22減少解析何運(yùn)算量的用策略解析幾何是在坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上代數(shù)方法研究幾何圖形性質(zhì)的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科此數(shù)學(xué)運(yùn)算就不可避免地出現(xiàn)在其中果解題時(shí)思維的起點(diǎn)與方法選擇的不當(dāng)不繁瑣就是出錯(cuò)，因此，運(yùn)用解題的思維策略，選擇恰當(dāng)?shù)乃季S起點(diǎn)與方法，以最大限度地減少解析幾何的運(yùn)算量．回定義定義定是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)性的概括和內(nèi)在規(guī)律的揭示有刻地理解概念的本質(zhì)和定理所揭示的內(nèi)在規(guī)律能靈活運(yùn)用它來(lái)簡(jiǎn)化解題過(guò)程的題雖可以不依賴(lài)于定義，但如能回到定義，則常能使問(wèn)題獲得簡(jiǎn)捷的解法，波利亞就提倡“回到定義例一線(xiàn)被兩直線(xiàn)

l

：

2y

和

l

：

2

截得的線(xiàn)段的中點(diǎn)恰好是坐標(biāo)的原點(diǎn)．求這條直線(xiàn)的方程．簡(jiǎn)析略解：此題的一般求解思路是：先求出

l

分別與

l

1

、

l

2

的交點(diǎn)（用

k

l

表示后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出

k

l

，進(jìn)而得到

l

的方程，這樣運(yùn)算量太大．如果我們對(duì)直線(xiàn)與方程的定義有深刻的理解，就會(huì)自覺(jué)地利用定義，并結(jié)合運(yùn)用設(shè)而不求的技巧來(lái)尋求簡(jiǎn)捷解法．設(shè)l分與l、l交于點(diǎn)M、，設(shè)M的標(biāo)為（,y2

有

y1

①又因?yàn)镸、關(guān)于對(duì)，所以點(diǎn)的標(biāo)為（0①×２＋②，得．

有

②可見(jiàn)

M(xy）l：y1

上，又此直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，由兩點(diǎn)確定一直線(xiàn)知所求直線(xiàn)的方程為

y

．例已

12

分別是橢圓

2ya2

的左右焦點(diǎn)，M是該橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，MN是MF1

的外角平分線(xiàn)，

QMN于Q，求動(dòng)點(diǎn)Q的跡方程．y略解：設(shè)Q(x,)，長(zhǎng)F和線(xiàn)2交于P，Px，且MPQ所以MPMF，PQFQ，2

M相1MFQ2

．

1

O

M

2

由橢圓的定義得：

FPMFMPMFMF

．

圖１所以

x)

2(2y)2(2

，即

x

2

y

2

2所以，動(dòng)點(diǎn)

Q

的軌跡方程為

x2y22

．1/8２．設(shè)而不求例３

已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在橢圓

4x

2y

上若AABC重是橢圓的右焦點(diǎn)，求直線(xiàn)

的方程．簡(jiǎn)析略解：因A橢圓的短軸的頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)F為ABC重心，所以F的坐標(biāo)與三頂點(diǎn)

,BC

的坐標(biāo)有關(guān)，故設(shè)

,y),x,11

，則13y13又因?yàn)锽C在橢圓上，故

12y12421

4

80

④由①、②、③、④求出Ｂ、Ｃ兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求直線(xiàn)的程．對(duì)思維監(jiān)控評(píng)價(jià)里題的方是正確的通過(guò)四個(gè)方程來(lái)求出四個(gè)坐標(biāo)的運(yùn)算是比較麻煩的，能否有比較簡(jiǎn)單的途徑呢？由③－④得：

4(xy)(y)112

．由題意知：

x012

，將①、②整體代入得

112

，這個(gè)正好是直線(xiàn)

的斜率

1212

，而中點(diǎn)坐標(biāo)M

y12)，即M(3,22

，所以直線(xiàn)

