能量法第三章（11）

概述

應(yīng)變能余能

卡氏定理

用能量法解超靜定問題返回鳥巢濟(jì)南奧體中心游泳館濟(jì)南奧體中心體育場能量方法：利用功能原理Ve=W來求解可變形固體的位移、變形和內(nèi)力等的方法。

§3-1概述可變形固體在受外力作用而變形時(shí)，外力和內(nèi)力均將作功。對于彈性體，外力在相應(yīng)位移上作的功，在數(shù)值上就等于積蓄在物體內(nèi)的應(yīng)變能。

Ve=W1.線彈性條件下，通過外力功求應(yīng)變能§3-2應(yīng)變能?余能常力作功：常力F

沿其方向線位移上所作的功

一、應(yīng)變能變力作功：在線彈性范圍內(nèi)，外力F

與位移間呈線性關(guān)系。(靜荷載為變力）軸向拉（壓）桿外力作功FoFP基本變形在彈性范圍內(nèi)變形量與外力(內(nèi)力)均呈線性關(guān)系彎曲扭轉(zhuǎn)軸向拉，壓（FN為軸力）（

為相對扭轉(zhuǎn)角，T

為扭矩）（

為轉(zhuǎn)角，M

為彎矩）由Ve=W,可得以下變形能表達(dá)式（2）扭轉(zhuǎn)桿內(nèi)的變形能（1）軸向拉壓桿內(nèi)的變形能（3）彎曲梁內(nèi)的變形能（略去剪力的影響）（3）組合變形的變形能2、非線性彈性體，通過比能求應(yīng)變能Fo1F1拉桿的材料是非線性彈性體，當(dāng)外力由0

逐漸增大到F1

時(shí)，桿端位移就由0

逐漸增到1。FdF外力作功為FFo1F1從拉桿中取出一個(gè)各邊為單位長的單元體，l=1=作用在單元體上，下兩表面的力為F=11=其伸長量FFF11該單元體上外力作功為l=F=FF單位體積的應(yīng)變能即比能為11FF若取單元體的邊長為dx

、dy、dz，則該單元體的應(yīng)變能為dVe=ve

dx

dy

dz令dx

dy

dz=dV則整個(gè)拉桿內(nèi)的應(yīng)變能為拉桿整個(gè)體積內(nèi)各點(diǎn)的ve為常量，故有扭轉(zhuǎn)桿

拉壓桿

在線彈性

范圍內(nèi)例題：已知：圖示抗彎剛度為EI的簡支梁，受均布荷載q作用。求：應(yīng)變能qABly解：[法1]運(yùn)用功能原理求應(yīng)變能撓曲線方程xdxqABlywxdxqABlyw[法2]運(yùn)用彎曲變形能公式qABlyx例題：

水平桿系如圖所示，兩桿的長度均為l,橫截面面積

為A，彈性模量為E，且均為線彈性。試計(jì)算在F作用下的應(yīng)變能。llaAaF解：外力作用下，兩桿件伸長，沿F

方向下移，則llaAaF對嗎？由A點(diǎn)平衡得

llaAaFFNFNFFNFNF略去高階微量llaAaFF

與成非線性關(guān)系FNFNFllaAaF該問題屬于幾何非線性彈性問題由于F

與的非線性關(guān)系,求能量需用積分。二.余能1、非線性彈性材料（拉桿）F余功公式=矩形面積+FdF余能公式單位體積的余能2、線彈性材料的幾何線性問題

dFF注意：(1)計(jì)算外力作功時(shí)，注意變力作功與常力作功的區(qū)別。(2)應(yīng)變能Ve

只與外力的最終值有關(guān)，而與加載過程和加載次序無關(guān)。§14-3卡式定理設(shè)梁上有n個(gè)荷載F1，F(xiàn)2，，F(xiàn)n（簡單加載）與之相應(yīng)的位移為1，2，，

n一、卡式第一定理

梁內(nèi)應(yīng)變能在數(shù)值上就等于外力功外力作總功等于每個(gè)集中力在加載過程中所作功的總和上式表示梁內(nèi)應(yīng)變能Ve

