§5.4平面向量的數量積及運算律

考點探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考5.4平面向量的數量積及運算律雙基研習·面對高考雙基研習·面對高考基礎梳理[0°，180°]a⊥b當θ＝0°時，a與b同向；當θ＝180°時，a與b反向．(2)a與b的數量積已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，則把數量|a||b|cosθ叫做a與b的數量積或內積，記作a·b，即a·b＝_____________.|a||b|cosθ(3)規(guī)定零向量與任一向量的數量積為0.(4)a·b的幾何意義a·b等于a的長度與b在a的方向上的投影的乘積．2．向量數量積的性質設a，b都是非零向量，e是與b方向相同的單位向量，θ是a與e的夾角，則(1)e·a＝a·e＝_________.(2)a⊥b?__________＝0.|a|cosθa·b－|a||b|≤3．向量數量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝_________．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量數量積的坐標表示(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝________________.a·(λb)x1x2＋y1y21．向量的數量積是一個數量，它的符號是怎樣確定的？提示：由向量數量積的定義知：a·b＝|a||b|·cosθ.當a，b為非零向量時，a·b的符號由夾角的余弦來確定；當0°≤θ＜90°時，a·b>0；當90°<θ≤180°時，a·b<0；當a與b至少有一個為零向量或θ＝90°時，a·b＝0.思考感悟2．向量a，b，c滿足規(guī)律(a·b)c＝a(b·c)?提示：不滿足，因為(a·b)c與c共線，而a(b·c)與a共線．一般情況下，a與c不一定共線，所以(a·b)c與a(b·c)不一定相等．答案：C課前熱身答案：C答案：B4．已知a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，則a·b＝______.答案：－635．已知a＝(3,2)，b＝(－1,2)，(a＋λb)⊥b，則實數λ＝________.考點探究·挑戰(zhàn)高考考點突破考點一平面向量數量積的運算求兩個向量的的數量積，有有兩種方法：：一是根據定定義，確定兩兩個向量的長長度以及兩個個向量的夾角角，代入定義義式即可；二二是坐標形式式，確定兩個個向量的坐標標，然后代入入坐標公式．．參考本節(jié)教教材例2、例4.例1(1)已知向量a與b的夾角為120°，且|a|＝|b|＝4，則a·b＝________；(a－2b)·(a＋b)＝________.(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，則(a－2b)·(2a＋3b)＝________.b在a上的投影為________．【思路分析】】利用平面向量量數量積的定定義及運算律律→a2，b2，及a·b.【領悟歸納】】兩個向量的數數量積，若兩兩個向量沒給給出具體的坐坐標時，就依依據運算律計計算，若給出出向量具體的的坐標，可求求出具體坐標標如(2)的法一，也可可依據運算律律如(2)的法二．考點二利用平面向量的數量積解決夾角、長度問題例2【思路分析】】首先求出|b|及|a＋b|.【思維總結】】求向量夾角要要注意角度范范圍．互動探究若本例條件不不變，求(a＋b)與(a－b)夾角(1)兩個向量平行行的充要條件件：a∥b?|a·b|＝|a|·|b|?a·b＝|a||b|或－|a||b|.(2)兩個非非零向向量垂垂直的的充要要條件件：兩非零零向量量垂直直，則則它們們的數數量積積等于于0.上述兩兩點的的實質質就是是把位位置關關系的的判定定轉化化為代代數運運算，，參考考例1、例2.考點三利用平面向量數量積解決垂直、平行問題例3【思路路點撥撥】利用公公式a·b＝0?a⊥b.【思維維總結結】在(2)中直接接利用用a·b＝0，使化化簡簡簡單，，如果果把a與b的坐標標代入入(a＋2b)·(ka＋b)化簡過過程麻麻煩．．方法技技巧1．向量量的加加、減減、數數乘與與數量量積的的混合合運算算可以以看成成多項項式的的運算算，按按多項項式的的運算算法則則進行行．例例如(λ1a＋λ2b)·(k1a＋k2b)＝λ1k1a2＋(λ1k2＋λ2k1)a·b＋λ2k2b2.如例1.2．用坐坐標計計算時時，有有時先先化簡簡再代代入坐坐標簡簡單，，整體體運用用|a|2及a·b的結果果．如如例3.方法感感悟失誤防防范1．向量量的數數量積積與數數的乘乘法的的區(qū)別別(1)兩個向向量的的數量量積是是個數數量，，而不不是向向量．．(2)當a≠0時，由由a·b＝0不能推推出b一定是是零向向量．．這是是因為為對任任一與與a垂直的的非零零向量量b，都有有a·b＝0.(3)a·b＝b·c?a＝c.(4)一般地地，a·(b·c)≠(a·b)·c，這是是由于于b·c和a·b都是實實數，，而a與c不一定定共線線．(5)對于實實數a、b，有|ab|＝|a|·|b|，但對對于向向量a、b，有|a··b|≤|a|·|b|.2．當兩兩向量量的夾夾角θ為鈍角角時，，－1＜cosθ＜0，要注注意cosθ≠－1，這一一點特特別容容易忽忽略，，因為為cosθ＝－1時，兩兩向量量反向向，所所成角角不是是鈍角角．同同樣當當θ為銳角角時，，0<cosθ<1.cosθ＝1時θ為0，兩向向量同同向．．考向瞭望·把脈高考考情分分析向量作作為數數學工工具正正越來來越被被接受受和應應用，，從近近幾年年的高高考中中，向向量的的數量量積是是必考考內容容，即即單獨獨考查查，以以選擇擇題，，填空空題的的形式式出現現，又又以解解答題題的形形式與與解析析幾何何綜合合，具具有一一定難難度．．2010年的的高高考考中中，，重重慶慶理理第第2題，，江江西西理理第第13題等等是是利利用用數數量量積積求求模模，，重重慶慶文文第第3題是是利利用用數數量量積積待待定定字字母母取取值值，，江江西西文文第第13題考考查查了了數數量量積積的的幾幾何何意意義義，，其其它它試試題題也也都都對對數數量量積積進進行行了了考考查查．．預測測2012年高高考考客客觀觀題題以以求求模模長長、、求求夾夾角角為為重重點點，，主主觀觀題題中中注注重重與與三三角角函函數數、、解解析析幾幾何何、、立立體體幾幾何何等等綜綜合合，，轉轉化化為為坐坐標標運運算算為為多多．．命題題探探源源例【答答案案】】B【名名師師點點評評】】本題題考考查查了了向向量量的的數數量量積積及及模模的的求求法法，，屬屬基基礎礎題題．．這這類類題題在在教教材材中中多多處處出出現現，