23/23反比例函數(shù)綜合【教學(xué)目標(biāo)】學(xué)習(xí)內(nèi)容目標(biāo)層級(jí)是否掌握反比例函數(shù)面積倍分★★★★☆☆反比例函數(shù)最值★★★★★☆反比例函數(shù)中一線三垂直的應(yīng)用★★★★★☆反比例函數(shù)動(dòng)點(diǎn)圖形存在性問★★★★★☆反比例函數(shù)線段比值★★★★★☆反比例函數(shù)與角★★★★★☆反比例函數(shù)面積倍分學(xué)習(xí)內(nèi)容目標(biāo)層級(jí)是否掌握反比例函數(shù)面積倍分★★★★☆☆【知識(shí)點(diǎn)】此類型題，通常根據(jù)已知圖形面積將面積倍分問題可轉(zhuǎn)化成面積定值問題從而解決圖形面積倍分問題【例題講解】★★☆例題1．如圖，經(jīng)過點(diǎn)的直線與雙曲線交于點(diǎn)，過點(diǎn)，作軸的平行線分別交雙曲線和于點(diǎn)、．（1），直線的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求證：；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．★★☆練習(xí)1．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）求當(dāng)時(shí)，的取值范圍；（3）過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)是反比例函數(shù)在第一象限的圖象上一點(diǎn)．設(shè)直線與線段交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．★★★練習(xí)2．如圖，已知直線經(jīng)過點(diǎn)，與雙曲線交于點(diǎn)．過點(diǎn)，作軸的平行線分別交雙曲線和于點(diǎn)、．（1）求的值和直線的解析式；（2）若點(diǎn)在直線上，求證：；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【題型知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】_____________________________________________________________二、反比例函數(shù)最值學(xué)習(xí)內(nèi)容目標(biāo)層級(jí)是否掌握反比例函數(shù)最值★★★★★☆【知識(shí)點(diǎn)】（1）最短路線問題在直線L上的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以通過軸對(duì)稱來確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線L的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)．若兩定點(diǎn)在直線異側(cè)，直接連接兩點(diǎn)，與動(dòng)點(diǎn)所在直線交點(diǎn)即為所求點(diǎn)。當(dāng)求解線段差（絕對(duì)值）最大值時(shí)，兩定點(diǎn)在同側(cè)時(shí)，直接連接，延長與動(dòng)點(diǎn)所在直線交點(diǎn)即為所求點(diǎn)，若不在同側(cè)，通過對(duì)稱，轉(zhuǎn)化成同側(cè)，延長與動(dòng)點(diǎn)所在直線交點(diǎn)即為所求點(diǎn)。（2）其他面積最值得類型可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題求解：確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．【例題講解】★★★例題1．如圖，矩形的頂點(diǎn)、分別在軸、軸上，，直線的解析式為，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)，與邊相交于點(diǎn)．（1）填空：；（2）連接、，試求的面積；（3）在軸上有兩點(diǎn)、，其中點(diǎn)可以使的值最小，而點(diǎn)可以使的值最大，請(qǐng)直接寫出、兩點(diǎn)的坐標(biāo)以及線段的長．★★★練習(xí)1．如圖，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．（1）求的值和的值以及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）觀察反比例函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出自變量的取值范圍；（3）以為邊作菱形，使點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在第一象限，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（4）在軸上是否存在點(diǎn)，使的值最小？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．★★★例題2．【閱讀理解】對(duì)于任意正實(shí)數(shù)、，，，只有當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．【數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)】在、均為正實(shí)數(shù)）中，若為定值，則，只有當(dāng)時(shí)，有最小值．【解決問題】若時(shí)，當(dāng)時(shí)，有最小值為；（2）如圖，已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，軸，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．求四邊形周長的最小值．★★★練習(xí)1．如圖，正方形在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，的面積為8．（1）求反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）若動(dòng)點(diǎn)從開始沿向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從開始沿向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．若運(yùn)動(dòng)時(shí)間用表示，的面積用表示，求出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間取何值時(shí)，的面積最大？（3）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)，使的周長最?。咳舸嬖?，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．★★★例題3．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，點(diǎn)、分別在軸、軸的正半軸上．的兩條外角平分線交于點(diǎn)，在反比例函數(shù)的圖象上．的延長線交軸于點(diǎn)，的延長線交軸于點(diǎn)，連接．（1）求的度數(shù)及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的面積；（3）的面積是否存在最大值？若存在，求出最大面積；若不存在，請(qǐng)說明理由．★★★練習(xí)1．如圖1，已知直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，將直線在軸下方的部分沿軸翻折，得到一個(gè)新函數(shù)的圖象（圖中的“形折線”．（1）類比研究函數(shù)圖象的方法，請(qǐng)列舉新函數(shù)的兩條性質(zhì)，并求新函數(shù)的解析式；（2）如圖2，雙曲線與新函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），過點(diǎn)作軸的平行線，與新函數(shù)圖象交于另一點(diǎn)，與雙曲線交于點(diǎn)．