第三章數(shù)列、推理與證明等差數(shù)列第18講等差數(shù)列的基本量運(yùn)算【例1】點(diǎn)評(píng)

【變式練習(xí)1】已知等差數(shù)列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n項(xiàng)和Sn.等差數(shù)列的判定與證明點(diǎn)評(píng)

判斷一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法有定義法、等差中項(xiàng)法，或者從通項(xiàng)公式、求和公式的形式上判斷．證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法有定義法和等差中項(xiàng)法．等差數(shù)列的的通項(xiàng)公式式及性質(zhì)的的綜合應(yīng)用用【例3】數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式式；(2)設(shè)Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Sn.點(diǎn)評(píng)本題考查求求等差數(shù)列列的通項(xiàng)公公式及其前前n項(xiàng)的絕對(duì)值值的和．若若數(shù)列{an}滿足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*)，則它是等等差數(shù)列．．等差數(shù)列{an}中，求Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，分兩種情情形：

【變式練習(xí)3】已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝12n－n2.求下列兩式式的值：(1)|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|；(2)|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|.(1)|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a10|＝a1＋a2＋a3＋…＋a6－(a7＋a8＋a9＋a10)＝2S6－S10＝2(12×6－62)－(12×10－102)＝52.(2)當(dāng)1≤n≤6，n∈N*時(shí)，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝12n－n2；當(dāng)n≥7，n∈N*時(shí)|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋a3＋…＋a6－(a7＋a8＋…＋an)＝2S6－Sn＝2(12×6－62)－(12n－n2)＝n2－12n＋72.用函數(shù)方法法求等差數(shù)數(shù)列的最值值問(wèn)題點(diǎn)評(píng)本題考查的的內(nèi)容有兩兩方面：一一是等差數(shù)數(shù)列及其前前n項(xiàng)和公式的的運(yùn)用；二二是求數(shù)列列中項(xiàng)的最最值．本題題解法采用用的是以函函數(shù)單調(diào)性性的方法判判斷數(shù)列的的單調(diào)性進(jìn)進(jìn)而求得數(shù)數(shù)列中項(xiàng)的的最大、最最小值．一一般地，如如果函數(shù)y＝f(x)在某一區(qū)間間是減函數(shù)數(shù)，則數(shù)列列在由此區(qū)區(qū)間內(nèi)所有有的正整數(shù)數(shù)組成的集集合上是遞遞減數(shù)列．．【變式練習(xí)4】已知等差數(shù)數(shù)列{an}中，a3＝3，S3＝－3.(1)試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式式an；(2)在直角坐標(biāo)標(biāo)系中，畫畫出an＝f(n)的圖象；(3)當(dāng)n等于多少時(shí)時(shí)，該數(shù)列列的前n項(xiàng)和Sn取得最小值值？并求最最小值；(4)求證：S6，S12－S6，S18－S12成等差數(shù)列列．1.已知{an}為等差數(shù)列列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，則公差d＝_________2.等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)的和為Sn，若S19＝95，則a3＋a17＝__________104.已知f(x)＝a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn，且a1，a2，a3，…，an組成等差數(shù)數(shù)列(n為正偶數(shù))．又f(1)＝n2，f(－1)＝n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式式an.本節(jié)內(nèi)容主主要考查數(shù)數(shù)列的運(yùn)算算、推理及及轉(zhuǎn)化的能能力與思想想．考題一一般從三個(gè)個(gè)方面進(jìn)行行考查：一是應(yīng)用等差數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)項(xiàng)公式及其其前n項(xiàng)和公式計(jì)計(jì)算某些量量和解決一一些實(shí)際問(wèn)問(wèn)題；二是給出一些條條件求出首首項(xiàng)和公差差，進(jìn)而求求得等差數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)項(xiàng)公式及其其前n項(xiàng)和公式，，或?qū)⑦f推推關(guān)系式變變形轉(zhuǎn)化為為等差數(shù)列列問(wèn)題間接接地求得等等差數(shù)列的的通項(xiàng)公式式；三是證明一個(gè)數(shù)數(shù)列是等差差數(shù)列.1．等差數(shù)列列常用的兩兩個(gè)性質(zhì)：：(1)等差數(shù)列{an}中，對(duì)任意意的m，n，p，q∈N*，若m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq.特別地，若若m＋n＝2p，則am＋an＝2ap.(2)等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式式可以寫成成an＝am＋(n－m)·d(n，m∈N*)．2．已知三個(gè)個(gè)數(shù)成等差差數(shù)列，往往往設(shè)此三三數(shù)為a－d，a，a＋d可以方便地地解決問(wèn)題題．3．證明一個(gè)個(gè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列列有兩種方方法：(1)用定義證明明：即求得得an＋1－an是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù)數(shù)．(2)利用等差中中項(xiàng)：即證證明2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)．4．注意幾個(gè)個(gè)說(shuō)法：(1)“an＝pn＋q(n∈N*，p，q∈R)”是“{an}為等差數(shù)列列”的充要條件件；(2)“Sn＝An2＋Bn(n∈N*，A，B∈R)”是“{an}為等差數(shù)列列”的充要條件件；