§5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算

考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考向瞭望·把脈高考5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算雙基研習(xí)·面對(duì)高考雙基研習(xí)·面對(duì)高考基礎(chǔ)梳理1．平面向量的基本定理如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)_______向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中________的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組________．不共線不共線基底2．平面向量的坐標(biāo)表示在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y使得a＝xi＋yj，我們把(x，y)叫做向量a的直角坐標(biāo)，記作a＝_________．其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)，(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)表示．與a相等的向量的坐標(biāo)也為(x，y)．顯然i＝(1,0)，j＝(0,1)，0＝(0,0)．(x，y)3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．則a＋b＝_________________，a－b＝_________________．(2)已知a＝(x，y)和實(shí)數(shù)λ，那么λa＝________．(3)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)．則a∥b的充要條件是____________＝0.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx，λy)x1y2－x2y1思考感悟：1．向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)有什么區(qū)別與聯(lián)系？提示：向量的坐標(biāo)是用有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)計(jì)算的，即終點(diǎn)的坐標(biāo)減起點(diǎn)的同名坐標(biāo)，當(dāng)起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，終點(diǎn)的坐標(biāo)就是該向量的坐標(biāo)．思考感悟：1．(教材例4改編)若a＝(x,2)，b＝(6,3)，且a∥b，則x為(

)A．1

B．2C．3D．4答案：D課前熱身2．若向量a＝(3,2)，b＝(0，－1)，則向量2b－a的坐標(biāo)是(

)A．(3,4)B．(－3,4)C．(3，－4)D．(－3，－4)答案：D答案：A考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突破考點(diǎn)一平面向量基本定理平面向量基本本定理是用已已知向量來(lái)表表示未知向量量的理論依據(jù)據(jù)．實(shí)質(zhì)就是是利用平行四四邊形法則或或三角形法則則進(jìn)行向量的的加減運(yùn)算或或進(jìn)行數(shù)乘運(yùn)運(yùn)算，參考教教材5.3中的例4的解法．例1向量的坐標(biāo)運(yùn)運(yùn)算主要是利利用加、減、、數(shù)乘運(yùn)算法法則進(jìn)行，若若已知有向線線段兩端點(diǎn)的的坐標(biāo)，則應(yīng)應(yīng)先求出向量量的坐標(biāo)，解解題過(guò)程中要要注意方程思思想的運(yùn)用，，參考教材5.4的例3.考點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2【思路分析】】首先利用點(diǎn)的的坐標(biāo)求出向向量坐標(biāo)，再再按坐標(biāo)運(yùn)算算法則求向量量坐標(biāo)．【思維總結(jié)】】向量加減法的的坐標(biāo)運(yùn)算就就是向量在x軸上的相應(yīng)坐坐標(biāo)、在y軸上的相應(yīng)坐坐標(biāo)之間的加加減運(yùn)算，是是向量的代數(shù)數(shù)運(yùn)算形式．．互動(dòng)探究1向量共線的坐坐標(biāo)表示提供供了通過(guò)代數(shù)數(shù)運(yùn)算來(lái)解決決向量共線的的方法，也為為點(diǎn)共線、線線平行問(wèn)題的的處理提供了了容易操作的的方法，參考考本節(jié)教材例例4，例5考點(diǎn)三向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算平面內(nèi)三個(gè)向向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，若d滿足(d－c)∥(a＋b)且d的起點(diǎn)為坐標(biāo)標(biāo)原點(diǎn)，求d終點(diǎn)的軌跡方方程．【思路分析】】設(shè)d＝(x，y)，用坐標(biāo)表示示d－c和a＋b，根據(jù)向量共共線關(guān)系尋求求x、y的關(guān)系式．例3【思維總結(jié)】】向量共線，主主要是依據(jù)“相等向量的坐坐標(biāo)相同”這一原則建立立關(guān)系式．互動(dòng)探究2在本例的基礎(chǔ)礎(chǔ)上，若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k.方法技巧(1)在一個(gè)復(fù)雜的的幾何圖形中中恰當(dāng)?shù)剡x擇擇兩個(gè)不共線線向量來(lái)表示示其他向量，，然后進(jìn)行運(yùn)運(yùn)算是解決向向量問(wèn)題的基基本方法，如如例1.(2)利用向量的坐坐標(biāo)運(yùn)算解題題，主要是根根據(jù)相等的向向量坐標(biāo)相同同這一原則，，通過(guò)列方程程(組)進(jìn)行求解，如如例2.(3)如果已知兩向向量共線，求求某些參數(shù)的的取值，則利利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是是：x1y2－x2y1＝0”比較簡(jiǎn)捷，如如例3.方法感悟失誤防范(1)形同意不同：：要區(qū)分點(diǎn)的的坐標(biāo)與向量量的坐標(biāo)的區(qū)區(qū)別，盡管在在形式上它們們完全一樣，，但意義完全全不同，向量量的坐標(biāo)中同同樣有方向與與大小的信息息，如例2中點(diǎn)與向量的的關(guān)系．(2)a∥b的充要條件有有兩種表達(dá)形形式：①a∥b(b≠0)?a＝λb(λ∈R)；②設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.兩種充充要條條件的的表達(dá)達(dá)形式式不同同，第第(1)種是用用線性性關(guān)系系的形形式表表示的的，而而且有有前提提條件件b≠0.而第(2)種是用用坐標(biāo)標(biāo)形式式表示示的，，且沒(méi)沒(méi)有b≠0的限制制．(3)由于基基底向向量不不共線線，所所以0不能作作為一一個(gè)基基底向向量．．考向瞭望·把脈高考考情分分析近兩年年的高高考試試題，，用坐坐標(biāo)表表示的的平面面向量量的線線性運(yùn)運(yùn)算成成為高高考的的熱點(diǎn)點(diǎn)，尤尤其是是對(duì)向向量共共線的的充要要條件件及平平面向向量的的基本本定理理的考考查，，試題題多以以選擇擇題，，填空空題的的形式式出現(xiàn)現(xiàn)，屬屬容易易題，，命題題者意意在此此突出出考查查學(xué)生生基礎(chǔ)礎(chǔ)及數(shù)數(shù)形結(jié)結(jié)合思思想的的運(yùn)用用．在2010年的高高考中中，陜陜西理理第11題考查查了向向量加加法及及平行行坐標(biāo)標(biāo)運(yùn)算算，大大綱全全國(guó)卷卷Ⅱ理理第8題考查查了向向量的的基本本定理理．預(yù)測(cè)2012年的高高考中中，這這部分分若是是單獨(dú)獨(dú)考查查仍以以填空空題或或選擇擇題的的形式式出現(xiàn)現(xiàn)，屬屬于基基本計(jì)計(jì)算，，知識(shí)識(shí)集中中于基基本定定理及及線性性運(yùn)算算．命題探探源例名師預(yù)預(yù)測(cè)2．已知知平面面向量量a＝(1,2)．b＝(－2，m)，若a⊥b，則2a＋3b＝()A．(－2,7)B．(－4,7)C．(－2,3)D．(4,5)解析：：選B.因?yàn)閍＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a⊥b，所以以a