①試求的面積的最大值；②探索：在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，四邊形能否為平行四邊形？若能，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．★★★練習(xí)2．如圖1，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，射線與反比例函數(shù)圖象交于另一點(diǎn)，射線與軸交于點(diǎn)，，軸，垂足為．（1）求的值；（2）求的值及直線的解析式；（3）如圖2，是線段上方反比例函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過作直線軸，與相交于點(diǎn)，連接，求面積的最大值．【題型知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】_____________________________________________________________三、反比例函數(shù)中一線三垂直的運(yùn)用學(xué)習(xí)內(nèi)容目標(biāo)層級(jí)是否掌握反比例函數(shù)中一線三垂直的運(yùn)用★★★★★☆【知識(shí)點(diǎn)】一線三垂直基本模型：【例題講解】★★★例題1．如圖，直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為第三象限內(nèi)一點(diǎn)．（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值；（2）當(dāng)，且，時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）當(dāng)為等邊三角形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，試求、之間的關(guān)系式．★★★練習(xí)1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是雙曲線在第一象限的分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接并延長與這個(gè)雙曲線的另一分支交于點(diǎn)，以為底邊作等腰直角三角形，使得點(diǎn)位于第四象限．（1）點(diǎn)與原點(diǎn)的最短距離是；（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過程中，隨的變化而變化，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為．★★★練習(xí)2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為正方形，已知點(diǎn)，，點(diǎn)、在第二象限內(nèi)．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）將正方形以每秒1個(gè)單位的速度沿軸向右平移秒，若存在某一時(shí)刻，使在第一象限內(nèi)點(diǎn)、兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、正好落在某反比例函數(shù)的圖象上，請(qǐng)求出此時(shí)的值以及這個(gè)反比例函數(shù)的解析式；（3）在（2）的情況下，問是否存在軸上的點(diǎn)和反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，使得以、、、四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出符合題意的點(diǎn)、的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【題型知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】_____________________________________________________________四、反比例函數(shù)動(dòng)點(diǎn)圖形存在性問學(xué)習(xí)內(nèi)容目標(biāo)層級(jí)是否掌握反比例函數(shù)動(dòng)點(diǎn)圖形存在性問★★★★★☆【知識(shí)點(diǎn)】等腰直角三角形存在性問題可結(jié)合一線三垂直的基本模型直接求解；動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似可依據(jù)相似三角形的判定（多數(shù)利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等判定）具體求解；動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的菱形可以結(jié)合菱形的判定或是找等腰三角形的方法求解；【例題講解】★★★例題1．如圖，邊長為3的正方形的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，點(diǎn)，在軸，軸上．反比例函數(shù)的圖象交，于點(diǎn)，，連接，，，．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）過點(diǎn)作軸的平行線，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)；①若是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求的面積；②將“①”中的“以為直角頂點(diǎn)的”去掉，將問題改為“若是等腰直角三角形”，的面積除了“①”中求得的結(jié)果外，還可以是．（直接寫答案，不用寫步驟）★★★練習(xí)1．如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．將線段先向右平移1個(gè)單位長度、再向上平移個(gè)單位長度，得到對(duì)應(yīng)線段，反比例函數(shù)的圖象恰好經(jīng)過、兩點(diǎn)，連接、．（1）求和的值；（2）求反比例函數(shù)的表達(dá)式及四邊形的面積；（3）點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象上的一個(gè)點(diǎn)，若是以為直角邊的等腰直角三角形時(shí)，求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．★★☆例題2.如圖，已知一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)為．過點(diǎn)作的垂線，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．（1）求和的值；（2）若直線、分別交軸于點(diǎn)、，試問在軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．★★★練習(xí)1.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于、兩點(diǎn)．（1）利用圖中條件，求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系式；（2）根據(jù)圖象寫出使該一次函數(shù)的值小于該反比例函數(shù)的值的的取值范圍；（3）過點(diǎn)作垂直于軸垂足為，連接，在軸是否存在一點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；不存在，說明理由．★★☆例題3．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)在第二象限內(nèi)的圖象相交于點(diǎn)，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)．