10.2

事件的相互獨立性

我們知道，積事件AB就是事件A與事件B同時發(fā)生.因此，積事件AB發(fā)生的概率一定與事件A、B發(fā)生的概率有關(guān).那么，這種關(guān)系會是怎樣的呢?下面我們來討論一類與積事件有關(guān)的特殊問題.復習引入事件的關(guān)系或運算含義符號表示概率表示包含并事件(和事件)交事件(積事件)互斥(互不相容)互為對立A發(fā)生導致B發(fā)生A與B至少一個發(fā)生A與B同時發(fā)生A與B不能同時發(fā)生A與B有且僅有一個發(fā)生A?BAUB或A+BA∩B或ABA∩B=ΦA∩B=Φ,AUB=ΩP(A)≤P(B)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)P(AB)=P(A)P(B)P(A)+P(B)=1？

前面我們研究過互斥事件、對立事件的概率性質(zhì),還研究過和事件的概率計算方法.對于積事件的概率，你能提出什么值得研究的問題嗎?P(A+B)=P(A)+P(B)

下面兩個隨機試驗各定義了一對隨機事件A和B，你覺得事件A發(fā)生與否會影響事件B發(fā)生的概率嗎?

試驗1：分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣反面朝上”.

試驗2：一個袋子中裝有標號分別是1、2、3、4的4個球,除標號外沒有其他差異,采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設A=“第一次摸到球的標號小于3”,B=“第二次摸到球的標號小于3”.

對于試驗1，因為兩枚硬幣分別拋擲，第一枚硬幣的拋擲結(jié)果與第二枚硬幣的拋擲結(jié)果互相不受影響，所以事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率.對于試驗2，因為是有放回摸球，第一次摸球的結(jié)果與第二次摸球的結(jié)果互相不受影響，所以事件A發(fā)生與否也不影響事件B發(fā)生的概率.探究新知

在試驗1中，用1表示硬幣“正面朝上”，用0表示硬幣“反面朝上”，則樣本空間為積事件AB的概率P(AB)恰好等于P(A)與P(B)的乘積.由古典概型概率計算公式，得Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}，包含4個等可能的樣本點.思考1.試驗1：分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，A=“第一枚硬幣正面朝上”，B=“第二枚硬幣反面朝上”.

分別計算P(A)、P(B)、P(AB)，你有什么發(fā)現(xiàn)?而A={(1,1),(1,0)}，B={(1,0),(0,0)}，所以AB={(1,0)}.P(A)=P(B)=P(AB)=于是有P(AB)=P(A)P(B).

在試驗2中，樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}，包含16個等可能的樣本點.而思考2：試驗2：一個袋子中裝有標號分別是1、2、3、4的4個球,除標號外沒有其他差異,采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設A=“第一次摸到球的標號小于3”,B=“第二次摸到球的標號小于3”.分別計算P(A)、P(B)、P(AB)，你有什么發(fā)現(xiàn)?A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}，B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}，AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}，積事件AB的概率P(AB)也等于P(A)與P(B)的乘積.所以P(A)=P(B)=P(AB)=于是也有P(AB)=P(A)P(B).

通俗地說，對于兩個事件A，B，如果其中一個事件是否發(fā)生對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響，就把它們叫做相互獨立事件．

根據(jù)相互獨立事件的定義，必然事件一定發(fā)生，不受任何事件是否發(fā)生的影響；同樣，不可能事件一定不會發(fā)生，不受任何事件是否發(fā)生的影響，當然，他們也不影響其他事件的發(fā)生．由于P(AΩ)=P(A)=P(A)P(Ω)，P(A?)=P(?)=P(A)P(?)成立．因此，必然事件Ω、不可能事件?與任意事件A相互獨立．

若事件A與B相互獨立，則P(AB)=P(A)P(B)．相互獨立事件的定義：探究：必然事件Ω、不可能事件?與任意事件相互獨立嗎？

對任意兩個事件A與B，如果

P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨立，簡稱為獨立.性質(zhì)1.必然事件Ω、不可能事件?與任意事件A相互獨立．探究：互為對立的兩個事件是非常特殊的一種事件關(guān)系.如果事件A與事件B相互獨立，那么它們的對立事件是否也相互獨立?以有放回摸球試驗為例,驗證A與,與B,與是否獨立,你有什么發(fā)現(xiàn)?

我們就先以試驗2來驗證：一個袋子中裝有標號分別是1、2、3、4的4個球,除標號外沒有其他差異,采用有放回方式從袋中依次任意摸出兩球.設A=“第一次摸到球的標號小于3”,B=“第二次摸到球的標號小于3”.12341(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)n(B)=8，n()=8，n()=4，n()=4，n()=4，所以P(A)=P(A)P()=P()P(B)=P(B)=易得，n(Ω)=16，n(A)=8，n()=8，P()P()=P()=因此A與，與B，與是獨立的.第二次第一次對于A與，因為A=AB∪A，而且AB與A互斥，所以P(A)=P(AB∪A)=P(AB)+P(A)=P(A)P(B)+P(A)P(A)=P(A)-P(A)P(B)=所以P(A)(1-P(B))=P(A)P()由事件的獨立性定義，A與相互獨立.注意：我們知道，如果三個事件A、B、C兩兩互斥，

那么概率加法公式P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)成立；但當三個事件A、B、C兩兩獨立時，等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.類似地，可以證明事件與B，與也都相互獨立.我們再用理論來驗證：性質(zhì)2.若事件A與B相互獨立，則A與,與B,

與

也都相互獨立.(1)不可能事件與任何一個事件相互獨立.

