人教A版必修第一冊(cè)第一章集合與常用邏輯用語1.4.2充要條件復(fù)習(xí)鞏固充分條件、必要條件的概念.上節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了什么知識(shí)點(diǎn)

問題思考下列“若P，則q”形式的命題中，哪些命題與它們的逆命題都是真命題？（1）若兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對(duì)的邊分別相等，則這兩個(gè)三角形全等；（2）若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等；（3）若一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則（4）若是空集，則A與B均是空集。命題(1)、（4）與它們的逆命題都是真命題問題思考（1）p:兩個(gè)三角形的兩角和其中一角所對(duì)的邊分別相等，q：這兩個(gè)三角形全等；（4）p:若是空集，q:A與B均是空集。思考？對(duì)于（1）（4）p和q的推導(dǎo)關(guān)系是什么？

此時(shí)我們說命題（1）、（4）中，p與q互為充要條件.定義一般地,如果既有pq

，又有qp

就記作pq.此時(shí),我們說,p是q的充分必要條件,簡(jiǎn)稱充要條件.

顯然,如果p是q的充要條件,那么q也是p的充要條件.(p等價(jià)于q)

即：如果pq,那么p與q互為充要條件.總結(jié)(1)若pq,但qp，則稱p是q的(2)若pq，但qp，則稱p是q的；(3)若pq，且qp，則稱p是q的充分不必要條件；必要不充分條件既不充分也不必要條件．例3下列各題中，哪些p是q的充要條件？（1）p:四邊形是正方形，q:四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分；（2）P:兩個(gè)三角形相似，q:兩個(gè)三角形三邊成比例；（3）p:xy>0,q:x>0,y>0;(4)p:x=1是一元二次方程解：（1）因?yàn)閷?duì)角線互相垂直平分的四邊形不一定是正方形，所以，所以p不是q的充要條件。（2）因?yàn)椤叭魀，則q”是相似三角形的性質(zhì)定理“若q，則p”是相似三角形的判定定理，所以它們均是真命題，即，所以P是q的充要條件。例3下列各題中，哪些p是q的充要條件？（3）p:xy>0,q:x>0,y>0;(4)p:x=1是一元二次方程解：（3）因?yàn)閤y>0時(shí)，x>0,y>0不一定成立，所以，所以p不是q的充要條件。（4）因?yàn)椤叭魀，則q”與“若q，則p”均為真命題，即所以P是q的充要條件。探究通過上面的學(xué)習(xí)，你能給出“四邊形是平行四邊形”的充要條件嗎？四邊形的兩組對(duì)角分別相等、四邊形的兩組對(duì)邊分別相等、四邊形的一組對(duì)邊平行且相等、四邊形的對(duì)角線互相平分、四邊形的兩組對(duì)邊分別平行

都是它的充要條件。例4：已知：⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d．求證：d＝r是直線l與⊙O相切的充要條件．分析：設(shè)p:d=r,q:

l與⊙O相切.證明：如圖所示.（1）充分性（pq）：作OP⊥l于點(diǎn)P,則OP=d，若d=r，則點(diǎn)P在⊙O上，在直線l上任取一點(diǎn)Q(異于點(diǎn)P)，連接OQ.在Rt△OPQ中，OQ>OP=r.所以，除點(diǎn)P外直線l上的點(diǎn)都在⊙O

的外部，即直線l與⊙O僅有一個(gè)公共點(diǎn)P.所以直線l與⊙O相切.PQlO（2）必要性（）：若直線l與相切，不妨設(shè)切點(diǎn)為P，則，因此，d=OP=r.由（1