機(jī)械振動(dòng)與機(jī)械波振動(dòng)與波第4章廣義振動(dòng)：任一物理量(如位移、電流等)在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。

振動(dòng)分類非線性振動(dòng)線性振動(dòng)受迫振動(dòng)自由振動(dòng)機(jī)械振動(dòng)：物體在一固定位置附近作來回往復(fù)的運(yùn)動(dòng)。4.1線性振動(dòng)最簡單最基本的線性振動(dòng)。簡諧振動(dòng)：一個(gè)作往復(fù)運(yùn)動(dòng)的物體，如果其偏離平衡位置的位移x（或角位移）隨時(shí)間t按余弦（或正弦）規(guī)律變化的振動(dòng)。4.1.1簡諧振動(dòng)1.描述簡諧振動(dòng)的物理量（1）振幅A簡諧振動(dòng)物體離開平衡位置的最大位移（或角位移）的絕對值。初始條件反映其振動(dòng)的強(qiáng)弱程度頻率：單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)。（2）周期、頻率、圓頻率對彈簧振子圓頻率（角頻率）固有周期、固有頻率、固有角頻率周期T：物體完成一次全振動(dòng)所需時(shí)間。反映其振動(dòng)的快慢單擺復(fù)擺

是t=0時(shí)刻的相位—初相位（3）相位和初相位—相位，決定諧振動(dòng)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)當(dāng)=2k

,k=0,±1,±2…,兩振動(dòng)步調(diào)相同,稱同相當(dāng)=(2k+1)

,k=0,±1,±2...兩振動(dòng)步調(diào)相反,稱反相2

超前于1

或1滯后于

2

相位差反映了兩個(gè)振動(dòng)不同程度的參差錯(cuò)落

相位差兩振動(dòng)相位之差。兩頻率相同簡諧振動(dòng)，振動(dòng)方程為：2.簡諧振動(dòng)實(shí)例（1）彈簧振子：彈簧—物體系統(tǒng)平衡位置：彈簧處于自然狀態(tài)的穩(wěn)定位置輕彈簧—質(zhì)量忽略不計(jì)，形變滿足胡克定律

物體—可看作質(zhì)點(diǎn)

簡諧振動(dòng)微分方程（2）單擺結(jié)論：單擺的小角度擺動(dòng)振動(dòng)是簡諧振動(dòng)。角頻率,振動(dòng)的周期分別為：當(dāng)時(shí)擺球?qū)點(diǎn)的力矩(3)復(fù)擺：繞不過質(zhì)心的水平固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體結(jié)論：復(fù)擺的小角度擺動(dòng)振動(dòng)是簡諧振動(dòng)。對于單擺:當(dāng)時(shí)3.簡諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法0t=0xt+t=toX用旋轉(zhuǎn)矢量表示相位關(guān)系同相反相簡諧振動(dòng)的位移、速度、加速度之間相位關(guān)系toTavxT/4T/4由圖可見：xt+o·

例1:如圖m=2×10-2kg,彈簧的靜止形變?yōu)閘=9.8cm,

t=0時(shí)X0=-9.8cm,v0=0⑴取開始振動(dòng)時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫出振動(dòng)方程；（2）若取x0=0，v0>0為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫出振動(dòng)方程,并計(jì)算振動(dòng)頻率。XOmx解：⑴確定平衡位置取為原點(diǎn)mg=kl

k=mg/l

令向下有位移x,則f=mg-k(l+x)=-kx由初始條件:作簡諧振動(dòng)設(shè)振動(dòng)方程為振動(dòng)方程為：x=9.810-2cos(10t+)m(2)按題意

t=0時(shí)x0=0，v0>0

=-/2x=9.810-2cos(10t-/2)m對同一諧振動(dòng)取不同的計(jì)時(shí)起點(diǎn)不同,但、A不變XOmx固有頻率

例:2如圖所示，振動(dòng)系統(tǒng)由一倔強(qiáng)系數(shù)為k的輕彈簧、一半徑為R、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I的定滑輪和一質(zhì)量為m的物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其振動(dòng)，試證物體作簡諧振動(dòng)，并求其周期T.mm解：取位移軸ox，m在平衡位置時(shí)，設(shè)彈簧伸長量為l，則:mm當(dāng)m有位移x時(shí)聯(lián)立得:物體作簡諧振動(dòng)

例3

已知某簡諧振動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系曲線如圖所示，試求其振動(dòng)方程。解：方法1設(shè)振動(dòng)方程為故振動(dòng)方程為:方法2：用旋轉(zhuǎn)矢量法輔助求解。x的旋轉(zhuǎn)矢量與x軸夾角表示t時(shí)刻相位:由圖知故振動(dòng)方程為:

例4

已知某簡諧振動(dòng)的速度與時(shí)間的關(guān)系曲線如圖所示，試求其振動(dòng)方程。解：方法1設(shè)振動(dòng)方程為故振動(dòng)方程為:方法2：用旋轉(zhuǎn)矢量法輔助求解。v的旋轉(zhuǎn)矢量與v軸夾角表示t時(shí)刻相位:由圖知以彈簧振子為例簡諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量=系統(tǒng)的動(dòng)能Ek+系統(tǒng)的勢能Ep某一時(shí)刻，諧振子速度為v，位移為x簡諧振動(dòng)的動(dòng)能和勢能是時(shí)間的周期性函數(shù)4.簡諧振動(dòng)的能量動(dòng)能勢能情況同動(dòng)能。機(jī)械能簡諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒例4質(zhì)量為0.1kg的彈簧振子，以0.01m的振幅作簡諧振動(dòng)，其最大加速度為0.04ms-2，求：（1）振動(dòng)周期；（2）通過平衡位置時(shí)的動(dòng)能和勢能；（3）彈簧振子的總能量；（4）位移等于振幅一半時(shí)，彈簧振子的勢能占總能量多少？動(dòng)能占總能量多少？解（1）彈簧振子作簡諧振動(dòng)時(shí)，加速度為加