第七章相關(guān)分析一、相關(guān)的意義二、積差相關(guān)三、等級相關(guān)四、質(zhì)與量相關(guān)五、品質(zhì)相關(guān)偏相關(guān)一、相關(guān)的意義1、相關(guān)的概念2、相關(guān)系數(shù)

相關(guān)的概念兩變量之間不精確、不穩(wěn)定的變化關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系。它與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別就在于兩個變量值不是一一對應(yīng)得那樣精確、穩(wěn)定。

兩個變量之間的變化關(guān)系，既表現(xiàn)在變化方向上，又表現(xiàn)在密切程度上。從變化方向來看，兩個變量間有以下幾種關(guān)系：（1）正相關(guān)：兩個變量的變化方向一致，即一個變量值變大時，另一個變量也隨之變大；反之，亦然。（2）負(fù)相關(guān)：兩個變量的變化方向相反，即一個變量值變大時，另一個變量值隨之變??；反之，亦然。（3）零相關(guān)：兩個變量值變化方向無一定規(guī)律，即一個變量值變大時，另一個變量做無規(guī)律的變化。返回關(guān)于散點(diǎn)圖如果觀察所獲得的資料是兩個變量的成對數(shù)據(jù)，那么每一對觀察值都可以用直角坐標(biāo)系中的一個點(diǎn)（x,y）來表示，n個對象的觀察結(jié)果就可以用n個散點(diǎn)來表示。這就是描繪雙變量分布狀況的散點(diǎn)圖。散點(diǎn)圖（一）身高（厘米）145143150156148160154141155148150158智商（分）1001109012010010511098102908998散點(diǎn)圖（二）成績（分）859075908485807580756468智商（分）1001109012010010511098102908998畫散點(diǎn)圖X45678Y14356X45678Y35421X12345Y12345X12345Y54321X1.51.82.82.83.5Y231.542.8相關(guān)系數(shù)用來描述兩個變量相互之間變化方向及密切程度的數(shù)字特征量稱為相關(guān)系數(shù)。一般，樣本相關(guān)系數(shù)用r表示。相關(guān)系數(shù)的取值范圍是在-1到+1之間，-1≤r≤1。“+”“-”號表示變化方向。“+”表示變化方向一致，即正相關(guān)?！?”表示變化方向相反，即負(fù)相關(guān)。r的絕對值表示兩個變量之間的密切程度（即強(qiáng)度）。注意:1.相關(guān)系數(shù)僅僅是一個比值。它不是由相等單位度量而來的，不等距，也不是百分比，因此，不能直接作加、減、乘、除運(yùn)算。2.相關(guān)系數(shù)只能描述兩個變量之間的變化方向及密切程度，并不能揭示兩者之間的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系。3.存在相關(guān)的兩個變量，也不一定存在因果關(guān)系。二、積差相關(guān)1、積差相關(guān)的概念2、積差相關(guān)的使用條件3、積差相關(guān)系數(shù)的公式4、總體相關(guān)系數(shù)的區(qū)間估計(jì)5、相關(guān)的顯著性檢驗(yàn)6、相關(guān)系數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)返回積差相關(guān)的概念當(dāng)兩個變量都是正態(tài)連續(xù)變量，而且兩者之間呈線性關(guān)系時，表示這兩個變量之間的相關(guān)稱為積差相關(guān)。返回積差相關(guān)系數(shù)的公式返回例計(jì)算相關(guān)系數(shù)X45678Y14356X45678Y35421X12345Y12345X12345Y54321X1.51.82.82.83.5Y231.542.80.904-0.71-10.196積差相關(guān)的使用條件1、兩個變量都是由測量獲得的連續(xù)性數(shù)據(jù)。2、兩個變量的總體都呈正態(tài)分布，或接近正態(tài)分布，至少是單峰對稱分布。3、必須是成對的數(shù)據(jù)，而且每對數(shù)據(jù)之間相互獨(dú)立，即每對分?jǐn)?shù)與其他對子沒有關(guān)系，相互獨(dú)立。4、兩個變量之間呈線形關(guān)系。這可由散點(diǎn)圖來做初步分析。5、要排除共變因素的影響。6、樣本容量要≥30，計(jì)算出的積差相關(guān)系數(shù)才具有有效意義。例返回偏相關(guān)偏相關(guān)（partialcorrelation），也稱純相關(guān)或凈相關(guān)，指在計(jì)算兩個連續(xù)變量X1與X2的相關(guān)時，將第三個變量X3或其他多個變量的影響，即r13和r23予以排除之后，X1與X2這兩個變量之間的純凈相關(guān)，用符號r12.3表示，點(diǎn)號左邊的兩個下標(biāo)代表要求計(jì)算偏相關(guān)的兩個變量，點(diǎn)號右邊的下標(biāo)表示要消除其影響的變量。偏相關(guān)的公式如下：偏相關(guān)之例一

