關(guān)于線性擬合法的進(jìn)一步討論有擾動(dòng)項(xiàng)一、建立模型一元線性回歸：殘差項(xiàng)或稱隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)二、估計(jì)參數(shù)二、估計(jì)參數(shù)用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，得到的估計(jì)表達(dá)式為：三、進(jìn)行檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)誤差：估計(jì)值與應(yīng)變量值間的平均平方誤差。三、進(jìn)行檢驗(yàn)可決系數(shù):衡量自變量與因變量關(guān)系密切程度的指標(biāo)，表示自變量解釋了因變量變動(dòng)的百分比?？梢?，可決系數(shù)取值于0與1之間，并取決于回歸模型所解釋的Y方差的百分比。三、進(jìn)行檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)由公式可見，可決系數(shù)是相關(guān)系數(shù)的平方。相關(guān)系數(shù)越接近+1或-1，因變量與自變量的擬合程度就越好。三、進(jìn)行檢驗(yàn)相關(guān)系數(shù)與可決系數(shù)的主要區(qū)別：相關(guān)系數(shù)測(cè)定變量之間的密切程度，可決系數(shù)測(cè)定自變量對(duì)因變量的解釋程度。相關(guān)系數(shù)有正負(fù)，可決系數(shù)只有正號(hào)。正相關(guān)系數(shù)意味著因變量與自變量以相同的方向增減。如果直線從左至右上升，則相關(guān)系數(shù)為正如果直線從左至右下降，則相關(guān)系數(shù)為負(fù)三、進(jìn)行檢驗(yàn)回歸系數(shù)顯著性檢驗(yàn)檢驗(yàn)回歸系數(shù)b在顯著性水平ɑ上是否為零，進(jìn)而判斷自變量的變化能否解釋因變量的變化三、進(jìn)行檢驗(yàn)回歸模型的顯著性檢驗(yàn)三、進(jìn)行檢驗(yàn)德賓—沃森統(tǒng)計(jì)量（D—W）三、進(jìn)行檢驗(yàn)檢驗(yàn)法則：在D—W小于等于2時(shí)，D—W檢驗(yàn)法則規(guī)定：在D—W大于2時(shí),D—W檢驗(yàn)法則規(guī)定:四、進(jìn)行預(yù)測(cè)小樣本情況下,近似的置信區(qū)間的常用公式為：例題分析已知身高與體重的資料如下表：試計(jì)算：（1）擬合適當(dāng)?shù)幕貧w方程；（2）判斷擬合優(yōu)度情況；（3）對(duì)模型進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)；（α=0.05）（4）當(dāng)體重為75公斤時(shí)，求其身高平均值的95%的置信區(qū)間。身高（米）1.551.601.651.671.71.751.801.82體重（公斤）5052575660656270例題分析解答：（1）n=8，經(jīng)計(jì)算得：因此：例題分析因此，建立的一元線性回歸方程為：回歸直線的擬合優(yōu)度不是很理想。例題分析認(rèn)為所建立的線性回歸模型是顯著的。例題分析預(yù)測(cè)思路一、模型的基本類型和特征1.線性曲線特征：若增長曲線為一次曲線，則其一階差分為常數(shù)。適用于時(shí)間序列數(shù)據(jù)呈直線趨勢(shì)的上升（或下降）變化。一、模型的基本類型和特征2.多項(xiàng)式非線性曲線特征：若增長曲線為二次拋物線，則其二階差分為常數(shù)。適用于時(shí)間序列觀察值數(shù)據(jù)隨時(shí)間變動(dòng)呈現(xiàn)一種由高到低再到高（或由低到高再到低）趨勢(shì)變化一、模型的基本類型和特征3.簡單指數(shù)曲線若對(duì)象增長速度越來越快，其趨勢(shì)近似指數(shù)函數(shù)曲線，且判斷他在預(yù)測(cè)期限內(nèi)不會(huì)出現(xiàn)突然變化，可考慮采用。一、模型的基本類型和特征4.修正指數(shù)型增長曲線描述對(duì)象在發(fā)展的初期和中期增長速度較快，隨后增長速度逐漸下降，其圖形接近于漸近線。其中k為飽和值。一、模型的基本類型和特征y=k是一、模型的基本類型和特征5.雙指數(shù)曲線模型一、模型的基本類型和特征6.龔帕茲（Compertz）模型一、模型的基本類型和特征一、模型的基本類型和特征7.邏輯（Logistic）增長型曲線模型企業(yè)集團(tuán)形成發(fā)展行為，技術(shù)創(chuàng)新擴(kuò)散的基本規(guī)律，手機(jī)普及率等。二、模型識(shí)別繪制坐標(biāo)數(shù)據(jù)點(diǎn)，觀察、選擇模型。

選擇樣本序列的變化規(guī)律與增長曲線的變化規(guī)律在理論上最接近的一種曲線。三、參數(shù)估計(jì)1.對(duì)于線性模型，用最小二乘法處理。2.一些非線性模型，可化為線性模型處理。3.其他類型，有一些特殊方法處理。線性化方法簡單指數(shù)曲線、雙指數(shù)曲線等等，可化為線性曲線，從而應(yīng)用擬合曲線法擬合。線性化方法線性化方法以上求解方法稱為對(duì)數(shù)趨勢(shì)法（又稱指數(shù)趨勢(shì)法）。它是指時(shí)間序列觀察值的長期趨勢(shì)呈指數(shù)曲線變化時(shí)，運(yùn)用觀察值的對(duì)數(shù)與最小二乘法原理求得預(yù)測(cè)模型的方法。對(duì)數(shù)趨勢(shì)法用于時(shí)間序列數(shù)據(jù)按指數(shù)曲線規(guī)律增減變化的場(chǎng)合。二次曲線趨勢(shì)外推法假設(shè)曲線趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)模型為二次曲線趨勢(shì)外推法選取參數(shù)的準(zhǔn)則：使離差的平方和最小。對(duì)三個(gè)參量求偏導(dǎo)，令其為0，可得方程組二次曲線趨勢(shì)外推法若采用正負(fù)對(duì)稱編號(hào)法需計(jì)算

