§2.6對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考

§2.6對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)雙基研習(xí)?面對(duì)高考雙基研習(xí)?面對(duì)高考基礎(chǔ)梳理1．對(duì)數(shù)的概念(1)對(duì)數(shù)的定義如果ab＝N(a>0且a≠1)，那么b叫作以a為底N的對(duì)數(shù)，記作__________，其中a叫作對(duì)數(shù)的底數(shù)，_____叫作真數(shù)．b＝logaNN(2)幾種常見對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)形式特點(diǎn)記法一般對(duì)數(shù)底數(shù)為a(a>0且a≠1)logaN常用對(duì)數(shù)底數(shù)為10______自然對(duì)數(shù)底數(shù)為____lnNlgNe2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算法則性質(zhì)①loga1＝___，②logaa＝1，③＝_____運(yùn)算性質(zhì)如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則：(1)loga(Mn)＝_________________，(2)logaMn＝__________________，(3)Loga＝__________________換底公式logbN＝

(a，b＞0，a，b≠1，N＞0)0NlogaM＋logaNnlogaM(N∈R)logaM－logaN.思考感悟1．試結(jié)合換底公式探究logab與logba，logambn與logab之間的關(guān)系？3．對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì)定義函數(shù)____________

(a＞0，a≠1)叫作對(duì)數(shù)函數(shù)，a叫作對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)圖像a＞10＜a＜1y＝logax性質(zhì)(1)定義域：___________(2)值域：______(3)過點(diǎn)(1,0)，即當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0(4)當(dāng)x＞1時(shí)，______；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，________(4)當(dāng)x＞1時(shí)，_______；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，________(5)是(0，＋∞)上的_________(5)是(0，＋∞)上的__________(0，＋∞)Ry＞0y＜0y＜0y＞0增函數(shù)減函數(shù)思考感悟2．如何確定圖中函數(shù)的底數(shù)a，b，c，d與1的大小關(guān)系？提示：作一直線y＝1，該直線與四個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為它們相應(yīng)的底數(shù)．∴0<c<d<1<a<b.

