一、向量的線性運(yùn)算1.向量的加減法(1)三角形法則(2)平行四邊形法則2.向量與數(shù)的乘法4.兩個向量的平行關(guān)系定理設(shè)向量，那么，向量平行于的充分必要條件是：存在唯一的實(shí)數(shù)，使.二、空間直角坐標(biāo)系向量

的坐標(biāo)分解式：三、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)（為實(shí)數(shù)）則四、向量的模、方向角、投影1.向量的模：2.設(shè)有點(diǎn)，則其距離為MPQROzyx非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角方向角：r的方向角：設(shè)非零向量

r=(x,y,z)

方向余弦:方向余弦的特征:單位向量的方向余弦為:注意：設(shè)(2)3.向量在軸上的投影性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)33.向量在軸上的投影.空間一點(diǎn)在軸上的投影:設(shè)，則數(shù)稱為向量在軸上的投影，記作或.

則或記作過點(diǎn)作軸的垂直平面，交點(diǎn)即為點(diǎn)在軸上的投影.注意：設(shè)(2)

性質(zhì)1(即),

其中為向量與軸的夾角;

性質(zhì)2(即);性質(zhì)3(即).

例9設(shè)立方體的一條對角線為OM,一條棱為OA,且,求OA在OM方向上的投影Prj.解

記

有于是Prj

第二節(jié)數(shù)量積向量積*混合積一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積三、向量的混合積一、兩向量的數(shù)量積實(shí)例啟示兩向量作這樣的運(yùn)算,結(jié)果是一個數(shù)量.定義數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積”、“內(nèi)積”.結(jié)論兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模和另一個向量在這向量的方向上的投影的乘積.注意:關(guān)于數(shù)量積的說明：證證數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：（2）分配律：（3）若為數(shù)：若、為數(shù)：例1試用向量證明三角形的余弦定理記則有從而由及即得設(shè)在中，要證證：數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式設(shè)由此可知兩向量垂直的充要條件為夾角余弦的計(jì)算公式:兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式：

二、兩向量的向量積實(shí)例定義關(guān)于向量積的說明：//向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：證////（1）（2）分配律：（3）若

為數(shù)：//設(shè)向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積還可用三階行列式表示//由上式可推出例如，解例4設(shè)，，計(jì)算.解根據(jù)向量積的定義，三角形ABC的面積為例5已知三角形ABC的頂點(diǎn)分別是A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7)，求三角形ABC的面積.由于因此于是例6設(shè)剛體以等角速度繞l軸旋轉(zhuǎn)，計(jì)算剛體上一點(diǎn)M的線速度.解剛體繞l軸旋轉(zhuǎn)時，可以用在l軸上的一個向量表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手規(guī)則定出：即以右手握住l軸，當(dāng)右手的四個手指的轉(zhuǎn)向與剛體的旋轉(zhuǎn)方向一致時，大拇指的指向就是的方向.設(shè)點(diǎn)M到旋轉(zhuǎn)軸l的距離為a，再在l軸上任取一點(diǎn)O作向量r=OM，并以表示與r的夾角，那么設(shè)線速度為v，那么由物理學(xué)上線速度與角速度間的關(guān)系可知，v的大小為v的方向垂直于通過M點(diǎn)與l軸的平面，即v

垂直于與r

；又v

的指向是使、r

、v

符合右手規(guī)則.因此有三、向量的混合積定義設(shè)混合積的坐標(biāo)表達(dá)式（1）向量混合積的幾何意義：關(guān)于混合積的說明：當(dāng)組成右手系時，為正；當(dāng)組成左手系時，為負(fù).解式中正負(fù)號的選擇必須和行列式的符號一致.

性質(zhì)2

對調(diào)混合積相鄰兩個向量，混合積改變符號。例如

三個向量和共面的充分必要條件為

例4已知不在同一平面上的四點(diǎn)O(0,0,0)、A(2,3,－1)、B(4,5,1)和C(1,－2,3),求以O(shè)A、OB、OC為棱所構(gòu)成的四面體體積。

解作三向量和則

例5試證：空間四點(diǎn)和共面的充分條件

證作矢量