第5-6講環(huán)和域1.環(huán)2.具有特殊性質(zhì)的環(huán)3.域4.同態(tài)概念的推廣5.第5-6講作業(yè)11、環(huán)（1）定義1

設(shè)<A,,*>是代數(shù)系統(tǒng)，如果(1)<A,>是阿貝爾群；(2)<A,*>是半群。(3)運(yùn)算*對是可分配的。即對任意a,b,cA，有

a*(bc)=(a*b)(a*c)(bc)*a=(b*a)(c*a)則稱<A,,*>是環(huán)。本節(jié)討論具有兩個運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)<A,,*>。它可視為<A,>和<A,*>組合而成的代數(shù)系統(tǒng)。例如實數(shù)集上具有加和乘運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)<R,+,>。例如，<R,+,>。<I,+,>。<Q,+,>都是環(huán)。21、環(huán)（2）定理1

設(shè)<A,+,>是環(huán)，則對任意a,b,cA，有(1)a=a=(加法幺元是乘法零元)(2)a(-b)=(-a)b=-(ab)(3)(-a)(-b)=ab(4)a(b-c)=ab-ac(5)(b-c)a=ba-ca為了方便，常稱環(huán)<A,,*>的第一個運(yùn)算為加法，并記為+，用表示加法幺元，用-a表示a的加法逆元，將a+(-b)記為a-b；稱第二個運(yùn)算*為乘法，并記為。證明：(1)a=a(+)=a+a

因aA，上式兩邊同加a的加法逆元-(a)得a=。同理可證a=。31、環(huán)（3）定理1

設(shè)<A,+,>是環(huán)，則對任意a,b,cA，有(2)a(-b)=(-a)b=-(ab)(3)(-a)(-b)=ab(4)a(b-c)=ab-ac(5)(b-c)a=ba-ca證明(續(xù))：(2)

a(-b)=-(ab)可理解為ab的加法逆元是a(-b)。于是可證如下：因ab+a(-b)=a(b-b)=a=，并注意到<A,+>是可換群，所以a(-b)=-(ab)，同理可證a(-b)=(-a)b。(3)由(2)式及P189定理5-3.4，

(-a)(-b)=-(a(-b))=-(-(ab))=ab(4)a(b-c)=a(b+(-c))=ab+a(-c)=ab+(-ac)=ab-ac(5)

同(4)可證42、具有特殊性質(zhì)的環(huán)（1）定義2

設(shè)<A,+,>是環(huán)，如果<A,>是可交換的，則稱<A,+,>是可交換環(huán)。如果<A,>含有幺元,則稱<A,+,>是含幺環(huán)。定義3

設(shè)<A,+,>是環(huán)，如果存在a,bA，且a,b,使得ab=,則稱<A,+,>是含零因子環(huán)。a和b稱為零因子。定理2

環(huán)<A,+,>無零因子與乘法滿足可約性等價。證明：設(shè)ca=cb且c,則=ca-ca=ca-cb=c(a-b)，若環(huán)<A,+,>無零因子，由上式，a-b=。兩邊加b得a=b。反之，設(shè)a，ab=，因加法幺元是乘法零元，可得，ab=a，若消去律成立，得b=。這說明<A,+,>無零因子。52、具有特殊性質(zhì)的環(huán)（2）定義4

設(shè)<A,+,>是環(huán)，如果(1)<A,>是可交換的；(2)<A,>含有幺元；(3)<A,>無零因子（或滿足可約性），則稱<A,+,>是整環(huán)。例如，<I,+,>是整環(huán)，因<I,>可交換，有幺元1，且無零因子（也滿足可約性）。63、域（1）定義5設(shè)<A,+,>是代數(shù)系統(tǒng)，如果(1)<A,+>是阿貝爾群；(2)<A-{},>是阿貝爾群；(3)運(yùn)算對+是可分配的，則稱<A,+,>是域。例如，<R,+,>、<Q,+,>都是域。但<I,+,>是整環(huán)而不是域，因<I-{},>不是群，整數(shù)除正負(fù)1之外，均無乘法逆元。

此例說明整環(huán)不一定是域。73、域（2）定理3域是整環(huán)。證明：設(shè)<A,+,>是域，對任意a,b,cA,若a,那么a有乘法逆元a-1。如果ab=ac，則a-1(ab)=a-1(ac),進(jìn)而(a-1a)b=(a-1a)c,最后得b=c。這說明<A,>滿足可約性，即<A,>無零因子，所以域<A,+,>是整環(huán)。定理4有限整環(huán)一定是域。證明：設(shè)<A,+,>是有限整環(huán)，則<A,>是可交換的獨異點，要證<A,+,>是域，只須證任意c()A,都有乘法逆元。事實上，若a,bA,且ab，則acbc（否則，因<A,>無零因子，由可約性而導(dǎo)致a=b）。又因A有限，運(yùn)算封閉，從而有Ac=A。如果用1表示乘法幺元，則存在dA,使得dc=1。故d是c的乘法逆元，這說明<A-{},>是阿貝爾群。84、同態(tài)概念的推廣可以同態(tài)概念推廣到具有多個運(yùn)算的代數(shù)系統(tǒng)。

例如，設(shè)<A,+,>和<B,,*>是兩個代數(shù)系統(tǒng)，對任意a,bA,如果映射f：AB滿足