是其上所有荷載相應(yīng)的最后位移i

的函數(shù)假設(shè)與第i個(gè)荷載相應(yīng)的位移有一微小的增量di梁內(nèi)應(yīng)變能的變化為為應(yīng)變能對于位移i

的變化率只有與Fi

相應(yīng)的位移有一微小增量，而與其余各荷載相應(yīng)的位移保持不變。只有Fi

在微小位移di

上作了外力功梁外力功的變化為外力功在數(shù)值上等于應(yīng)變能得到即卡氏第一定理一個(gè)力一個(gè)力偶一對力一對力偶一個(gè)線位移一個(gè)角位移相對線位移相對角位移i

為Fi

的作用點(diǎn)相應(yīng)于Fi

的位移。Fi

為廣義力，i為與Fi

相應(yīng)的廣義位移。例題：已知圖示懸臂梁，抗彎剛度EI，自由端轉(zhuǎn)角θ

求：自由端力偶m。

解：梁內(nèi)任一點(diǎn)的線應(yīng)變?yōu)橛蓤D可得m梁內(nèi)任一點(diǎn)的比能為梁的應(yīng)變能為mm梁的應(yīng)變能為例題：已知平面桁架受力如圖。兩桿的橫截面面積均為A，兩桿的E相同，且均處于線彈性范圍內(nèi)。求：B點(diǎn)水平位移與鉛垂位移。若B只發(fā)生水平位移1解：若B只發(fā)生鉛垂位移2桁架的應(yīng)變能當(dāng)水平位移與鉛垂位移同時(shí)發(fā)生時(shí)由卡式第一定理二、卡氏第二定理設(shè)梁上有n個(gè)荷載F1，F(xiàn)2，，F(xiàn)n（簡單加載）與之相應(yīng)的位移為1，2，，

n梁內(nèi)余能為外力的總余功等與每個(gè)集中荷載余功之和每個(gè)集中荷載余能假設(shè)第i

個(gè)荷載有一微小增量dFi

，其余荷載及所有荷載的位移均維持常量不變，外力總余功的相應(yīng)改變量為由于Fi

改變了dFi

，梁內(nèi)余能的改變量為外力余功在數(shù)值上等于彈性桿的余能則有——式為余能定理線彈性桿件或桿系中，應(yīng)變能與余能在數(shù)值上相等則有上式為卡氏第二定理(1)卡氏第一定理與余能定理兩定理均適用于線性或非線性彈性桿件及桿系。說明(2)卡氏第二定理與余能定理

卡氏第二定理只適用于線性彈性體。

(3)Fi

為廣義力，i為相應(yīng)的位移。一個(gè)力一個(gè)力偶一對力一對力偶一個(gè)線位移一個(gè)角位移相對線位移相對角位移(4)卡氏第二定理的應(yīng)用

軸向拉、壓扭轉(zhuǎn)

彎曲

平面桁架組合變形

例題：

已知：如圖所示懸臂梁受力情況，抗彎剛度EI

求：自由端的撓度（用卡氏第二定理）解：因自由端沒有與所求位移對應(yīng)的集中力，需加一虛設(shè)外力P

由卡氏第二定理例題：外伸梁受力如圖所示，已知彈性模量EI。梁材料為線彈性體。求梁C截面的撓度和A截面的轉(zhuǎn)角。ABCPmla解：x1x2ABCPmlaAB：BC：x1x2ABCPmlaAB：BC：x1x2ABCPmlaAB：()BC：

例題：外伸梁受力如圖所示，已知彈性模量EI。梁材料為線彈性體。求梁C截面和D截面的撓度。解：ABCPaPDaa法一:AC：CB：BD：ABCPaPDaaAC：CB：BD：ABCPaPDaa法二:AC：ABCPaPDaaCB：ABCPaPDaaBD：ABCPaPDaaABCPaPDaaABCPaPDaa第二種方法是正確的ABCPaPDaa例題：已知開口圓環(huán)受力如圖，材料為線彈性，抗彎剛度EI

求：圓環(huán)的張開位移△（不計(jì)剪力及軸力的影響）。例14-12

使曲率減小為正解：由卡氏第二定理qABCll例題：抗彎剛度均為EI的靜定組合梁ABC，受力如圖所示。梁材料為線彈性體，不計(jì)剪應(yīng)變對梁變形的影響。用卡氏第二定理求梁中間鉸B兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角。qABCllqABCll解：在B