4．反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝______

(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線______對(duì)稱．logaxy＝x課前熱身1．(2010年高考考四川川卷)2log510＋log50.25等于()A．0B．1C．2D．4答案：：C2．在同同一坐坐標(biāo)系系內(nèi)，，函數(shù)數(shù)y＝x＋a與y＝logax的圖像像可能能是()答案：：C3．下列列不等等式成成立的的是()A．log32＜log23＜log25B．log32＜log25＜log23C．log23＜log32＜log25D．log23＜log25＜log32答案：：A4．(教材習(xí)習(xí)題改改編)函數(shù)y＝log(3－x)(x＋1)的定義義域?yàn)闉開_______．答案：：(－1,2)∪(2,3)5．若函函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)的反函數(shù)，，且f(2)＝1，則f(x)＝________.答案：log2x考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突破考點(diǎn)一對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值對(duì)數(shù)源于指指數(shù)，對(duì)數(shù)數(shù)與指數(shù)互互為逆運(yùn)算算，對(duì)數(shù)的的運(yùn)算可根根據(jù)對(duì)數(shù)的的定義、對(duì)對(duì)數(shù)的運(yùn)算算性質(zhì)、對(duì)對(duì)數(shù)恒等式式和對(duì)數(shù)的的換底公式式進(jìn)行．在在解決對(duì)數(shù)數(shù)的運(yùn)算和和與對(duì)數(shù)相相關(guān)的問題題時(shí)要注意意化簡(jiǎn)過程程中的等價(jià)價(jià)性和對(duì)數(shù)數(shù)式與指數(shù)數(shù)式的互化化．例1【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用對(duì)數(shù)的的基本性質(zhì)質(zhì)及對(duì)數(shù)的的運(yùn)算性質(zhì)質(zhì)，將對(duì)數(shù)數(shù)式進(jìn)行合合并或分解解等化簡(jiǎn)、、變形得到到結(jié)果．【解】(1)由已知，得得f(－1)＝log22＝1，f(0)＝0，∴f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0，f(4)＝f(3)－f(2)＝0－(－1)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝0.∴函數(shù)f(x)的值以6為周期重復(fù)復(fù)性出現(xiàn)，，∴f(2011)＝f(335×6＋1)＝f(1)＝－1.【誤區(qū)警示】對(duì)數(shù)的運(yùn)算算性質(zhì)以及及有關(guān)公式式都是在式式子中所有有的對(duì)數(shù)符符號(hào)有意義義的前提下下才成立的的，不能出出現(xiàn)log212＝log2[(－3)(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)等錯(cuò)誤．考點(diǎn)二對(duì)數(shù)式的大小比較1．比較同底底的兩個(gè)對(duì)對(duì)數(shù)值的大大小，可利利用對(duì)數(shù)函函數(shù)的單調(diào)調(diào)性來(lái)完成成．(1)a>1，f(x)>0，g(x)>0，則logaf(x)>logag(x)?f(x)>g(x)>0；(2)0<a<1，f(x)>0，g(x)>0，則logaf(x)>logag(x)?0<f(x)<g(x)．2．比較兩個(gè)個(gè)同真數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)值的大大小，可先先確定其底底數(shù)與1的大小關(guān)系系，然后再再比較．(1)若a>b>1，如圖1.當(dāng)f(x)>1時(shí)，logbf(x)>logaf(x)；當(dāng)0<f(x)<1時(shí)，logaf(x)>logbf(x)．(2)若1>a>b>0，如圖2.當(dāng)f(x)>1時(shí)，logbf(x)>logaf(x)；當(dāng)1>f(x)>0時(shí)，logaf(x)>logbf(x)．(3)若a>1>b>0.當(dāng)f(x)>1時(shí)，則logaf(x)>0>logbf(x)；當(dāng)0<f(x)<1時(shí)，則logaf(x)<0<logbf(x)．3．比較大小小常用的方方法(1)作差(商)法；(2)利用函數(shù)的的單調(diào)性法法；(3)特殊值法(特別是以1和0為中間值)．例2A．①與③B．①與④C．②與③D．②與④【答案】(1)A(2)D【名師點(diǎn)評(píng)】比較大小，，往往要先先判斷正、、負(fù)，再根根據(jù)函數(shù)的的單調(diào)性進(jìn)進(jìn)行比較，，必要時(shí)要要與0、1或其他中間間值進(jìn)行比比較．互動(dòng)探究1將本例(2)中的條件0＜a＜1改為a＞0且a≠1結(jié)論如何？？考點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用利用對(duì)數(shù)函函數(shù)的性質(zhì)質(zhì)，求與對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)有有關(guān)的復(fù)合合函數(shù)的值值域和單調(diào)調(diào)性問題，，必須弄清清三方面的的問題：一一是定義域域，所有問問題都必須須在定義域域內(nèi)討論；；二是底數(shù)數(shù)與1的大小關(guān)系系；三是復(fù)復(fù)合函數(shù)的的構(gòu)成，即即它是由哪哪些基本初初等函數(shù)復(fù)復(fù)合而成的的．例3【規(guī)律小結(jié)】(1)求與對(duì)數(shù)有有關(guān)的函數(shù)數(shù)定義域就就是求使真真數(shù)大于0，底數(shù)大于于0且不等于1的集合；(2)y＝logax的單調(diào)性取取決于底數(shù)數(shù)a，當(dāng)?shù)讛?shù)a的大小不確確定時(shí)，需需對(duì)底數(shù)a分a>1與0<a<1兩種情況進(jìn)進(jìn)行討論；；(3)logaf(x)>b?logaf(x)>logaab，然后利用用單調(diào)性，，去掉對(duì)數(shù)數(shù)符號(hào)：若若a>1，則f(x)>ab；若0<a<1，則0<f(x)<ab.