§6.5

含絕對值的不等式

考點探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考6.5含絕對值的不等式雙基研習(xí)·面對高考雙基研習(xí)·面對高考基礎(chǔ)梳理f2(x)≤g2(x)(3)同解變形法，其同解定理有：①|(zhì)x|≤a?－a≤x≤a(a≥0)；②|x|≥a?________________

(a≥0)；③|f(x)|≤g(x)?－g(x)≤f(x)≤g(x)(g(x)≥0)；④|f(x)|≥g(x)?f(x)≥g(x)或f(x)≤－g(x)(g(x)≥0)．x≥a或x≤－a2．絕對值不等式的性質(zhì)基本性質(zhì)|a|－|b|____|a＋b|_____|a|＋|b|，推論(1)|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|，推論(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.≤≤思考感悟1．在|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，“＝”成立的條件是什么？提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右側(cè)“＝”成立的條件是ab≥0，左側(cè)“＝”成立的條件是ab≤0且|a|≥|b|.不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右側(cè)“＝”成立的條件是ab≤0，左側(cè)“＝”成立的條件是ab≥0且|a|≥|b|.2．|x－a|±|x－b|的幾何意義是什么？提示：

|x－a|＋|x－b|幾何意義表示：數(shù)軸上的點x到點a的距離與點x到點b的距離之和；|x－a|－|x－b|表示：點x到點a的距離減去點x到點b的距離所得的差．思考感悟課前熱身答案：C1．(教材習(xí)題改編)不等式|x2－5x＋5|>1的解集為(