（1）求的度數(shù)；（2）若軸上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)是4，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)在軸上，點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．★★☆練習(xí)1．如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，過點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，且（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）反比例函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使四邊形為菱形？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．【題型知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】_____________________________________________________________五、反比例函數(shù)線段比值學(xué)習(xí)內(nèi)容目標(biāo)層級(jí)是否掌握反比例函數(shù)線段比值★★★★★☆【知識(shí)點(diǎn)】可通過比值等數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化三角函數(shù)關(guān)系或相似從而求解；【例題講解】★★☆例題1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）請(qǐng)直接寫出時(shí)，的取值范圍；（3）過點(diǎn)作軸，于點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)．★★☆練習(xí)1．如圖1，的邊在軸的正半軸上，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）如圖2，直線分別與軸、軸的正半軸交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于直線成軸對(duì)稱，求線段的長；（3）如圖3，將線段延長交的圖象于點(diǎn)，過，的直線分別交軸、軸于，兩點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄烤€段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【題型知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】_____________________________________________________________六、反比例函數(shù)與角學(xué)習(xí)內(nèi)容目標(biāo)層級(jí)是否掌握反比例函數(shù)與角★★★★★☆【知識(shí)點(diǎn)】直接利用三角函數(shù)或與一線三垂直模型結(jié)合構(gòu)建相似求解【例題講解】★★☆例題1．如圖，已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，過點(diǎn)作軸的平行線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與軸于點(diǎn)，且，．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）連接，試判斷線段與線段的關(guān)系，并說明理由；（3）點(diǎn)為軸上點(diǎn)左側(cè)的一點(diǎn)，且，連接交直線于點(diǎn)，求的值．★★☆練習(xí)1．如圖，點(diǎn)和點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，連接，．已知與的面積滿足．（1），；（2）已知點(diǎn)在線段上，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【題型知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】_____________________________________________________________【課后練習(xí)】★★☆1．在平面直角坐標(biāo)系中（如圖），點(diǎn)為直線和雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)．（1）求、的值；（2）若點(diǎn)，在直線上有一點(diǎn)，使得，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在雙曲線上是否存在點(diǎn)，使得，若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．★★★2．如圖，矩形的頂點(diǎn)、分別在、軸的正半軸上，點(diǎn)在反比例函數(shù)的第一象限內(nèi)的圖象上，，，動(dòng)點(diǎn)在軸的上方，且滿足．（1）若點(diǎn)在這個(gè)反比例函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連接、，求的最小值；（3）若點(diǎn)是平面內(nèi)一點(diǎn)，使得以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則請(qǐng)你直接寫出滿足條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo)．★★★3．如圖1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)，且為雙曲線上的一點(diǎn)，為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，垂直于軸，垂直于軸，垂足分別是、．（1）寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上是否存在這樣的點(diǎn)，使得與面積相等？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作以、為鄰邊的平行四邊形，求平行四邊形周長的最小值．★★☆4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線為常數(shù)）與反比例函數(shù)交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且．（1）如圖①，若點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的解析式；（2）如圖①，若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下中，如圖②，△是等腰直角三角形，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，斜邊都在軸上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．★★☆5．如圖，反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊相交于，兩點(diǎn)，連接，，且點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求的面積；（3）在軸上是否存在一點(diǎn)，使以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【拔高練習(xí)】★★★1．【閱讀理解】對(duì)于任意正實(shí)數(shù)、，，，，（