變式訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)＝loga(2－ax)，是否存在在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)在[0,1]上是關(guān)于x的減函數(shù)，，若存在，，求a的取值范圍圍．解：∵a＞0，且a≠1，∴u＝2－ax在[0,1]上是關(guān)于x的減函數(shù)．．又f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是關(guān)于x的減函數(shù)，，∴函數(shù)y＝logau在[0,1]上是關(guān)于u的增函數(shù)，，且對(duì)x∈[0,1]時(shí)，u＝2－ax恒為正數(shù)，，方法感悟方法技巧1．熟練掌握握對(duì)數(shù)的運(yùn)運(yùn)算法則、、對(duì)數(shù)恒等等式以及換換底公式，，善于正用用、逆用、、變形用，，這些公式式是解答對(duì)對(duì)數(shù)式的化化簡(jiǎn)與求值值的關(guān)鍵．．(如例1)2．研究對(duì)數(shù)數(shù)型函數(shù)的的圖像時(shí)，，一般從最最基本的對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的的圖像入手手，通過平平移、伸縮縮、對(duì)稱變變換得到．．特別地，，要注意底底數(shù)a＞1和0＜a＜1兩種不同情情況．有些些看似復(fù)雜雜的問題，，借助于函函數(shù)圖像來(lái)來(lái)解決，就就顯得簡(jiǎn)單單了，這也也是數(shù)形結(jié)結(jié)合思想的的重要體現(xiàn)現(xiàn)．(如課前熱身身2)3．對(duì)于對(duì)數(shù)數(shù)函數(shù)的性性質(zhì)，要注注意底數(shù)是是否大于1.當(dāng)a>1時(shí)，f(x)＝logag(x)的單調(diào)性與與g(x)>0時(shí)的單調(diào)性性一致；當(dāng)當(dāng)0<a<1時(shí)，f(x)＝logag(x)的單調(diào)性與與g(x)>0的單調(diào)性相相反．(如例3)4．無(wú)論討論論函數(shù)的性性質(zhì)，還是是利用函數(shù)數(shù)的性質(zhì)，，首先要分分清其底數(shù)數(shù)a∈(0,1)還是a∈(1，＋∞)，其次再看看定義域．．如果將函函數(shù)變換，，務(wù)必保證證等價(jià)性．．(如例2)失誤防范1．指數(shù)運(yùn)算算的實(shí)質(zhì)是是指數(shù)式的的積、商、、冪的運(yùn)算算，對(duì)于指指數(shù)式的和和、差應(yīng)充充分運(yùn)用恒恒等變形和和乘法公式式；對(duì)數(shù)運(yùn)運(yùn)算的實(shí)質(zhì)質(zhì)是把積、、商、冪的的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化化為對(duì)數(shù)的的和、差、、積．2．指數(shù)函數(shù)數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)數(shù)，應(yīng)從概概念、圖像像和性質(zhì)三三個(gè)方面理理解它們之之間的聯(lián)系系與區(qū)別．．3．要通過研研究函數(shù)的的性質(zhì)明確確函數(shù)圖像像的位置和和形狀，要要記憶函數(shù)數(shù)的性質(zhì)可可借助于函函數(shù)的圖像像．因此要要掌握指數(shù)數(shù)函數(shù)和對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)的的性質(zhì)首先先要熟記指指數(shù)函數(shù)和和對(duì)數(shù)函數(shù)數(shù)的圖像．．考情分析考向瞭望?把脈高考本節(jié)內(nèi)容在在高考中屬屬必考內(nèi)容容，考查重重點(diǎn)有以對(duì)對(duì)數(shù)的運(yùn)算算性質(zhì)為依依據(jù)，考查查對(duì)數(shù)運(yùn)算算、求函數(shù)數(shù)值，通過過比較大小小、求單調(diào)調(diào)區(qū)間、解解不等式等等考查對(duì)數(shù)數(shù)函數(shù)的單單調(diào)性以及及考查與對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)有有關(guān)的綜合合問題等．．考查熱點(diǎn)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函函數(shù)的性質(zhì)質(zhì)．題型以以選擇題、、填空題為為主，屬中中低檔題．．預(yù)測(cè)2012年高考仍以以對(duì)數(shù)函數(shù)數(shù)性質(zhì)為主主要考點(diǎn)，，重點(diǎn)考查查運(yùn)用知識(shí)識(shí)解決問題題的能力．．真題透析例【名師點(diǎn)評(píng)】(1)本題易失誤誤的是：①三角變換公公式不熟，，在變形的的過程中出出錯(cuò)；②對(duì)數(shù)的運(yùn)算算性質(zhì)和指指數(shù)的運(yùn)算算性質(zhì)記混混，導(dǎo)致簡(jiǎn)簡(jiǎn)單問題復(fù)復(fù)雜化，還還得不出正正確結(jié)論．．(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算算常有兩種種解題思路路：一是將將對(duì)數(shù)的和和、差、積積、商、冪冪轉(zhuǎn)化為對(duì)對(duì)數(shù)真數(shù)的的積、商、、冪；二是是將式子化化為最簡(jiǎn)單單的對(duì)數(shù)的的和、差、、積、商、、冪，合并并同類項(xiàng)后后再進(jìn)行運(yùn)運(yùn)算．解題題過程中，，要抓住式式子的特點(diǎn)點(diǎn)，靈活使使用運(yùn)算法法則．名師預(yù)測(cè)1．若a＝log3π，b＝log43，c＝log50.9，則()A．a(chǎn)＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a解析：選A.a＝log3π＞log33＝1，b＝log43＜log44＝1且b＞0，c＝log50.