極參與定理形成的探索過(guò)程，通過(guò)多舉實(shí)例，帶領(lǐng)學(xué)生去歸納發(fā)現(xiàn)定理．2．教學(xué)問(wèn)題二：如果說(shuō)由力的分解的物理模型想到向量的分解是第一次抽象，那么由向量的分解想到任意一個(gè)向量都可以用一對(duì)不共線的向量，經(jīng)過(guò)線性運(yùn)算加以表示是第二次抽象，也是認(rèn)識(shí)上的一種飛躍，會(huì)給學(xué)生造成認(rèn)知上的困難．解決方案：利用信息技術(shù)工具等形象的教學(xué)手段進(jìn)行直觀闡釋、辨析，幫助學(xué)生理解定理．基于上述情況，本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)定為：平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程．四、教學(xué)策略分析本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)問(wèn)題為我們選擇教學(xué)策略提供了啟示．為了讓學(xué)生通過(guò)觀察、歸納得到平面向量基本定理，可以利用信息技術(shù)工具展示幾組力的分解的例子，在此基礎(chǔ)上，固定基底，改變要表示的向量，看向量表示的變化與表示的唯一性，幫助學(xué)生理解定理．在教學(xué)設(shè)計(jì)中，采取問(wèn)題引導(dǎo)方式來(lái)組織課堂教學(xué)．問(wèn)題的設(shè)置給學(xué)生留有充分的思考空間，讓學(xué)生圍繞問(wèn)題主線，通過(guò)自主探究達(dá)到突出教學(xué)重點(diǎn)，突破教學(xué)難點(diǎn)．在教學(xué)過(guò)程中，重視平面向量基本定理的發(fā)現(xiàn)與證明，讓學(xué)生體會(huì)到從特殊到一般是數(shù)學(xué)抽象的基本過(guò)程，同時(shí)，定理的證明與定理的應(yīng)用其實(shí)就是數(shù)學(xué)模型的建立與應(yīng)用的典范．因此，本節(jié)課的教學(xué)是實(shí)施數(shù)學(xué)具體內(nèi)容的教學(xué)與核心素養(yǎng)教學(xué)有機(jī)結(jié)合的嘗試．五、教學(xué)過(guò)程與設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)問(wèn)題或任務(wù)師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)回顧引出問(wèn)題[問(wèn)題1]若向量與不共線，向量可以由向量表示出來(lái)嗎?[問(wèn)題2]如圖，兩根繩子吊著一個(gè)物體，你能知道這兩根繩子的拉力各是多少嗎？（請(qǐng)畫(huà)圖示意）復(fù)習(xí)：向量共線定理，并在課件中投影一組共線向量，并指出在“選定一個(gè)非零向量”的前提下，其他向量均可用唯一表示，即：存在唯一的實(shí)數(shù)，使其等于；教師1：提出問(wèn)題1．學(xué)生1：不能，表示不出來(lái).教師2：那么要怎樣才能表示出向量呢?學(xué)生2：學(xué)生思考．教師3：提出問(wèn)題2．學(xué)生3：學(xué)生思考．問(wèn)題引入：提出問(wèn)題．探尋規(guī)律獲得結(jié)論[問(wèn)題3]如圖，設(shè)是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，是這一平面內(nèi)與都不共線的向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作將按的方向分解，你有什么發(fā)現(xiàn)？[問(wèn)題4]當(dāng)是零向量時(shí)，還能用表示嗎？[問(wèn)題5]若向量與共線，那么還能用這種形式表示嗎？[問(wèn)題6]類(lèi)比前面的一維情況，平面內(nèi)任何一個(gè)向量都可以表示成的形式，那么這種表示是唯一的（即前面的系數(shù)）嗎？教師4：提出問(wèn)題3.學(xué)生4：如圖，，向量可以分解為兩個(gè)向量的和.教師5：平面上，任意向量都可以用表示嗎？讓學(xué)生分解選擇以下兩個(gè)向量之一進(jìn)行再次嘗試.學(xué)生5：思考嘗試.教師6：提出問(wèn)題4.學(xué)生6：可以，取，，則教師7：提出問(wèn)題5：學(xué)生7：若向量與共線，取，則；若向量與共線時(shí)，取，則教師8：提出問(wèn)題6：學(xué)生8：假設(shè)即假設(shè)不全為0不妨假設(shè)則.由此可得共線，與已知不共線矛盾則λ1－μ1，λ2－μ2全為0，即λ1=μ1，λ2=μ2所以表示形式是唯一的.教師9：綜上，我們得到“平面向量基本定理”：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2，我們把不共線向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.與學(xué)生一起提出注意：(1)基底不唯一，關(guān)鍵是不共線；(2)由定理可將任一向量a在給出基底e1，e2的條件下進(jìn)行分解；(3)基底給定時(shí)，線性表示是唯一的.