兩側(cè)虛設(shè)一對外力偶。約束反力如圖所示qABCllxxAB：BC:AB:BC:()例題：剛架結(jié)構(gòu)如圖所示。彈性模量EI已知。材料為線彈性。不考慮軸力和剪力的影響，計(jì)算C截面的轉(zhuǎn)角和D截面的水平位移。ABCDaa2am解在C截面虛設(shè)一力偶mc,

在D截面虛設(shè)一水平力P。mcPRHVABCDaa2ammcPRHVxCD:ABCDaa2ammcPRHVxCB:ABCDaa2ammcPRHVxAB:M(x)=PxCD:CB:AB:M(x)=PxABCDaa2ammcPRHVCD:CB:AB:M(x)=Px()ABCDaa2ammcP例題：各桿抗彎剛度均為EI的Z字形平面剛架受集中力P作用。桿的材料是線彈性的，不計(jì)剪力和軸力對變形的影響。求端面A的線位移和轉(zhuǎn)角。ABCDP3a4aABCDP3a4aCABDP解：在A端虛設(shè)水平力Px

和外力偶mA

。ABCDPxAB：ABCDPBC：3a4axABCDPxCD：4aABCDPAB：BC：CD：AB：BC：CD：ABCDPAB：BC：CD：（）ABCDP例題：各桿的抗拉（壓）剛度均為EA的正方形平面桁架受水平力P作用。桿的材料為線彈性。求結(jié)點(diǎn)C的水平和鉛垂位移。llABcDPQllABcDPQ桿件Q=0ABBCCDDAAC0000-（P+Q）-1-1-P000000000Q=0Q=0llABcDPQ例題：求A截面的鉛垂位移。略去剪力影響ABCDPll/22l/3EAEIABCDPll/22l/3EAEI解：AB為彎曲變形CD為軸向拉伸取AB為研究對象ACBFNABCDPll/22l/3EAEICD桿ACBFNABCDPll/22l/3EAEIAB梁AC：xCB:xPACBFNABCDPll/22l/3EAEIAB梁CD桿例題：圓截面桿ABC，（ABC=900）位于水平平面內(nèi)，已知桿截面直徑d及材料的彈性常數(shù)E,G。求C截面處的鉛垂位移。不計(jì)剪力的影響。ABCllqABCllqBC：彎曲變形xPABlClqAB為彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形xPABlQm（扭轉(zhuǎn)變形）（彎曲變形）ABlClqxPABlQmxABlClqxPxBC：彎曲變形AB：彎扭組合變形P=0ABlClqxPxP=0例題：圖示剛架各段的抗彎剛度均為EI。不計(jì)軸力和剪力的影響。用卡氏第二定理求截面D的水平位移D和轉(zhuǎn)角D。ABCDPPll2l解：在點(diǎn)虛設(shè)一力偶矩mmCD：彎曲變形P1ABCDPPll2lxABCPP1ABCP將力P向C簡化得：力P（產(chǎn)生拉伸變形）將m向C簡化得：m（產(chǎn)生彎曲變形）2Plm力偶矩2Pl（產(chǎn)生彎曲變形）DPll2lmABCPP1ABCABCPP1ABCP2PlmDPll2lmABCPP1ABCAC

產(chǎn)生拉伸與彎曲的組合變形。橫截面上的內(nèi)力有軸力和彎矩。但是軸力不計(jì)，因此橫截面上的內(nèi)力只計(jì)彎矩。ABCDPPll2lmxP1P2PlmxBC段：BA段：xABCDPPll2lmxP1P2Plmxxm=0P1=PABCDPPll2lmxP1P2Plmxxm=0P1=P§3-4用能量法解超靜定問題例題：已知兩桿抗彎剛度均為EI。不計(jì)剪力和軸力對剛架變形的影響。求支座反力。q=10kN/m，m=50kN.m。ABCDa=50mmqmXABCDa=50mmqmABCDa=50mmqmXABCDa=50mmqm解：變形相容條件是在B

點(diǎn)處的撓度為零。XABCDa=50mmqmM(x)=XxxxM(x)=Xx-myCA:BD：DC:BD：M(x)=XxDC:M(x)=Xx-mCA:XABCDa=50mmqmxxy()XAB