第二章函數(shù)1考點搜索●奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念●周期函數(shù)●判斷函數(shù)的奇偶性的一般方法●函數(shù)奇偶性的應用●奇偶性、周期性與單調(diào)性在不等式中的運用2.5函數(shù)的奇偶性、周期性2高考猜想函數(shù)的奇偶性與周期性是高考?？純?nèi)容之一.可能單獨考查，如判斷奇偶性、奇偶性的應用，由解析式求最小正周期，由最小正周期確定解析式中相關字母的值及周期性的應用等，也可能與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合考查；考試題型可能是客觀題和基礎題，也可能是難度較大的綜合題.3

一、奇(偶)函數(shù)的定義及圖象特征1.若f(x)的定義域①_____________，且f(-x)=f(x)(或f(-x)=-f(x)),則函數(shù)f(x)叫做②______(或③_______).2.奇函數(shù)的圖象關于④_____對稱，偶函數(shù)的圖象關于⑤_____對稱，反之亦然.

二、奇(偶)函數(shù)的性質(zhì)1.若f(x)為奇函數(shù)，且在x=0處有定義，則f(0)=⑥____.關于原點對稱

偶函數(shù)奇函數(shù)原點y軸04

2.若f(x)為偶函數(shù)，則f(x)=⑦_______，反之亦然.3.在定義域的公共部分，兩奇函數(shù)的積(或商)為⑧____函數(shù)；兩偶函數(shù)的積(或商)為⑨____函數(shù)；一奇一偶函數(shù)的積(或商)為⑩____函數(shù)；兩奇函數(shù)(或兩偶函數(shù))的和、差為11____函數(shù)(或12____函數(shù)).

三、函數(shù)的周期性f(|x|)偶偶奇奇奇51.如果存在一個非零常數(shù)T，使得對于y=f(x)定義域內(nèi)的每一個x值13_____________都有成立，那么y=f(x)叫做周期函數(shù)，T叫做y=f(x)的一個周期，nT(n∈Z)均是該函數(shù)的周期，我們把周期中的14__________叫做函數(shù)的最小正周期.2.若函數(shù)y=f(x)滿足f(x+a)=-f(x)，其中a＞0，則f(x)的最小正周期為15___.f(x+T)=f(x)最小正數(shù)2a6

盤點指南：①關于原點對稱；②偶函數(shù)；③奇函數(shù)；④原點；⑤y軸；⑥0;⑦f(|x|);⑧偶；⑨偶；⑩奇；11奇；12偶；13f(x+T)=f(x);14最小正數(shù)；152a7

1.若是奇函數(shù)，則a=___.

解法1：f(-x)=-f(x)故a=.

解法2：f(-1)+f(1)=0a=.8

2.若函數(shù)f(x)=2sin(3x+θ)，x∈［2α-5π,3α］為偶函數(shù)，其中θ∈(0,π)，則α-θ的值是____.

解：函數(shù)f(x)=2sin(3x+θ)，x∈［2α-5π,3α］為偶函數(shù)，其中θ∈(0,π)2α-5π+3α=0,θ=kπ+(k∈Z)α=π,θ=α-θ=.9

3.函數(shù)f(x)對于任意實數(shù)x滿足條件f(x+2)=，若f(1)=-5,則f［f(5)］=_____.

