專題11不等式技巧導(dǎo)圖技巧導(dǎo)圖技巧詳講技巧詳講技巧一：配湊法對加法型，兩個因式的未知數(shù)部分湊成倒數(shù)關(guān)系，配湊成符合基本不等式成立的三個條件“一正二定三相等”。技巧二：分離常數(shù)法1.已知函數(shù)的表達(dá)式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；2.把分母或分子的一次形式當(dāng)成一個整體，并將分子或分母的二次形式配湊成一次形式的二次函數(shù)形式；3.將其化簡即可得到基本不等式的形式，并運(yùn)用基本不等式對其進(jìn)行求解即可得出所求的結(jié)果.技巧三：對勾函數(shù)法：用基本不等式求解時，若遇等號取不到的情況1.運(yùn)用湊項或換元法將所給的函數(shù)化簡為滿足基本不等式的形式；2.結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，并運(yùn)用其圖像與性質(zhì)求出其函數(shù)的最值即可；例題舉證例題舉證技巧1配湊法【例1】（2021·廣西河池市）函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最小值為.故選：A．【舉一反三】1．（2021·江蘇鹽城市）已知，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．故選：D．2．（2021·浙江紹興市·紹興一中）若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為___________.【答案】6【解析】實(shí)數(shù)，滿足，即，所以則當(dāng)且僅當(dāng),又，即時，取得等號.故答案為：63．（2021·福建三明市）若正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為_______．【答案】【解析】由，得，因為，為正實(shí)數(shù)，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號（此時），所以的最小值為，故答案為：技巧2分類常數(shù)法【例2】（2020·安徽蕪湖市·蕪湖一中高一月考）已知，則有（）A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3【答案】D【解析】因為，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即有最小值3.故選：D.【舉一反三】1．（2020·無錫市第三高級中學(xué)）函數(shù)的最大值為（）A．3 B．2 C．1 D．-1【答案】D【解析】，當(dāng)且僅當(dāng),即等號成立.故選：D.2．（2020·安徽六安市·六安一中高二開學(xué)考試（文））若函數(shù)在處取最小值，則（）A． B．2 C．4 D．6【答案】C【解析】由題意，，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以.故選：C.3．（2020·陽江市第一中學(xué)）若，則有（）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2【答案】D【解析】∵，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即有最小值2.故選：D.4．（2021·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)）已知函數(shù)，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則，則，令，下面證明函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，任取、且，則，，則，，，，所以，函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，同理可證函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，，，.因此，函數(shù)的最大值為.故選：D.技巧3對勾函數(shù)【例3】（2020·江蘇）函數(shù)的值域為__________．【答案】【解析】設(shè)，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；同理當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；所以函數(shù)的值域為.故答案為:.【舉一反三】1．（2020·安徽省蚌埠第三中學(xué)）函數(shù)的最小值為（）A．2 B． C．1 D．不存在【答案】B【解析】令，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上也是增函數(shù)．當(dāng)，即，時，．故選：B．2．（2020·全國高三月考）函數(shù)，的最小值為________.【答案】【解析】令，因為，所以，，令，由對勾函數(shù)的性質(zhì)易知，在單調(diào)遞減，即，所以函數(shù)在上的最小值為.故答案為：.3．（2020·上海）設(shè)，則函數(shù)的最小值是___________．【答案】【解析】由得到，即令，則因為，所以函數(shù)為減函數(shù)當(dāng)時，故答案為：技巧強(qiáng)化技巧強(qiáng)化一、單選題1．（2020·浙江高三月考）已知正實(shí)數(shù)、、滿足，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，由于、、均為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值是.故選：C.2．（2020·全國）已知，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最值情況為（）A．有最小值 B．有最大值C．有最小值 D．有最大值【答案】A【解析】由，不等式恒成立即恒成立，即恒成立.又設(shè)由，則，所以，則所以在上單調(diào)遞增，則所以，即所以，即故選：A3（2021·安徽宣城市）已知，，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【解析】因為，，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即等號成立，要使不等式恒成立，所以所以實(shí)數(shù)的最大值為8.故選：C.4．（2020·淮北師范大學(xué)附屬實(shí)驗中學(xué)）已知不等式對任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】由已知可得若題中不等式恒成立，則只要的最小值大于等于9即可，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，，或舍去，即所以正實(shí)數(shù)a的最小值為4.故選：B.5．（2020·安徽宿州市）若對任意滿足的正數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】若對任意滿足的正數(shù)，都有成立，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以，所以，即，即，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C6．（2020·江蘇宿遷市）已知，，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】因為，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，由于恒成立，則，即，解得.故選：A.7．（2020·浙江高一期末）當(dāng)時，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】不等式恒成立化為恒成立，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.所以，所以的最大值為.故選：C8．（2021·浙江紹興市·高三期末）已知且，則的最小值為________.【答案】【解析】令，，因為，所以，則，所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，，時取等號故答案為：9．（2021·江蘇泰州市）已知正實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為____________.【答案】【解析】已知正實(shí)數(shù)、滿足，則.當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值為.故答案為：.10．（2021·福建莆田市）函數(shù)的最小值是________.【答案】【解析】當(dāng)且僅當(dāng)即時取最小值故答案為：11．（2020·福建廈門市·廈門外國語學(xué)校高一月考）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為_________.【答案】【解析】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故答案為：.12．（2020·江蘇省邗江中學(xué)高二期中）函數(shù)的最小值為_______________【答案】8【解析】函數(shù)，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立.故答案為：8.13．（2020·全國高三專題練習(xí)（文））若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為___________.【答案】【解析】令，則，即，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以.所以的最大值為.故答案為：.14．（2020·山西省靜樂縣第一中學(xué)校）求的最小值______.【答案】9【解析】，，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立.故答案為：9.15．（