專訓4分類討論思想在線段和角的計算中的應用名師點金：解答有關點和線的位置關系、線段條數(shù)或長度、角的個數(shù)或大小等問題時，由于題目中沒有給出具體的圖形，而根據(jù)題意又可能出現(xiàn)多種情況，就應不重不漏地分情況加以討論，這種思想稱為分類討論思想．需要進行分類討論的題目，綜合性一般較強．分類討論思想在線段的計算中的應用1．已知線段AB＝12，在AB上有C，D，M，N四點，且AC∶CD∶DB＝1∶2∶3，AM＝eq\f(1,2)AC，DN＝eq\f(1,4)DB，求線段MN的長．2．如圖，點O為原點，點A對應的數(shù)為1，點B對應的數(shù)為－3.(1)若點P在數(shù)軸上，且PA＋PB＝6，求點P對應的數(shù)；(2)若點M在數(shù)軸上，且MA∶MB＝1∶3，求點M對應的數(shù)；(3)若點A的速度為5個單位長度/秒，點B的速度為2個單位長度/秒，點O的速度為1個單位長度/秒，A，B，O同時向右運動，幾秒后，點O恰為線段AB的中點？【導學號：11972078】(第2題)分類討論思想在角的計算中的應用3．如圖，已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOC的余角比∠BOC小30°.(1)求∠AOB的度數(shù)；(2)過點O作射線OD，使得∠AOC＝4∠AOD，請你求出∠COD的度數(shù)．(第3題)4．已知OM和ON分別平分∠AOC和∠BOC.(1)如圖，若OC在∠AOB內，探究∠MON與∠AOB的數(shù)量關系；(2)若OC在∠AOB外，且OC不與OA，OB重合，請你畫出圖形，并探究∠MON與∠AOB的數(shù)量關系．(提示：分三種情況討論)(第4題)答案1．解：因為AB＝12，AC∶CD∶DB＝1∶2∶3，所以AC＝eq\f(1,6)AB＝12×eq\f(1,6)＝2，CD＝eq\f(1,3)AB＝12×eq\f(1,3)＝4，DB＝eq\f(1,2)AB＝12×eq\f(1,2)＝6.因為AM＝eq\f(1,2)AC，DN＝eq\f(1,4)DB，所以MC＝eq\f(1,2)AC＝2×eq\f(1,2)＝1，DN＝eq\f(1,4)DB＝6×eq\f(1,4)＝eq\f(3,2).①當點N在點D右側時，如圖①，MN＝MC＋CD＋DN＝1＋4＋eq\f(3,2)＝eq\f(13,2)；②當點N在點D左側時，如圖②，MN＝MC＋CD－DN＝1＋4－eq\f(3,2)＝eq\f(7,2).綜上所述，線段MN的長為eq\f(13,2)或eq\f(7,2).(第1題)點撥：首先要根據(jù)題意，畫出圖形．由于點N的位置不確定，故要考慮分類討論．2．解：(1)①當點P在A，B之間時，不合題意，舍去；②當點P在A點右邊時，點P對應的數(shù)為2；③當點P在B點左邊時，點P對應的數(shù)為－4.(2)①M在線段AB上時，M對應的數(shù)為0；②M在線段BA的延長線上時，M對應的數(shù)為3；③M在線段AB的延長線上時，不合題意，舍去．(3)設運動x秒時，點B運動到點B′，點A運動到點A′，點O運動到點O′，此時O′A′＝O′B′，點A′，B′在點O′兩側，則BB′＝2x，OO′＝x，AA′＝5x，所以點B′對應的數(shù)為2x－3，點O′對應的數(shù)為x，點A′對應的數(shù)為5x＋1，所以O′A′＝5x＋1－x＝4x＋1，O′B′＝x－(2x－3)＝3－x，所以4x＋1＝3－x，解得x＝.即秒后，點O恰為線段AB的中點．3．解：(1)設∠BOC＝x，則∠AOC＝2x，由題意得90°－2x＋30°＝x，解得x＝40°.因為∠AOC＝2∠BOC，所以∠AOB＝∠BOC＝40°.(2)情況一：當OD在∠AOC內部時，如圖①，由(1)得∠AOC＝80°.因為∠AOC＝4∠AOD，所以∠AOD＝20°，所以∠COD＝∠AOC－∠AOD＝80°－20°＝60°.(第3題)情況二：當OD在∠AOC外部時，如圖②，由(1)得∠AOC＝80°.因為∠AOC＝4∠AOD，所以∠AOD＝20°，所以∠COD＝∠AOD＋∠AOC＝20°＋80°＝100°.綜上所述，∠COD的度數(shù)為60°或100°.4．解：(1)因為OM和ON分別平分∠AOC和∠BOC，所以∠MOC＝eq\f(1,2)∠AOC，∠NOC＝eq\f(1,2)∠BOC.所以∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝eq\f(1,2)∠AOC＋eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,2)(∠AOC＋∠BOC)＝eq\f(1,2)∠AOB.(2)情況一：如圖①，因為OM和ON分別平分∠AOC和∠BOC，所以∠MOC＝eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)(∠AOB＋∠BOC)，∠NOB＝eq\f(1,2)∠BOC.所以∠MON＝∠MOB＋∠NOB＝∠MOC－∠BOC＋eq\f(1,2)∠BOC＝∠MOC－eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,2)(∠AOB＋∠BOC)－eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,2)∠AOB.情況二：如圖②，因為OM和ON分別平分∠AOC和∠BOC，所以∠AOM＝eq\f(1,2)∠AOC，∠NOC＝eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,2)(∠AOB＋∠AOC)＝eq\f(1,2)∠AOB＋eq\f(1,2)∠AOC.所以∠MON＝∠AOM＋∠AON＝eq\f(1,2)∠AOC＋(∠NOC－∠AOC)＝∠NOC－eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)∠AOB＋eq\f(1,2)∠AOC－eq\f(1,2)∠AOC＝eq\f(1,2)∠AOB.情況三：如圖③，因為OM和ON分別平分∠AOC和∠BOC，所以∠MOC＝eq\f(1,2)∠AOC，∠NOC＝eq\f(1,2)∠BOC.所以∠MON＝∠MOC＋∠NOC＝eq\f(1,2)∠AOC＋eq\f(1,2)∠BOC＝eq\f(1,