第三章數(shù)列、推理與證明合情推理與演繹推理第22講歸納推理【例1】一個正整數(shù)數(shù)表如下(表中下一行中的數(shù)的個數(shù)是上一行中數(shù)的個數(shù)的2倍)：則第9行第4個數(shù)是______．第1行1第2行2

3第3行4

5

6

7……【解析】第1行第1個數(shù)為1＝20，第2行第1個數(shù)為2＝21，第3行第1個數(shù)為4＝22，…，第9行第1個數(shù)為29－1＝256，所以第9行第4個數(shù)為256＋3＝259.答案：259點評

從特殊到一般，是歸納的特點．用歸納的方法導出結論一般是以審題、經驗和直覺為前提的．本題從數(shù)表的特點出發(fā)，仔細觀察第一列的特征，不難發(fā)現(xiàn)每行的第一個數(shù)的規(guī)律性．【變式練習1】根據(jù)下列5個圖表及相應點的個數(shù)的變化規(guī)律，歸納出第n個圖中點的個數(shù)f(n)與n的關系式f(n)＝_______________.

【解析】f(2)－f(1)＝2；f(3)－f(2)＝4；f(4)－f(3)＝6；…；f(n)－f(n－1)＝2(n－1)．以上(n－1)個式子相加得f(n)－f(1)＝n2－n，所以f(n)＝n2－n＋1.

類比推理【例2】在直角三角形ABC中，若∠C＝90°，則cos2A＋cos2B＝1.那么，在空間四面體P—ABC中，是否具有類似的結論？

點評

應用類比要注意兩類對象具有某些類似的特征，并由其中一類對象的已知特征推出另一類對象也具有這些特征．本題中，平面三角形有兩條邊相互垂直，同時與第三條邊所成角已知；在空間四面體中，也應有三個面相互垂直，并同時與第四個面所成角已知，那么由于情景和性質完全相同，就可以進行類比了．【變式練習習2】在平面幾幾何里，，有勾股股定理：：“設△ABC的兩邊AB、AC互相垂直直，則AB2＋AC2＝BC2”．拓展到到空間，，類比平平面幾何何的勾股股定理，，研究三三棱錐的的側面積積與底面面積間的的關系，，可以得得出的正正確結論論是什么么？演繹推理理點評本題考查查直線與與平面平平行、直直線與平平面垂直直等基礎礎知識，，考查空空間想象象能力和和推理論論證能力力．分析析上述推推理過程程，可以以看出，，推理的的前提是是一般性性命題：：平行四四邊形的的判定與與性質、、線面平平行的判判定定理理、線面面平行的的性質定定理等，，這些大大前提一一般可以以省略，，結論是是蘊含在在前提中中的特殊殊位置關關系．像像這類推推理證明明題和其其他知識識結合到到一起，，屬于知知識綜合合題．解解決此類類題目時時建立合合理的解解題思路路是關鍵鍵．【變式練習習3】將推理““函數(shù)y＝2x2＋x－1的圖象是是拋物線線”改寫寫成三段段論的形形式為_____________________________________________________________________________________________________________________________________.二次函數(shù)數(shù)的圖象象是拋物物線(大前提)；函數(shù)y＝2x2＋x－1是二次函函數(shù)(小前提)；函數(shù)y＝2x2＋x－1的圖象是是拋物線線(結論)1.下列四種種說法中中正確的的有__________.①合情推理理就是正正確的推推理；②合情推推理就是是歸納推推理；③歸納推推理是從從一般到到特殊的的推理；；④演繹推推理是從從一般到到特殊的的推理．．【解析】合情推理理包括歸歸納推理理和類比比推理，，它們分分別是由由特殊到到一般和和特殊到到特殊的的推理，，推理未未必正確確．④【解析】根據(jù)各種推理理的特點逐一一判斷：①是演繹推理；；②是類比推理；；③是歸納推理；；④是歸納推理．．推理一般包括括合情推理與與演繹推理，，合情推理是是指根據(jù)已有有的事實和正正確的結論(包括公理、定定理、常用的的結論)導出合理結果果的推理過程程，或根據(jù)個個人的經驗和和直覺推測出出某些結果的的推理過程．．因此，當前前提為真時，，結論可能為為真的推理就就是合情推理理．最常見的的合情推理有有歸納推理和和類比推理．．在解決問題題時，合情推推理具有猜測測、設想和發(fā)發(fā)現(xiàn)結論及探探索和提供思思路的作用，，有利于創(chuàng)新新意識的培養(yǎng)養(yǎng)．演繹推理是根根據(jù)已有的事事實和正確的的前提，按照照嚴格的邏輯輯法則得出新新的結論的推推理過程，其其特點是，當當前提為真時時，結論必然然為真．最常常見的演繹推推理有假言推推理，即“若若pq，p真，則q真”；三段論論推理，即““若b＝c，且b＝a，則a＝c”，又稱“大前前提，小前提提，結論”三三段論；關系系推理，即““若a≥b，b≥c，則a≥c”；完全歸納推推理，即把所所有情況都考考慮在內的演演繹推理，它它與合情推理理中的歸納推推理是有區(qū)別別的．合情推理中的的歸納推理稱稱為不完全歸歸納推理，是是一種由特殊殊到一般地推推理，推理的的結論未必是是可信的，而而演繹推理中中的歸納推理理是完全歸納納推理，它是是一種由一般般到一般地推推理，只要前前提正確，推推理的結論一一定是正確的的．選題感悟：本題主要考查查的是合情推推理．弄清平平面幾何與立立體幾何之間間的類比關系系，即面積→體積，是進一一步求解的關關鍵．【解析】根據(jù)已知不等等式左右兩邊邊的構成，應應用歸納推理理即可求解．．選題感悟：歸納往往從特特殊值開始，，通過對有限限的資料作歸歸納整理，提提出帶有規(guī)律律性的猜想，，這是數(shù)學研研究的基本方方法之一，要要注意體會．．3．(2010··遼寧文數(shù))如圖，棱柱ABC－A1B1C1的側面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.(1)證明：平面AB1C⊥平面A1BC1；(2)設D是A1C1上的點，且A1B∥平面B1CD，求A1D∶DC1的值．(2)設BC1交B1C于點E，連結DE，則DE是平面A1BC1與平面B1CD的交線．由線面平行的的性質定