6.3平面基本定理及坐標(biāo)表示6.3.1平面向量基本定理

我們學(xué)習(xí)了向量的運(yùn)算，知道位于同一直線(xiàn)上的向量可以由位于這條直線(xiàn)上的一個(gè)非零向量表示.一、呈現(xiàn)背景提出問(wèn)題

類(lèi)似地，平面內(nèi)任一向量是否可以由同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量表示呢？二、分析聯(lián)想尋求方法

我們知道，已知兩個(gè)力，可以求出它們的合力；反過(guò)來(lái)，一個(gè)力可以分解為兩個(gè)力.

類(lèi)似地，我們能否將向量分解為兩個(gè)向量，使向量是這兩個(gè)向量的和呢?二、分析聯(lián)想尋求方法探究：如圖6.3-2(1)，設(shè)是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，是這一平面內(nèi)與都不共線(xiàn)的向量.如圖6.3-2(2)，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作.將按的方向分解，你有什么發(fā)現(xiàn)？圖6.3-2(1)圖6.3-2(2)二、分析聯(lián)想尋求方法圖6.3-2(3)根據(jù)向量的平行四邊形法則又由共線(xiàn)可知，存在實(shí)數(shù)，使得所以對(duì)于給定的向量，這樣的是唯一的嗎？思考：設(shè)是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，在中，是否唯一？假設(shè)，則即所以所以所以唯一思考：若向量

與

或共線(xiàn)，還能用

表示嗎？思考：當(dāng)是零向量時(shí)，還可以表示成的形式嗎？

平面向量基本定理存在性唯一性1.如果

是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面的任一向量使一對(duì)實(shí)數(shù)有且只有

若，不共線(xiàn)，我們把叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底。三、猜想驗(yàn)證得出結(jié)論說(shuō)明：(1).基底的選擇是不唯一的；(2).同一向量在選定基底后，是唯一存在的。(3).同一向量在選擇不同基底時(shí)，可能相同也可能不同。設(shè)e1，e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，以下各組向量中不能作為基底的是(

)A．{e1，e2}

B．{e1＋e2,3e1＋3e2}C．{e1,5e2} D．{e1，e1＋e2}三、猜想驗(yàn)證得出結(jié)論三、猜想驗(yàn)證得出結(jié)論例1：如圖6.3-4，不共線(xiàn)，且，用表示.如圖6.3-4解：因?yàn)?/p>

所以

觀(guān)察，你有什么發(fā)現(xiàn)？結(jié)論：若三點(diǎn)共線(xiàn)，點(diǎn)是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，若，則例2.如圖，CD是的中線(xiàn)，，用向量方法證明是直角三角形。證明：設(shè)則因?yàn)樗砸驗(yàn)樗砸虼擞谑鞘侵苯侨切?。?.如圖所示，在△OAB中，

＝a，

＝b，點(diǎn)M是AB上靠近B的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)N是OA上靠近A的一個(gè)四等分點(diǎn)．若OM與BN相交于點(diǎn)P，求(用a，b表示).四、運(yùn)用新知鞏固內(nèi)化(1)平面內(nèi)任一向量a和同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)向量e1，e2(2)a＝λ1e1＋μ1e2且a＝λ2e1＋μ2e2若則λ1＝λ2且μ1＝μ2課堂檢測(cè)1．判斷正誤(1)平面內(nèi)不共線(xiàn)的任意兩個(gè)向量都可作為一組基底．(

)(2)基底中的向量可以是零向量．(

)(3)平面內(nèi)的基底一旦確定，該平面內(nèi)的向量關(guān)于基底的線(xiàn)性分解形式也是唯一確定的．(

)(4)e1，e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)向量，若存在實(shí)數(shù)λ，μ使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0.(

)[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．已知平行四邊形ABCD，則下列各組向量中，是該平面內(nèi)所有向量基底的是(

)D2.平面向量基本定理是建立在向量加法和數(shù)乘運(yùn)算基礎(chǔ)上的向量分解原理，同時(shí)又是向量坐標(biāo)表示的理論依據(jù)，是一個(gè)承前起后的重要知識(shí)點(diǎn)。五、課堂總結(jié)，回顧反思五、回顧反思拓展問(wèn)題3．對(duì)基底的理解①基底是兩個(gè)不共線(xiàn)向量；②基底的選擇是不唯一的．平面內(nèi)兩向量不共線(xiàn)是這兩個(gè)向量可以作為這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件．4．準(zhǔn)確理