BC

的方程為：

65

(x

．問(wèn)題之所以得到簡(jiǎn)捷地解答，就是用了設(shè)而不求的策略．３．用好對(duì)稱(chēng)數(shù)學(xué)中的對(duì)稱(chēng)是廣義的，有幾何圖形的對(duì)稱(chēng)，數(shù)量關(guān)系式結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)，對(duì)偶等，用起來(lái)比較靈活而解析幾何中的對(duì)稱(chēng)是比較直觀(guān)的是靈活運(yùn)用化為簡(jiǎn)化難為易．例４如2直

l

上任取一點(diǎn)

M

過(guò)

M

點(diǎn)且以橢圓

xy123的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓，問(wèn)當(dāng)圓方程．

M

在何處時(shí)，所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，并求出具有最短長(zhǎng)軸的橢y簡(jiǎn)析略解：橢兩焦點(diǎn)為

(1

，

2

，

F'

M作

1

關(guān)于直線(xiàn)

l

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

F

，要使所作橢圓的長(zhǎng)軸2/8

1

O

2

圖最短，即

MF

最短，也就是

最短，故

M

點(diǎn)應(yīng)是直線(xiàn)

F'F

與已知直線(xiàn)

l

的交點(diǎn)，如圖．

xy直線(xiàn)

FF1

的方程為

:y

，由方程組

xy

得點(diǎn)

(

，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得解方程組

'(9,6)，直線(xiàn)xyxy

F'的方程為:x2得所求M的坐標(biāo)為（－５，４由于

FF1

，此時(shí)橢圓的方程為

4536

．注怎樣能使橢圓的長(zhǎng)軸最短？然想到橢圓的定義小――折線(xiàn)段的和最短――三點(diǎn)一直線(xiàn)――尋找對(duì)稱(chēng)點(diǎn)――對(duì)變換明的解法找到了對(duì)稱(chēng)能供一種清晰的想象力，這種想像力常能使我們看到并發(fā)現(xiàn)用別的方法也許較難發(fā)現(xiàn)的關(guān)系．４．活用平幾由于解析幾何就是用代數(shù)方法研究幾何圖形性質(zhì)的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科平幾何的許多知識(shí)就能使我們的思路來(lái)得直觀(guān)明了．例（年國(guó)高考試題設(shè)拋物線(xiàn)

y

2px(

的焦點(diǎn)為

，經(jīng)過(guò)

的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A(yíng)B兩點(diǎn)在物的準(zhǔn)線(xiàn)上BC∥x軸明直線(xiàn)AC經(jīng)原點(diǎn)．簡(jiǎn)析略證：如圖３，記x軸準(zhǔn)線(xiàn)l交Ｅ，過(guò)Ａ作l垂足為Ｄ，則AD∥FE∥BC．

lD

y

A連結(jié)，EF交于點(diǎn)N，由平幾知識(shí)得：ENCNNF，，ADACBC

EＣ

Ｏ

N

Ｆ

Ｂ

E圖３根據(jù)拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，AFAD，BFBC，所以

EN

ADAB

即

N

是

EF

的中點(diǎn)與拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)Ｏ重合，所以直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)O．５．巧用向量向量是高中教材的新增內(nèi)容由向量具有幾何和代數(shù)的雙重屬性向量為工具改變了傳統(tǒng)的平面三角、解析幾何、立體幾何等內(nèi)容的學(xué)習(xí)體系，使幾何問(wèn)題徹底代數(shù)化了，使數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)的更深刻、更完3/8//線(xiàn)

y

例６（年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）已知點(diǎn)2x交于Ｂ，Ｃ兩點(diǎn)，試判斷的形狀．

(1,2)

，過(guò)點(diǎn)

D

的直線(xiàn)與拋物解：設(shè)

B(2t)，C(t,2t)

，

t1

2

，

t1

，

t2

，則有

DBtt

，DCtt2)．∵ＢＣ，Ｄ三點(diǎn)共線(xiàn)，∴

∥

DC

．所以

(t(t25)(22)

＝０

tt12tt1

．又

(21

t2)t1

1,2t＝(21

t

＋(2t(2t2)12＝

(t(2

［

(t(2

＋４］＝０，所以

，故ABC為角三角形．例７

已知圓

C:

22

和兩個(gè)定點(diǎn)