()(2)必然事件與任何一個事件相互獨立.

()(3)“P(AB)=P(A)·P(B)”是“事件A,B相互獨立”的充要條件.

()(4)一枚硬幣擲兩次,A=“有正面向上,也有反面向上”,B=“最多一次反面向下”,則A,B相互獨立.(

)1.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.提示：一枚硬幣擲兩次的樣本點為(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),這時A={(正,反),(反,正)}，B={(正,正),(正,反),(反,正)}，AB={(正,反),(反,正)}，于是P(A)=

,P(B)=

,P(AB)=

.由此可知P(AB)≠P(A)·P(B),所以事件A,B不相互獨立.√?√√練習思考：分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設事件A=“第1枚正面朝上”，B=“第2枚正面朝上”，C=“2枚硬幣朝上的面相同”，A、B、C中哪兩個相互獨立？典例分析事件獨立性的判斷例1.判斷下列各對事件A與B是不是相互獨立事件：(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學參加演講比賽，事件A“從甲組中選出1名男生”與事件B“從乙組中選出1名女生”；(2)擲一枚骰子一次，事件A“出現(xiàn)偶數(shù)點”與事件B“出現(xiàn)3點或6點”．(3)一個袋子中有標號分別為1、2、3、4的4個球，除標號外沒有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次.

事件A=“第一次摸出球的標號小于3"”與事件B=“第二次摸出球的標號小于3”.典例分析解:(1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生，對“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒有影響，所以它們是相互獨立事件．(2)A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，所以P(A)＝3/6＝1/2，P(B)＝2/6＝1/3，P(AB)＝1/6，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A與B相互獨立．典例分析事件獨立性的判斷例1.判斷下列各對事件A與B是不是相互獨立事件：(3)一個袋子中有標號分別為1、2、3、4的4個球，除標號外沒有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次.

事件A=“第一次摸出球的標號小于3"”與事件B=“第二次摸出球的標號小于3”.典例分析B={(1,2)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)}，解：(3)因為樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}，且m≠n}，A={(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)}，此時P(AB)≠P(A)P(B)AB={(1,2)，(2,1)}.所以P(A)=P(B)=P(AB)=因此，事件A與事件B不獨立.歸納：事件獨立性的判斷(1)直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響．(2)定義法：P(AB)=P(A)P(B)?

A與B相互獨立．

(3)轉(zhuǎn)化法:判斷A與B是否相互獨立,轉(zhuǎn)化為判斷A與

,

與B,

與

是否具有獨立性.練習1.1.有以下三個問題:①擲一枚骰子一次,事件M=“出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)”,事件N=“出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)”;②袋中有除顏色外都相同的3個白球和2個黑球,依次不放回地摸出兩個球,

事件M=“第1次摸到白球”,事件N=“第2次摸到白球”;③分別拋擲2枚相同的硬幣,事件M=“第1枚為正面”,事件N=“兩枚結(jié)果相同”.這三個問題中,M,N是相互獨立事件的有(

)A.3個B.2個C.1個D.0個C2.【2021年·新高考Ⅰ卷】有6個相同的球，分別標有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則()A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立 C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立練習1.B典例分析求相互獨立事件的概率歸納：求相互獨立事件的概率1.求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟：(1)首先確定各事件之間是相互獨立的；(2)確定這些事件可以同時發(fā)生；(3)求出每個事件的概率，再求積．2.使用相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式時，要掌握公式的適用條件，即各個事件是相互獨立的，而且它們同時發(fā)生．

1.[變設問]在本例條件不變下，求三人均未被選中的概率．練習2.練習2.解：例3.甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動,每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為，乙每輪猜對的概率為.在每輪活動中，甲和乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.求“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率.設A1、A2分別表示甲兩輪猜對1個、2個成語的事件，B1、B2分別表示乙兩輪猜對1個、2個成語的事件.根據(jù)獨立性假定,得P(A1)=P(A2)=P(B1)=P(B2)=P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=設A=“兩輪活動‘星隊’猜對3個成語”，則A=A1B2∪A2B1，且A1B2與A2B1互斥，A1與B2、A2與B1分別相互獨立，所以因此，“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率是.典例分析相互獨立事件概率的實際應用歸納：求較為復雜事件的概率的方法已知兩個事件A,B,那么:(1)A,B中至少有一個發(fā)生為事件A+B.2.對事件分解時,要明確事件中的“至少有一個發(fā)生”“至多有一個發(fā)生”

“恰好有一個發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義.

(2)A,B中至多有一個發(fā)生為事件?

.(3)A,B恰好有一個發(fā)生為事件.(5)A,B都不發(fā)生為事件?

.?(4)A,B都發(fā)生為事件AB.

(6)A,B不都發(fā)生為事件?

.1.對事件進行分解,一方面分解為互斥的幾類簡單事件求概率;另一方面分解為獨立的事件,利用事件同時發(fā)生(乘法)求出概率.練習3.課堂小結(jié)P(AB)=P(A)P(B)?

A與B相互獨立(3)兩個事件獨立與互斥的區(qū)別兩個事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生；兩個事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響．一般地，兩個事件不可能既互斥又相互獨立，因為互斥事件不可能同時發(fā)生，而相互獨立事件是以它們能夠同時發(fā)生為前提．課本P250習題10.2第4題，第3題作業(yè)：2.甲、乙兩個人獨立地破譯一個密碼,他們能譯出密碼的概率分別為

和,求:(1)兩個人都譯不出密碼的概率;