教師10：向量共線定理平面向量基本定理?xiàng)l件定一個(gè)非零向量a兩個(gè)不共線向量e1，e2結(jié)論與向量a共線的向量b，均存在唯一的實(shí)數(shù)，使其等于b=a對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2實(shí)質(zhì)問(wèn)題探究的形式，引導(dǎo)學(xué)生思考，不斷精確，逐步引出平面向量基本定理的具體內(nèi)容，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生類(lèi)比能力以及化歸能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和自主探索的精神.這里通過(guò)證明“唯一性”，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)扎實(shí)，無(wú)可辯駁，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng).通過(guò)對(duì)比，加深對(duì)平面向量基本定理本質(zhì)含義的理解，抓住定理實(shí)質(zhì)，并未后面坐標(biāo)表示奠定基礎(chǔ)，而且為后面學(xué)習(xí)的空間向量基本定理做好過(guò)渡.應(yīng)用定理鞏固拓展[問(wèn)題7]如圖，在中，為的中點(diǎn)，用來(lái)表示.[問(wèn)題8]如圖，在中，如為的三等分點(diǎn)，用來(lái)表示.[問(wèn)題9]例1.如圖，不共線，且，用表示例2.如圖，CD是△ABC的中線，且CD＝AB，用向量方法證明△ABC是直角三角形.[課堂練習(xí)1]在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)依次是邊AB的四等分點(diǎn)，試以eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1，eq\o(CA,\s\up6(→))＝e2為基底表示eq\o(CF,\s\up6(→)).[課堂練習(xí)2]如圖所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D為BC的中點(diǎn),E是AB上的一點(diǎn),且AE=2EB.求證:AD⊥CE.教師11：提出問(wèn)題7．學(xué)生9：提出想法．（不同角度方法的嘗試）教師12：提出問(wèn)題8．學(xué)生10：提出想法．教師13：提出問(wèn)題9學(xué)生11：解：因?yàn)樗越處?4：追問(wèn)：你有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生12：如果三點(diǎn)共線，點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若，則.教師15：完成例2學(xué)生13：證明：如圖，設(shè)＝a，＝b則＝a＋b，＝a－b因?yàn)镃D＝AB，所以CD＝DA因?yàn)閍2＝CD2，b2＝DA2所以，因此CA⊥CB．于是△ABC是直角三角形.教師16：布置課堂練習(xí)1、2．學(xué)生14：完成課堂練習(xí)，并核對(duì)答案．讓學(xué)生從較容易的一兩個(gè)實(shí)際運(yùn)用中進(jìn)一步感受基本定理的含義，同時(shí)為猜想得出后面的一個(gè)重要結(jié)論做直觀的例證.在前面的基礎(chǔ)上，提出此結(jié)論的探究，引發(fā)學(xué)生探索的興趣.進(jìn)一步運(yùn)用基本定理，加深定理的理解，并初步感受向量方法在幾何上的運(yùn)用，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性.課堂練習(xí)1:熟悉平面向量基本定理．課堂練習(xí)2:能靈活選擇基底進(jìn)行分解表示.課堂小結(jié)升華認(rèn)知[問(wèn)題10]通過(guò)這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？[課后練習(xí)]1．已知平行四邊形ABCD，則下列各組向量中，是該平面內(nèi)所有向量基底的是()A．eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))B．eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))D．eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DA,\s\up6(→))2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共線，則a＋b與c＝6e1－2e2的關(guān)系是()A．不共線B．共線C．相等D．不確定3．如圖，在矩形ABCD中，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1，eq\o(DC,\s\up6(→))＝3e2，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)(5e1＋3e2)B．eq\f(1,2)(5e1－3e2)C．eq\f(1,2)(3e2－5e1)D．eq\f(1,2)(5e2－3e1)4．已知A，B，D三點(diǎn)共線，且對(duì)任一點(diǎn)C，有eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，則λ＝()A．eq\f(2,3)B．eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(2,3)教師17：提出問(wèn)題10．學(xué)生15：(1)平面向量基本