（將學(xué)歷XL作為控制變量，對兒童智商IQ與母親年齡NL作偏相關(guān)分析）對12名兒童的智商IQ、出生時母親的年齡NL，以及母親的文化程度（接受正規(guī)教育的年限——學(xué)齡）XL這三個變量進(jìn)行調(diào)查的結(jié)果如下表：abcdefghijklIQ788294959697102105106108114122NL202122252726282730323232XL699121212151616191922r=0.934r12.3=0.0887偏相關(guān)系數(shù)的“階數(shù)”一階偏相關(guān)系數(shù)——只控制了一個“第三變量”；二階偏相關(guān)系數(shù)——控制了兩個“第三變量”；。。。。。?？刂谱兞靠梢圆恢挂粋€，而控制變量的數(shù)目就是偏相關(guān)系數(shù)的階數(shù)。不難理解，兩列變量之間的簡單相關(guān)系數(shù)是零階的“偏相關(guān)系數(shù)”，也就是說，它是在沒有控制任何條件的情況下考察兩種現(xiàn)象之間的相互聯(lián)系。偏相關(guān)分析作為一種統(tǒng)計(jì)分析的手段，可以幫助我們“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”，更加深入地把握事物之間相互聯(lián)系的證據(jù)。偏相關(guān)分析既可以幫助我們辨別虛假的“偽相關(guān)”，也可以幫助我們發(fā)現(xiàn)被掩蔽了的“真相關(guān)”。偏相關(guān)分析之例二

（將工齡GL作為控制變量，對工資GZ與學(xué)歷XL作偏相關(guān)分析。）abcdefghijklGZ800900100020001500220027003000280035001500950GL2141010201021202514XL161916161212191616162212r=0.038(p>0.05)r13.2=0.8177(p<0.01)練習(xí)下表是20名學(xué)生某次期末考試的語文、數(shù)學(xué)、外語三門課的成績，試求剔除了語文成績之后，20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與外語成績的偏相關(guān)系數(shù)。編號1234567891011121314151617181920語文9188837084927887827766697493868477738971數(shù)學(xué)8592866687887481917862717790948273698883外語9392816484917280857364676288847861748562語文與數(shù)學(xué)：0.827語文與外語：0.900數(shù)學(xué)與外語：0.787積差相關(guān)例題成績（分）859075908485807580756468智商（分）1001109012010010511098102908998總體相關(guān)系數(shù)的區(qū)間估計(jì)1、樣本相關(guān)系數(shù)的抽樣分布只有當(dāng)總體相關(guān)系數(shù)ρ=0時，樣本相關(guān)系數(shù)的抽樣分布才接近正態(tài)（嚴(yán)格來說，ρ=0時樣本相關(guān)系數(shù)r的分布為t分布）。當(dāng)總體相關(guān)系數(shù)ρ≠0時，樣本相關(guān)系數(shù)的抽樣分布呈偏態(tài)，概率分布函數(shù)較為復(fù)雜。將相關(guān)系數(shù)做轉(zhuǎn)換：

那么無論總體相關(guān)系數(shù)ρ是否等于零，樣本Z的抽樣分布都近似地服從于正態(tài)分布。Zr的標(biāo)準(zhǔn)誤是：

2、置信區(qū)間的確定：return相關(guān)的顯著性檢驗(yàn)之一：H0：ρ=0的檢驗(yàn)如前所述，當(dāng)總體相關(guān)系數(shù)ρ=0時，樣本相關(guān)系數(shù)r的抽樣分布為t分布。此時樣本相關(guān)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的估計(jì)值是

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：自由度：n-2。在實(shí)際應(yīng)用中，通常是直接查積差相關(guān)系數(shù)顯著性臨界值表來斷定r是否顯著。例：例：12名初二學(xué)生的智商與身高情況登記如下表。能否認(rèn)為學(xué)生的智商確實(shí)與身高有關(guān)（身材矮小者較聰明或者相反）？身高（厘米）145143150156148160154141155148150158智商（分）1001109012010010511098102908998相關(guān)的顯著性檢驗(yàn)之二：H0：ρ=ρ0的檢驗(yàn)虛無假設(shè)意指：在總體中兩個變量之間存在某種程度的線性相關(guān)，而樣本的相關(guān)系數(shù)r≠ρ0是由于抽樣的偶然誤差。

檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：例：例據(jù)稱EPT與TOFEL兩種測驗(yàn)的相關(guān)高達(dá)0.80。隨機(jī)抽取的40名被試，兩個測驗(yàn)成績的相關(guān)系數(shù)r=0.75，據(jù)此能不能否定總體ρ=0.80？解：查表：r=0.75時，Zr=0.973