(1,0),(1,0)

，點(diǎn)Ｐ為圓Ｃ上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Ｐ的圓Ｃ的切線(xiàn)為

l

，點(diǎn)Ａ關(guān)于

l

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為

A

/

，求

/B

的最大值．分析的規(guī)解法是求點(diǎn)/的跡方程用點(diǎn)間距離公式去求

/

的表達(dá)運(yùn)用點(diǎn)

A

/

的軌跡方程將二元函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值

/

的最大值．這里所用的純解析法雖然思路很直接，但求出點(diǎn)/的軌跡方程是一個(gè)難點(diǎn)，很難突破，并且運(yùn)算量大，過(guò)程繁瑣．而平面向量的幾何計(jì)算靈活方便，運(yùn)用平面向量的運(yùn)算法則合理安排運(yùn)算，使問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)潔．

y

A

解：如圖1設(shè)與線(xiàn)l交點(diǎn)Q，接OPOQ

QP由

O

分別為

AB,

'

的中點(diǎn)，

得∥AB，且

/

．

A

B

l又

AA

'

lOPl，OP∥'．圖１設(shè)

(m

，

OP

，則

AQmOP

，PQOQmOP

，4/822由題意得OPPQ，OP０，即OPOAmOP]

＝０，即

OAOP

＝０，得

OPOA4(m

．又

OQOA

＝

OAmOA2OP

2

＝＝１＋

24(1)m

2＝m22

∵

，∴當(dāng)

時(shí)，

2

，∴

．

所以

/

，

此時(shí)

AQOP

，點(diǎn)

P

的坐標(biāo)為（０，

２線(xiàn)程為

y

２，點(diǎn)

A

'

的坐標(biāo)為（－１，６．利用極坐標(biāo)例８已橢圓

x2416

，直線(xiàn)

l

：

xy12

．

P

Ｐ是l上點(diǎn)線(xiàn)OP交圓于Ｒ點(diǎn)在上滿(mǎn)足

OR當(dāng)Ｐ在l上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Ｑ的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線(xiàn)年國(guó)高考?jí)狠S)解題的策略分析：本題是求動(dòng)點(diǎn)Ｑ

(,y

的軌跡方程，即找到關(guān)于的式，可以用一般法來(lái)解，即設(shè)點(diǎn)Ｑ

(,y

，Ｑ

(,)QQ

，Ｒ

(xy

，再布立方程組來(lái)解．但必須看到這里有

x,y

，

y

Q

，

,

六個(gè)末知量，這樣，所立的方程組中不下五個(gè)方程，因此，即使可解，也該暫緩，看有否別的方法？從條件

OR

知，這是一個(gè)與長(zhǎng)度與角度有關(guān)的問(wèn)題故可用參數(shù)法解比較簡(jiǎn)單不要就此停步再是否還有別的方法？的確用坐標(biāo)法來(lái)解將會(huì)顯得簡(jiǎn)捷分辯了方法間的優(yōu)劣之后策層面的問(wèn)題已經(jīng)解決，但仍不要大意，要繼續(xù)細(xì)心分辯，因?yàn)樵谶x擇極坐標(biāo)法來(lái)解后，還有個(gè)極點(diǎn)選在原點(diǎn)還是在橢圓左焦點(diǎn)的問(wèn)題關(guān)到極坐標(biāo)方程是用統(tǒng)一式還是用互化式的問(wèn)題是個(gè)學(xué)生用極坐標(biāo)法來(lái)解時(shí)常常難以選擇里考慮到

,,OR

都是從原點(diǎn)出發(fā)的線(xiàn)段長(zhǎng)度，故選用以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)來(lái)解，即不用統(tǒng)一式而用互化式．這樣，分辯清了，簡(jiǎn)捷的方法、合理的運(yùn)算和要運(yùn)用的知識(shí)也就自然擇優(yōu)而定了．７．用好焦半徑公式例９如已知梯形

ABCD中AB=2,點(diǎn)