)A．(1,2)∪(3,4)B．(－∞，1)∪(4，＋∞)C．(－∞，1)∪(2,3)∪(4，＋∞)D．(－∞，2)∪(3，＋∞)答案：D答案：C4．若關(guān)于x的不等式|ax＋2|<6的解集為(－1,2)，則實數(shù)a的值等于________．答案：－45．不等式|x＋log3x|<|x|＋|log3x|的解集為________．答案：(0,1)考點探究·挑戰(zhàn)高考考點突破考點一絕對值不等式的解法解含絕對值的的不等式的指指導(dǎo)思想是去去掉絕對值．．常用的方法法有：(1)由定義分段討討論；(2)利用絕對值不不等式的性質(zhì)質(zhì)；(3)平方．例1解下列關(guān)于x的不等式．(1)|x－x2－2|>x2－3x－4.(2)|x＋1|>|x－3|.【思路分析】】對于(1)可由|f(x)|>g(x)的形式去絕對對值，也可以以討論x－x2－2的正負．對于于(2)可平方，也可可分段討論．．【名師點評】】去掉絕對值號號，要根據(jù)題題目特點，靈靈活采用方法法．如(1)的法二，(2)的法一就比較較好．考點二絕對值不等式的證明主要利用性質(zhì)質(zhì)：|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，通過適當?shù)牡奶眄棥⒉痦楉椷M行放縮．．已知f(x)＝x2－x＋c定義在區(qū)間[0,1]上，x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2，求證：(1)f(0)＝f(1)；(2)|f(x2)－f(x1)|<|x1－x2|.【思路分析】】(1)計算f(0)和f(1)．(2)代入f(x2)，f(x1)→作差化簡f(x2)－f(x1)→放大到|x1－x2|.例2利用絕對值的的概念、性質(zhì)質(zhì)對與絕對值值有關(guān)的函數(shù)數(shù)、方程等轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為不含絕絕對值不等式式進行研究．．已知函數(shù)f(x)＝|x－8|－|x－4|.(1)作出函數(shù)y＝f(x)的圖象；(2)求函數(shù)的值域域；(3)若f(x)>2，求x的范圍．(4)若f(x)＝k(x－6)有三個不同解解，求k的取值范圍．．考點三絕對值不等式的綜合應(yīng)用例3【思路分析】】先找零點：x－8＝0，x－4＝0，x1＝8，x2＝4.分區(qū)域：(－∞，4]，[4,8]，[8，＋∞)轉(zhuǎn)化為分段函函數(shù)．作圖象：利用用圖象求值域域．求不等式式的解集，討討論解的情況況．函數(shù)y＝f(x)的圖象如下圖圖所示：(2)由圖象看出值值域為[－4,4]．(3)不等式|x－8|－|x－4|>2，即f(x)>2，令f(x)＝2，即－2x＋12＝2，得x＝5.結(jié)合函數(shù)f(x)的圖象可知，，原不等式的的解集是(－∞，5)．(4)設(shè)y＝k(x－6)，表示過(6,0)斜率為k的直線，f(x)＝k·(x－6)有三個不同同解，就是是y＝f(x)與y＝k(x－6)的圖象有三三個不同交交點．【思維總結(jié)結(jié)】一般對多個個絕對值，，采取零點點分段法去去絕對值．．在用零點點分段法解解不等式時時忽視分段段區(qū)間的范范圍，如解解－2x＋12>2時忽視4≤x≤8這一前提條條件；本題題求值域可可結(jié)合絕對對值幾何意意義或性質(zhì)質(zhì)求解：即|f(x)|≤|(x－8)－(x－4)|＝4?－4≤f(x)≤4.另外利用圖圖象解題是是(3)(4)的技巧．方法技巧1．零點分段段法的具體體過程(1)求出每個絕絕對值的零零點，所有有的零點將將實數(shù)集分分為若干個個區(qū)間；(2)在各個區(qū)間間上，去掉掉絕對值后后，求出不不等式在該該區(qū)間上的的解集；(3)每個區(qū)間上上的解集的的并集，就就是原不等等式的解集集．如例1的(2)和例3.方法感悟2．解絕對值值不等式主主要是通過過同解變形形去掉絕對對值符號轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為一元元二次和一一元二次不不等式(組)進行求解．．含有多個絕絕對值符號號的不等式式，一般可可用零點分分段法求解解，對于形形如|x－a|＋|x－b|>m或|x－a|＋|x－b|<m(m為正常數(shù))，利用實數(shù)數(shù)絕對值的的幾何意義義求解較簡簡便，如例例1、3的(2)．3．證明含有有絕對值的的不等式，，其思路主主要有兩種種：一是恰恰當?shù)剡\用用|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|進行放縮，，在運用|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|時，要注意意不等號的的傳遞性及及等號成立立的條件；；二是把含含有絕對值值的不等式式等價轉(zhuǎn)化化為不含有有絕對值的的不等式，，再利用比比較法、綜綜合法及分分析法等進進行證明，，其中去掉掉絕對值符符號的常用用方法是平平方法，如如例2.失誤防范1．使用平方方法去絕對對值時要特特別小心，，非常容易易出現(xiàn)增解解，必須檢檢查變形的的同解性．．事實上，，平方法去去絕對值一一般只適用用于兩邊非非負的不等等式，如例例1(2)．2．應(yīng)用絕對對值不等式式性質(zhì)求函函數(shù)的最值值時，一定定注意等號號成立的條條件．考向瞭望·把脈高考考情分析這部分知識識并不是每每年都要考考查的，是是間斷性考考查，有的的是以選擇擇題、填空空題的形式式出現(xiàn)，常常與分式不不等式、一一元二次不不等式以及及集合問題題聯(lián)系，一一般注重考考查基礎(chǔ)，，難度不大大，有很少少試題是以以解答題形形式出現(xiàn)，，若出現(xiàn)也也只是以絕絕對值為背背景考查函函數(shù)或數(shù)列列的性質(zhì)，，可能難度度較大．2010年的高考中中，只有廣廣東和上海海市的考題題是主觀題題，難度較較大．課標標全國卷和和福建卷雖雖然是解答答題，但難難度中檔，，其它省市市的試題主主要是選擇擇、填空題題，難度較較低，如陜陜西卷、江江西卷等．．預(yù)測2012年的高考仍仍以絕對值值不等式解解法為主或或者用絕對對值不等式式的性質(zhì)求求參數(shù)問題題．規(guī)范解答例(本題滿分10分)(2010年高考課標標全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x－4|＋1.(1)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象；(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空空，求a的取值范圍圍．【名名師師點點評評】】本題題主主要要考考查查絕絕對對值值的的意意義義、、圖圖象象性性質(zhì)質(zhì)及及數(shù)數(shù)形形結(jié)結(jié)合合法法，，難難度度中中檔檔，，在在(1)中絕絕大大多多數(shù)數(shù)考考生生可可得得分分，，在在(2)中有的考生不不敢或不會使使用圖象，導(dǎo)導(dǎo)致運算繁瑣瑣而錯．有的的考生雖然用用了圖象，但但題意理解錯錯或者丟解．．此題是對絕絕對值不等式式應(yīng)用的一個個很好的考查查．名師預(yù)測1．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a對任意實數(shù)x恒成立，則實實數(shù)a的取值范圍為為()A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．[1,2]D．(－∞，1]∪[2，＋∞)解析：選A.先求函數(shù)y＝|x＋3|－|x－1|的最大值ymax，由絕對值的的幾何意義知知坐標軸上一一動點P(x,0)到定點A(－3,0)，B(1,0)距離的最大值值為4，所以ymax＝4，只需a2－3a≥4即可，得a∈(－∞，－1]∪[4，＋∞)，故選A.2．已知不等式式|a－2x|>x－1，對任意x∈[0,2]恒成立，則a的取值范圍為為()A．(－∞，1)∪(5，＋∞)B．(－∞，2)∪(5，＋∞)C．(1,5