可求出參數(shù)算例例：某公司1995～2003年的商品銷售收入如下表所示，試預(yù)測(cè)該公司2004年的銷售收入為多少萬元？解：1）繪制散點(diǎn)圖。（采用正負(fù)對(duì)稱編號(hào)法）算例2）根據(jù)散點(diǎn)圖確定其變化趨勢(shì)（二次曲線），計(jì)算所需數(shù)據(jù)。3）計(jì)算待定參數(shù)，建立預(yù)測(cè)模型，并計(jì)算預(yù)測(cè)值。（三元非齊線性方程組）算例二次曲線的趨勢(shì)外推預(yù)測(cè)模型為：算例其他一些模型的處理雙指數(shù)曲線模型取對(duì)數(shù)，可化為二次曲線模型修正指數(shù)型增長曲線可化為簡單指數(shù)曲線其他一些模型的處理龔帕茲（B.Gompertz）模型三和法取對(duì)數(shù)，可化為修正指數(shù)型增長曲線。邏輯（Logistic）增長型曲線模型取倒數(shù)，亦可化為線性曲線。三點(diǎn)法三點(diǎn)法假設(shè)曲線通過增長曲線的始點(diǎn)、中間點(diǎn)和終點(diǎn)，帶入曲線方程，得方程組，求出其三個(gè)參數(shù)值。缺點(diǎn)：只用了三個(gè)值，一部分信息，難免有誤差。三和法三和法又稱三段和值法：確定待定參數(shù)的思路是，在二次曲線模型上選取遠(yuǎn)、中、近期三點(diǎn)坐標(biāo)作為預(yù)測(cè)模型待定參數(shù)a、b、c的估計(jì)值。其具體作法為，使時(shí)間序列的總項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)（若為偶數(shù)，可刪去最初的一個(gè)觀察期數(shù)據(jù)）；如果n≥15時(shí)，則在時(shí)間序列的遠(yuǎn)、中、近三期各取5個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)，用權(quán)數(shù)w=1，2，3，4，5由遠(yuǎn)及近分別賦權(quán)并進(jìn)行加權(quán)平均；同理，如果9≤n≤15時(shí)，則在時(shí)間序列的遠(yuǎn)、中、近三期各取3個(gè)數(shù)據(jù)項(xiàng)，用權(quán)數(shù)w=1，2，3由遠(yuǎn)及近分別賦權(quán)并進(jìn)行加權(quán)平均。關(guān)于三點(diǎn)（和）法的幾點(diǎn)說明①三點(diǎn)法的特點(diǎn)是不需要數(shù)列的全部數(shù)據(jù)，計(jì)算相對(duì)而言比較簡單。②對(duì)選取的數(shù)據(jù)比較敏感，即便是取加權(quán)平均值，也會(huì)受到一定的影響。③一般而言，每一組里的數(shù)據(jù)相對(duì)較多時(shí)，則模型可能越接近于實(shí)際。④每一組的里數(shù)據(jù)要求是奇數(shù)，是從方便計(jì)算的角度而言的。三和法解龔帕茲模型將整個(gè)序列分成三個(gè)相等的時(shí)間周期，并對(duì)每一個(gè)時(shí)間周期的數(shù)據(jù)求和以估計(jì)參數(shù)。設(shè)數(shù)據(jù)來自Gompertz模型，即三和法解龔帕茲模型得方程組求解上述方程組，可得k,a,b.三和法解龔帕茲模型解得參數(shù)由推導(dǎo)得練習(xí)某企業(yè)的產(chǎn)品銷售額，實(shí)績有如下記錄。假定數(shù)據(jù)滿足Gomperzt模型，用三和法估計(jì)參數(shù)。三和法解二次曲線假設(shè)遠(yuǎn)、中、近三期的坐標(biāo)分別為；時(shí)間序列總項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，且中間項(xiàng)為d=，則當(dāng)≥15時(shí)，取遠(yuǎn)期5個(gè)觀察值，其加權(quán)平均值為：R=S=T=，

三和法解二次曲線注意：

三和法解二次曲線將以上三點(diǎn)代入二次曲線預(yù)測(cè)模型中，有聯(lián)立方程組：聯(lián)立求解，則有：

三和法解二次曲線依此類推，如果是用三項(xiàng)數(shù)進(jìn)行加權(quán)平均，且權(quán)數(shù)由遠(yuǎn)及近取1，2，3，那么，聯(lián)立求解，則有

例題例：某公司1995～2003年的商品銷售收入如表所示，試按三點(diǎn)法預(yù)測(cè)該公司2004年銷售收入為多少萬元？某公司1995～2003年商品銷售收入數(shù)據(jù)表(單位：萬元)解：①描繪散點(diǎn)圖。觀察其變化趨勢(shì)，選擇二次拋物線預(yù)測(cè)模型。②列表計(jì)算待定參數(shù)所需數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行預(yù)測(cè)。年份199519961997199819992000200120022003銷售收入54564176492311071322156818362140例題權(quán)重年份199515451545549.6821.901996264121282647.4441.471997376432292774.34106.92199849231923930.3854.46199951107222141115.5673.27200061322339661329.8862.09200171568115681573.3428.52200281836236721845.9498.80200392140364202147.6858.98546.41銷售收入