E

分有向線(xiàn)段

所成的比為雙曲5/8線(xiàn)過(guò)、D、三,且以AB為點(diǎn)，當(dāng)圍(2000年全國(guó)高考試題

23≤時(shí)，求雙曲線(xiàn)的離心的值范34解題的策略分析一看到這個(gè)題不說(shuō)當(dāng)年一些普通考生望題興嘆就是一些基礎(chǔ)不錯(cuò)的考生也沒(méi)了頭緒不是于它是一個(gè)雙參數(shù)范圍問(wèn)題且在未知雙曲線(xiàn)方程的情況下來(lái)求離心率e的值范圍，再加上大家期望要用上的已知條件：

23≤中34又是大家在日常解題中著實(shí)有點(diǎn)感到后怕的“點(diǎn)

E

分有向線(xiàn)段

所成的比時(shí)一些有思維策略的學(xué)生就有了用武之地：他們首先從審題后看到題設(shè)中無(wú)系無(wú)方程，因此，用分而治之的策略，從建立坐標(biāo)系，確立方程的形式入手：如圖以AB的直平分線(xiàn)為軸以所的直線(xiàn)為軸建立直角坐標(biāo)系xoy則CD軸.因雙曲線(xiàn)過(guò)C且以A,B為

A

yo

B

點(diǎn)由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性知、D關(guān)軸稱(chēng)，并設(shè)雙線(xiàn)方程為2—(a＞0,b＞則心率=．a(chǎn)ba在做好這一基礎(chǔ)性工作的前題下如何由圍求e的圍就成了解決本題的思維核心他看到在本題這個(gè)雙參問(wèn)題中e既相制約又在一個(gè)矛盾中統(tǒng)一統(tǒng)一在一個(gè)方程里，這是考查學(xué)生在解題某個(gè)階段視哪一個(gè)為主元，哪一輔元，而在解題另一個(gè)階段，又需要主輔互換，反客為主，真是個(gè)考查辯證思維的絕妙押軸題．這雖難，但也正是考生一顯身手，展示自己思維能力的好地方，也是與眾考生一決高下的分水嶺．因此，他們根據(jù)圍已知這一條件，進(jìn)而確立：先視元再視為元，找出兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系=

f(e)

，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化歸為已知范圍，再解不等式，由此求出參e的圍這樣一個(gè)整體的思路和思維策略．于是，他們先視元找系式：依題意A)

h，E(x)中AB為雙曲線(xiàn)的半焦距2是梯形的高.定比分點(diǎn)公式得：x=

21

=

(c2(1

，y=．16/82222但在如何再視

e

為主元，找出兩個(gè)參數(shù)之間的關(guān)

=

f(e)

上，是又一次體現(xiàn)思維水平的層次性和思維策略的重要性．視角一：視點(diǎn)

、

E

為直線(xiàn)ＡＣ與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)，這時(shí)，雖能把方程

h

(x)

代入

2—得ab

ba2h)x2ah2cxa2h2a2)

．這一常規(guī)思路雖正確，解題方向也不錯(cuò)，但要用上這一方程不但難，而且繁，在應(yīng)試的情況下當(dāng)然應(yīng)另辟蹊徑．思路敏銳的學(xué)生在不代前就暫時(shí)放棄了．視角二：視點(diǎn)、在曲線(xiàn)上，將C、的標(biāo)和ee22—42

a

代入雙曲線(xiàn)的方,①e4

2

h()()1

22

=1

②由①得：

h22=—b4

③e2將③式代入②式整理:4

故

=1

3e2

由題設(shè)

2323≤,得≤≤,故得34324

7≤e≤.所以雙曲線(xiàn)的離心率

e

的取值范圍[

7

]．視角三：視、AE為點(diǎn)、到點(diǎn)Ａ的距離由焦半徑公式得：ACc

ea2

，

AEE

e(2c)．2()而

、

AE

同號(hào)，從而

AC

AC1

．所以

(c

e

2

231

．由題設(shè)

2323≤得≤≤故得34324

7

≤

e

≤

7/8所以雙曲線(xiàn)的離心率

e

的取值范圍[

]．這里同是

C

、

E

二點(diǎn)，但由于解題思維策略的運(yùn)用，從