第十七講同角三角函數(shù)的基本關系式及誘導公式回歸課本1.同角三角函數(shù)基本關系式平方關系:sin2α+cos2α=1;商數(shù)關系:tanα=2.α相關角的表示(1)終邊與角α的終邊關于原點對稱的角可以表示為π+α;(2)終邊與角α的終邊關于x軸對稱的角可以表示為-α(或2π-α);(3)終邊與角α的終邊關于y軸對稱的角可以表示為π-α;(4)終邊與角α的終邊關于直線y=x對稱的角可以表示為-α.3.誘導公式(1)公式一sin(α+k·2π)=sinα,cos(α+k·2π)=cosα,tan(α+k·2π)=tanα,其中k∈Z.(2)公式二sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα,tan(π+α)=tanα.(3)公式三sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.(4)公式四sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.(5)公式五(6)公式六即α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函數(shù)值,等于α的同名函數(shù)值,前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號;

±α的正弦(余弦)函數(shù)值,分別等于α的余弦(正弦)函數(shù)值,前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號.總口訣為:奇變偶不變,符號看象限,其中“奇?偶”是指“k·±α(k∈Z)”中k的奇偶性;“符號”是把任意角α看作銳角時原函數(shù)值的符號.考點陪練1.(2010·全國Ⅰ)cos300°=()解析:cos300°=cos(360°-60°°)=cos60°=,故選C.答案:C答案:A答案:B4.點P(tan2008°,cos2008°)位于()A.第二象限B.第一象限C.第四象限D(zhuǎn).第三象限解析:∵2008°=6×360°-152°,∴tan2008°=-tan152°=tan28°>0,cos2008°=cos152°°<0,∴點P在第四象限.答案:C答案:B類型一利利用同角三角角函數(shù)基本關關系式化簡求求值解題準備:本考點的試題題難度不大,而對公式的應應用要求準確確?靈活,尤其是利用平平方關系sin2α+cos2α=1及其變形形式式sin2α=1-cos2α或cos2α=1-sin2α進行開方運算算時,特別注意符號號的判斷.如果所給的三三角函數(shù)值是是字母給出的的,且沒有指定角角在哪個象限,那么就需要結結合分類討論論的思想來確確定其他角的的三角函數(shù)值值.【典例1】(1)已知sinα=,且α為第二象限角角,求tanα;(2)已知sinα=,求tanα;(3)已知sinα=m(m≠0,m≠±1),求tanα.(3)∵sinα=m(m≠0,m≠±1),∴cosα=±=±(當α為第一?四象限角時取取正號,當α為第二?三象限角時取取負號),所以當α為第一?四象限角時,tanα=;當α為第二?三象限角時,tanα=[反思感悟]本例屬同角三三角函數(shù)關系系式的基本題題,關鍵是掌握住住“先平方,后作商”的原則,先求與sinα的平方關系相相聯(lián)系的cosα,再由公式求tanα.在(3)中,α為第四象限角角,但tanα=,原因是m此時小于0,所以形式上tanα的表達式前面面仍不帶負號號.類型二 誘導導公式及其應應用解題準備:誘導公式起著著變名?變角?變號的作用,應用誘導公式式,著眼點應放在在“角”上,重點是“函數(shù)名稱”和“正負號”的判斷.求任意角的三三角函數(shù)值問問題,都可以利用誘誘導公式最終終化為銳角三三角函數(shù)的求求值問題,具體步驟是:“化負為正—化大為小—銳角求值”.[分析]顯然應用到誘誘導公式,既可以直接從從誘導公式中中合理選用,也可以直接運運用十字訣,一般來說用后后一方法記憶憶負擔較輕.(3)∵-1860°=-21×90°+30°,∴f(-1860°)=-cos(-1860°)=-cos(-21×90°+30°)=-sin30°=.