《冪函數》同步作業(yè)[合格基礎練]一、選擇題1.下面給出的幾個函數中,是冪函數的為 ()= =10x=2x-3 =D解析：冪函數的解析式是:y=xα(α為常數).2．已知點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\r(3)))在冪函數f(x)的圖像上，則f(x)是()A．奇函數B．偶函數C．定義域內的減函數 D．定義域內的增函數A解析：設冪函數為f(x)＝xα，又因為圖像過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\r(3)))，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))α＝eq\r(3)，解得α＝－1，故f(x)＝x－1，又f(－x)＝(－x)－1＝－f(x)且f(x)在(－∞，0)上為減函數，在(0，＋∞)上也為減函數，因此A正確，B、C、D錯誤．]3．下列函數中，其定義域和值域不同的函數是()A．y＝xeq\s\up15(eq\f(1,3)) B．y＝xeq\s\up15(－eq\f(1,2))C．y＝xeq\s\up15(eq\f(5,3)) D．y＝xeq\s\up15(eq\f(2,3))D解析:A中，y＝xeq\s\up15(eq\f(1,3))＝eq\r(3,x)，定義域、值域都為R；B中，y＝xeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝eq\f(1,\r(x))的定義域與值域都為(0，＋∞)；C中，y＝xeq\s\up15(eq\f(5,3))的定義域、值域也都為R；D中，y＝xeq\s\up15(eq\f(2,3))＝eq\r(3,x2)的定義域為R，而值域為[0，＋∞)．故選D.4．如圖所示，給出4個冪函數的圖像，則圖像與函數的大致對應是()B解析：因為y＝x3的定義域為R且為奇函數，故應為圖①；y＝x2為開口向上的拋物線且頂點為原點，應為圖②.同理可得出選項B正確．5．設a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))eq\s\up15(eq\f(2,5))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up15(eq\f(3,5))，c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))eq\s\up15(eq\f(2,5))，則a，b，c的大小關系是()A．a>c>bB．a>b>cC．c>a>bD．b>c>aA解析：∵y＝xeq\s\up15(eq\f(2,5))(x>0)為增函數，又eq\f(3,5)>eq\f(2,5)，∴a>c.∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))x(x∈R)為減函數，又eq\f(2,5)<eq\f(3,5)，∴c>b.∴a>c>b.填空題6.已知冪函數y=f(x)的圖像過點(3,),則log3f(9)的值為________.

1解析：設冪函數f(x)=xα(α為常數),由題意得=3α,解得α=,所以f(x)=,所以f(9)==3,所以log3f(9)=log33=1.7．已知α>α，則α的取值范圍是________．α<0解析：∵0<<，而α>α，∴y＝xα在(0，＋∞)上為減函數，故α<0.8．若冪函數f(x)＝(m∈Z)的圖像與坐標軸無公共點，且關于原點對稱，則實數m的取值集合為________．{0,2}[冪函數f(x)＝(m∈Z)的圖像與坐標軸無公共點，且關于原點對稱，可得m2－2m－3＜0(m∈Z)，并且m2－2m－3為奇數，解得m＝0，或m＝2.則實數m的取值集合為{0,2}．]三、解答題9．比較下列各題中兩個值的大??；(1)，；(2)(eq\r(2))，(eq\r(3))；(3)(－，.「解」(1)∵y＝x為[0，＋∞)上的增函數，且<，∴<.(2)∵y＝x為(0，＋∞)上的減函數，且eq\r(2)<eq\r(3)，∴(eq\r(2))>(eq\r(3)).(3)∵y＝x為R上的偶函數，∴(－＝.又函數y＝x為[0，＋∞)上的增函數，且<，∴<，即(－<.10.已知冪函數f(x)=x9-3m(m∈N*)的圖像關于原點對稱,且在R上單調遞增.(1)求f(x)解析式.(2)求滿足f(a+1)+f(3a-4)<0的a的取值范圍.[解](1)冪函數f(x)=x9-3m(m∈N*)的圖像關于原點對稱,且在R上單調遞增,可得9-3m>0,解得m<3,m∈N*,可得m=1,2,若m=1,則f(x)=x6的圖像不關于原點對稱,舍去;若m=2,則f(x)=x3的圖像關于原點對稱,且在R上單調遞增,成立.則f(x)=x3.(2)由(1)可得f(x)是奇函數,且在R上單調遞增,由f(a+1)+f(3a-4)<0,可得f(a+1)<-f(3a-4)=f(4-3a),即為a+1<4-3a,解得a<.[等級過關練]1．若(a＋1)eq\s\up18(-\f(1,2))<(3－2a)eq\s\up18(-\f(1,2))，則a的取值范圍是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2)) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))B解析：令f(x)＝xeq\s\up18(-\f(1,2))＝eq\f(1,\r(x))，∴f(x)的定義域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是減函數，故原不等式等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>0，,3－2a>0，,a＋1>3－2a，))解得eq\f(2,3)<a<eq\f(3,2).]2．在同一坐標系內，函數y＝xa(a≠0)和y＝ax－eq\f(1,a)的圖像可能是()ABCDC解析：當a＜0時，函數y＝ax－eq\f(1,a)是減函數，且在y軸上的截距－eq\f(1,a)＞0，y＝xa在(0，＋∞)上是減函數，∴A，D項均不正確．當a＞0時，函數y＝ax－eq\f(1,a)為增函數，且在y軸上的截距－eq\f(1,a)＜0，排除B項，只有C項正確．3.為了保證信息的安全傳輸,有一種密鑰密碼系統(tǒng),其加密、解密原理為:發(fā)送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).現在加密密鑰為y=xα(α為常數),如“4”通過加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,則解密后得到的明文是________.9解析：由題目可知加密密鑰y=xα(α為常數)是一個冪函數模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必須先求出α的值.由題意,得2=4α,解得α=,則y=.由=3,得x=9,即明文是9.4．已知冪函數f(x)＝x，若f(a＋1)＜f(10－2a)，則a的取值范圍是________．(3,5)[∵f(x)＝x＝eq\f(1,\r(x))(x＞0)，易知f(x)在(0，＋∞)上為減函數，又f(a＋1)＜f(10－2a)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1＞0，,10－2a＞0，,a＋1＞10－2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞－1，,a＜5，,a＞3.))∴3＜a＜5.5．已知冪函數y＝f(x)＝，其中m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，滿足：(1)是區(qū)間(0，＋∞)上的增函數；(2)對任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同時滿足(1)(2)的冪函數f(x)的解析式，并求x∈[0,3]時f(x)的值域．[解]因為m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，所以m＝－1