解：由f(x+2)=,得f(x+4)==f(x).所以f(5)=f(1)=-5，則f［f(5)］=f(-5)=f(-1)==.101.判斷斷下列函數(shù)數(shù)的奇偶性性：(1)f(x)=(x-1)·;(2)f(x)=;題型1函數(shù)奇偶性性的判斷第一課時11(3)f(x)=;(4)f(x)=;(5)f(x)=;(6)f(x)=解：(1)≥0，得定定義域為［［-1，1)，關于于原點不對對稱，故f(x)為非奇非非偶函數(shù).12(2)由得得x∈(-1，這時，f(x)=.顯然，f(-x)=-f(x)，所以f(x)為奇函數(shù).(3)當x＜0時，-x＞0，則f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=f(x);當x＞0時，-x＜0，則f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=f(x).綜上，f(-x)=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù).13(4)由x2=1x=±1.此時，f(x)=0，x=±1.所以f(x)既是奇函數(shù)數(shù)又是偶函函數(shù).(5)>|x|≥-x+x>0f(x)=loga(+x)的定義域是是R.又f(-x)+f(x)=loga［-x］+loga(+x)=0,所以f(x)=loga(+x)是奇函數(shù).(6)因為x=時，1+sinx+cosx=2;x=-時，1+sinx+cosx=0，14所以f(x)=的定定義義域域不不對對稱稱，，故f(x)=是非非奇奇非非偶偶函函數(shù)數(shù).點評評：：利用用定定義義法法判判斷斷函函數(shù)數(shù)的的奇奇偶偶性性的的要要點點是是：：①①判判斷斷定定義義域域是是不不是是關關于于原原點點對對稱稱.若不不關關于于原原點點對對稱稱，，則則函函數(shù)數(shù)是是非非奇奇非非偶偶函函數(shù)數(shù)；；②②比比較較f(-x)與f(x)是相相等等還還是是相相反反關關系系，，有有些些函函數(shù)數(shù)有有時時須須化化簡簡后后才才可可判判斷斷.注意意還還有有一一類類函函數(shù)數(shù)既既是是奇奇函函數(shù)數(shù)，，也也是是偶偶函函數(shù)數(shù)，，如如第第(4)小題題中中的的函函數(shù)數(shù).15判斷斷下下列列函函數(shù)數(shù)的的奇奇偶偶性性：：(1)f(x)=;(2)f(x)=;(3)f(x)=|x+1|-|x-1|;(4)f(x)=.解：：(1)函數(shù)數(shù)的的定定義義域域為為(-∞∞,-1)∪∪(1,+∞∞)，且f(x)+f(-x)==0，所以以f(-x)=-f(x)，所所以以f(x)為奇奇函函數(shù)數(shù).16(2)函數(shù)數(shù)f(x)的定定義義域域為為(-∞∞，0)∪∪(0，+∞∞)，f(-x)=所以f(x)為偶函數(shù)數(shù)，(3)因為f(x)的定義域域為R，且f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x)，所以f(x)=|x+1|-|x-1|是奇函數(shù)數(shù).(4)f(x)的定義域域為{1}，關于原原點不對對稱，所所以f(x)是非奇非非偶函數(shù)數(shù).172.已知f(x)=ax3+bsinx+2(ab≠0)，若f(5)=5，則f(-5)=___.解：由f(x)=ax3+bsinx+2，得f(x)-2=ax3+bsinx為奇函數(shù)數(shù)，又f(5)-2=3，所以f(-5)-2=-3，即得f(-5)=-1.點評：定義域為為R的非奇非非偶函數(shù)數(shù)f(x)可以表示示為一個個奇函數(shù)數(shù)g(x)和一個偶偶函數(shù)h(x)的和.在已知f(a)=g(a)+h(a)的情況下下，則f(-a)=-g(a)+h(a)，可得出出f(-a)=2h(a)-f(a).題型2利用函數(shù)數(shù)的奇偶偶性求函函數(shù)值18已知函數(shù)數(shù)y=f(x)-1為奇函數(shù)數(shù)，且f(x)的最大值值為M，最小值值為N，則有()A.M-N=4B.M-N=2C.M+N=2D.M+N=4解：由條件知知：函數(shù)數(shù)y=f(x)-1的最大值值為M-1，最小值值為N-1，且M-1+N-1=0，所以M+N=2，故選C.193.已知定義義域為R的函數(shù)f(x)=是奇函數(shù)數(shù).(1)求a，b的值；(2)若對任意意的t∈R，不等式式f(t2-2t)+f(2t2-k)＜0恒成立，，求k的取值范范圍.題型3函數(shù)奇偶偶性質(zhì)的的應用

解：(1)因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(0)=0，即，所以f(x)=.又由f(1)=-f(-1)，知，解得a=2.20(2)由(1)知f(x)=，易知f(x)在(-∞，+∞)上為減函函數(shù).又因為為f(x)是奇函函數(shù)，，所以f(t2-2t)+f(2t2-k)＜0等價于于f(t2-2t)＜-f(2t2-k)=f(k-2t2)，因為f(x)為減函函數(shù)，，由上上式推推得t2-2t＞k-2t2.即對一一切t∈R有3t2-2t-k＞0恒成立立，從而判判別式式Δ=4+12k＜0，解得得k＜-.所以k的取值值范圍圍為(-∞∞，-).21點評：：若奇函函數(shù)在在x=0處有定定義，，則f(0)=0，對定定義域域上任任一非非零自自變量量t，都有有f(-t)=-f(t)，利用用這兩兩個性性質(zhì)常常用來來解決決含參參奇函函數(shù)問問題.22設定義義在［［-2，2］上的的偶函函數(shù)f(x)在區(qū)間間［0，2］上單單調(diào)遞遞減，，若f(1-m)＜f(m)，求實實數(shù)m的取值值范圍圍.解:因為f(x)是偶函函數(shù),所以f(-x)=f(x)=f(|x|)，所以不等式式f(1-m)＜f(m)f(|1-m|)＜f(|m|).又當x∈［0，2］時，f(x)是減函數(shù)，，所以解解得-1≤m＜.故實數(shù)m的取值范圍圍是［-1，).231.判定函數(shù)奇奇偶性時