ρ=0.80時，Zρ=1.099

Return相關(guān)系數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)（一）1、獨(dú)立樣本（r1和r2分別由彼此獨(dú)立的被試得到）之間樣本相關(guān)系數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)例：從某省隨機(jī)抽取的103名高考考生中，男56人，女47人。男生數(shù)、理兩科成績的相關(guān)系數(shù)r1=0.83，女生數(shù)、理兩科成績的相關(guān)系數(shù)r2=0.76。數(shù)、理兩科成績的相互關(guān)系是否存在顯著的性別差異？解：相關(guān)系數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)（二）2、同組被試兩個相關(guān)系數(shù)差異的顯著性檢驗(yàn)這里只介紹同組被試的三個測驗(yàn)，兩兩相關(guān)系數(shù)之差的顯著性檢驗(yàn)。檢驗(yàn)的虛無假設(shè)是:H0:ρ12=ρ13,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t的自由度df=n-3。例：以某一權(quán)威測驗(yàn)X1為效標(biāo)考查新編制的兩套外語測驗(yàn)X2、X3的有效性。在容量n=303的標(biāo)準(zhǔn)化樣本中，求得三個測驗(yàn)的兩兩相關(guān)系數(shù)分別是：r12=0.62;r13=0.51;r23=0.70。新編制的兩個測驗(yàn)的效度是否有顯著的差別？解：return三、等級相關(guān)1、斯皮爾曼等級相關(guān)2、肯德爾和諧系數(shù)返回斯皮爾曼等級相關(guān)1、概念及適用范圍當(dāng)兩個變量值以等級次序排列或以等級次序表示時，兩個相應(yīng)總體并不一定呈正態(tài)分布，樣本容量也不一定大于30，表示這兩個變量之間的相關(guān)，稱為等級相關(guān)。2、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算等級相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)方法與積差相關(guān)的相同。例例成績（分）859075908485807580756468智商（分）1001109012010010511098102908998成績等級3.51.591.553.56.596.591211智商等級6.52.510.516.542.58.5510.5128.5D-3-1-1.50.5-1.5-0.54.00.51.5-1.502.5D2912.250.252.250.25160.252.252.2506.25return成績（分）859075908485807580756468智商（分）1001109012010010511098102908998肯德爾和諧系數(shù)1、概念及使用范圍

當(dāng)多個（兩個以上）變量值以等級次序排列或以等級次序表示，描述這幾個變量之間一致性程度（即相關(guān)）的量，稱為肯德爾和諧系數(shù)。它常用來表示幾個評定者對同一組學(xué)生學(xué)習(xí)成績等級評定的一致性程度或同一個評定者對同一組學(xué)生的學(xué)習(xí)成績用等級先后評定多次之間的一致性程度。2、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算例例N=7趙錢孫李周(k=5)RiRi2蕭亞軒1111111周杰倫1111111S.H.E1111111蔡依琳1111111陳奕迅1111111潘瑋柏1111111王菲1111111返四、質(zhì)與量相關(guān)1、點(diǎn)二列相關(guān)2、二列相關(guān)返回點(diǎn)二列相關(guān)1、概念及適用范圍

當(dāng)兩個變量其中一個是正態(tài)連續(xù)性變量，另一個是真正的二分名義變量時，表示這兩個變量之間的相關(guān)，稱為點(diǎn)二列相關(guān)。2、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算例例14名男女學(xué)生某項(xiàng)技能測驗(yàn)的成績?nèi)缦卤?試計(jì)算該技能測驗(yàn)成績與性別的相關(guān)系數(shù).男1女011111111000000總和成績X7968354628643677接二列相關(guān)應(yīng)用點(diǎn)二列相關(guān)的應(yīng)用

——用于對測驗(yàn)項(xiàng)目的區(qū)分度進(jìn)行檢驗(yàn)。有一是非式選擇測驗(yàn)，每題選對得2分，共有50題，滿分100分。下表所列為20名學(xué)生在該測驗(yàn)中的總成績及第5題的選答情況。問這道題與測驗(yàn)總分的相關(guān)程度如何？學(xué)號總分第5題學(xué)號總分第5題184對282錯376錯460錯572錯674錯776錯884對988對1090對1178對1280錯1392對1494對1596對1688對1790對1878錯1976錯2074錯點(diǎn)二列相關(guān)與二列相關(guān)相同之處：都可用于計(jì)算題目的區(qū)分度。區(qū)別：適用數(shù)據(jù)不同。點(diǎn)二列相關(guān)中的二分變量是真正的二分變量，不是正態(tài)分布的；二列相關(guān)中的二分變量是由正態(tài)分布的連續(xù)性測量數(shù)據(jù)人為轉(zhuǎn)化來的。使用點(diǎn)二列相關(guān)和二列相關(guān)的總原則：如果不是十分明確觀測數(shù)據(jù)的分布形態(tài)是否為正態(tài)分布，這時，不管觀測數(shù)據(jù)代表的是一個真正的二分變量，還是一個基于正態(tài)分布的人為二分變量，都應(yīng)選用點(diǎn)二列相關(guān)。只要有任何疑問，選用點(diǎn)二列相關(guān)總是較好的選擇。在實(shí)際的研究當(dāng)中，二列相關(guān)很少使用。偏相關(guān)練習(xí)練習(xí)問下表中成績與性別是否有關(guān)？被試12345678910性別男女女男女男男男女女成績83919584898786858892二列相關(guān)1、概念及適用范圍當(dāng)兩個變量都是正態(tài)連續(xù)變量，其中一個變量被人為地劃分成二分變量，表示這兩個變量之間的相關(guān)，稱為二列相關(guān)。2、