[反思感悟]如何運用十字字訣,可通過下例來來體會:設β=α-且α為銳角,則如圖所示,可知β可看成是第二二象限角,而在第二象限限中余弦取負負號,且k=-3為奇數(shù).∴cosβ=cos(-3?+α)=-sinα.類型三sinα±cosα與sinα·cosα關系的應用解題準備:利用sin2α+cos2α=1,可以得出如下下結論:(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα;(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα;(sinα+cosα)2+(sinαα-cosαα)2=2;(sinα+cosα)2-(sinαα-cosαα)2=4sinααcosα.對于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα這三個式子,已知其中一個個式子的值,可求其余二式式的值.【典例3】已知sinx+cosx=,求下列各式的的值:(1)sin3x+cos3x;(2)sin4x+cos4x;(3)tan2x+cot2x.[反思感悟]平方關系sin2x+cos2x=1把sinx+cosx,sinxcosx聯(lián)系起來,要靈活運用它它們之間的變變換,熟記立方和公公式及和的立立方公式.類型四關關于sinα與cosα的二次齊次式式的求值問題題解題準備:這類已知某個個三角函數(shù)值值,求其余三角函函數(shù)值的問題題的常規(guī)思路路是:利用同角間的的三角函數(shù)關關系,求出其余三角角函數(shù)值,這就需要根據(jù)據(jù)m的取值符號,確定α角所在的象限限,再對它進行討討論.這樣計算相當當繁瑣,而在這里靈活活地運用“1”的代換,將所求值的式式子的分子?分母同除以cosnα,用tannα表示出來,從而簡化了解解題過程,我們應熟練掌掌握這種解法法.更主要的是由由此進一步領領悟具體問題題具體分析的的辯證思想方方法.[反思感悟]形如asinα+bcosαα和asin2α+bsinαcosαα+ccos2α的式子分別稱稱為關于sinα?cosα的一次齊次式式和二次齊次次式,對涉及它們的的三角式的變變換常有如上上的整體代入入方法可供使使用.錯源一忽忽視隱含的平平方關系,擴大解的范圍圍而致錯A.m∈[3,9]B.m∈(-∞,5)∪∪[3,+∞∞)C.m=0,或m=8D.m=8[錯解]由已知有解得m<-5或m≥3,選B.[剖析]條件給出了含含有參數(shù)的正正余弦的函數(shù)數(shù)值,而參數(shù)值要受受到正余弦的的平方關系“sin2θ+cos2θ=1”的限制,而上述解法就就忽視了這個個制約關系,以致擴大了解解的范圍而錯錯.[答案]D[評析]如果在題設條條件中出現(xiàn)了了正余弦,則要注意利用用它們之間的的平方關系.錯源二 忽視視角的范圍,造成多解而致致錯[評析]解答關于含有有“sinθ±cosθ,sinθcosθ”的問題時,一般都要利用用平方關系sin2θ+cos2θ=1,但必須注意對對所求得的結結果進行檢驗驗,否則會造成多多解.技法一 整體體換元【典例1】已知sinα+3cosα=2,求的的值.技法二 快速速解法(求根法)【典例2】已知θ∈(0,ππ),且sinθ,cosθ是方程25x2-5x-12=0的兩個根,求sin3θ+cos3θ和tanθ-cotθ的值.[解題切入點]由根與系數(shù)的的關系入手,sinθ+cosθ=,sinθcosθθ=,將sin3θ+cos3θ與tanθ-cotθ用sinθ+cosθ,sinθcosθ表示.[分析思維過程程]欲求sin3θ+cos3θ的值需先分解解因式,出現(xiàn)sinθ+cosθ和sinθcosθ的形式后,即可代入和和求求出值來.而tanθ-cotθ化為正弦、余余弦之比后,同樣可求出值值來.[方法與技巧]由題目的形式式得知,很明確要利用用根與系數(shù)的的關系,將所求式表示示成sinθ+cosθ?sinθcosθ的形式,求tanθ-cotθ時,必須化為“弦”,否則用不上已已求得的值.由于sinθ,cosθ是方程的根,一般地,很自然的想到到根與系數(shù)的的關系.其實此題直接接求出兩根更更簡單.[得分主要步驟驟]只要求出兩根根的和與積,分解因式后代代