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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,則|a+bi|=().A. B. C. D.52.下列命題中,真命題的個(gè)數(shù)為()①命題“若,則”的否命題;②命題“若,則或”;③命題“若,則直線與直線平行”的逆命題.A.0 B.1 C.2 D.33.已知函數(shù).設(shè),若對(duì)任意不相等的正數(shù),,恒有,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.4.在的展開(kāi)式中,含的項(xiàng)的系數(shù)是()A.74 B.121 C. D.5.函數(shù)的大致圖像為()A. B.C. D.6.在原點(diǎn)附近的部分圖象大概是()A. B.C. D.7.某網(wǎng)店2019年全年的月收支數(shù)據(jù)如圖所示,則針對(duì)2019年這一年的收支情況,下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()A.月收入的極差為60 B.7月份的利潤(rùn)最大C.這12個(gè)月利潤(rùn)的中位數(shù)與眾數(shù)均為30 D.這一年的總利潤(rùn)超過(guò)400萬(wàn)元8.已知函數(shù),以下結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()①當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為;②當(dāng)時(shí),函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù);③若函數(shù)在上不單調(diào),則;④當(dāng)時(shí),在上的最大值為1.A.1 B.2 C.3 D.49.設(shè)是虛數(shù)單位,則()A. B. C. D.10.某幾何體的三視圖如圖所示,圖中圓的半徑為1,等腰三角形的腰長(zhǎng)為3,則該幾何體表面積為()A. B. C. D.11.已知點(diǎn)在雙曲線上,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.12.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖是一個(gè)正三角形,則這個(gè)幾何體的體積為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知圓柱的上、下底面的中心分別為,,過(guò)直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形,則該圓柱的表面積為_(kāi)_____.14.某種圓柱形的如罐的容積為個(gè)立方單位,當(dāng)它的底面半徑和高的比值為_(kāi)_____.時(shí),可使得所用材料最省.15.的展開(kāi)式中,項(xiàng)的系數(shù)是__________.16.若雙曲線的離心率為,則雙曲線的漸近線方程為_(kāi)_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,為等腰直角三角形,,D為AC上一點(diǎn),將沿BD折起,得到三棱錐,且使得在底面BCD的投影E在線段BC上,連接AE.(1)證明:;(2)若,求二面角的余弦值.18.(12分)在平面四邊形(圖①)中,與均為直角三角形且有公共斜邊,設(shè),∠,∠,將沿折起,構(gòu)成如圖②所示的三棱錐,且使=.(1)求證:平面⊥平面;(2)求二面角的余弦值.19.(12分)[選修4-5:不等式選講]:已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)設(shè),,且的最小值為.若,求的最小值.20.(12分)已知數(shù)列和,前項(xiàng)和為,且,是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且,.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.(12分)已知函數(shù)f(x)=x-1+x+2,記f(x)(Ⅰ)解不等式f(x)≤5;(Ⅱ)若正實(shí)數(shù)a,b滿足1a+122.(10分)在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),若以線段為直徑的圓與軸相切.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程;(2)若上存在兩動(dòng)點(diǎn)(A,B在軸異側(cè))滿足,且的周長(zhǎng)為,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析:由已知,-2a+i=1-bi,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件,有a=-,b=-1所以|a+bi|=,選C考點(diǎn):復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,復(fù)數(shù)相等的充要條件,復(fù)數(shù)的模2、C【解析】
否命題與逆命題是等價(jià)命題,寫(xiě)出①的逆命題,舉反例排除;原命題與逆否命題是等價(jià)命題,寫(xiě)出②的逆否命題后,利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性驗(yàn)證正確;寫(xiě)出③的逆命題判,利用兩直線平行的條件容易判斷③正確.【詳解】①的逆命題為“若,則”,令,可知該命題為假命題,故否命題也為假命題;②的逆否命題為“若且,則”,該命題為真命題,故②為真命題;③的逆命題為“若直線與直線平行,則”,該命題為真命題.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查判斷命題真假.判斷命題真假的思路:(1)判斷一個(gè)命題的真假時(shí),首先要弄清命題的結(jié)構(gòu),即它的條件和結(jié)論分別是什么,然后聯(lián)系其他相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行判斷.(2)當(dāng)一個(gè)命題改寫(xiě)成“若,則”的形式之后,判斷這個(gè)命題真假的方法:①若由“”經(jīng)過(guò)邏輯推理,得出“”,則可判定“若,則”是真命題;②判定“若,則”是假命題,只需舉一反例即可.3、D【解析】
求解的導(dǎo)函數(shù),研究其單調(diào)性,對(duì)任意不相等的正數(shù),構(gòu)造新函數(shù),討論其單調(diào)性即可求解.【詳解】的定義域?yàn)?,,?dāng)時(shí),,故在單調(diào)遞減;不妨設(shè),而,知在單調(diào)遞減,從而對(duì)任意、,恒有,即,,,令,則,原不等式等價(jià)于在單調(diào)遞減,即,從而,因?yàn)?,所以?shí)數(shù)a的取值范圍是故選:D.【點(diǎn)睛】此題考查含參函數(shù)研究單調(diào)性問(wèn)題,根據(jù)參數(shù)范圍化簡(jiǎn)后構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)換為含參恒成立問(wèn)題,屬于一般性題目.4、D【解析】
根據(jù),利用通項(xiàng)公式得到含的項(xiàng)為:,進(jìn)而得到其系數(shù),【詳解】因?yàn)樵?,所以含的?xiàng)為:,所以含的項(xiàng)的系數(shù)是的系數(shù)是,,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式及通項(xiàng)公式和項(xiàng)的系數(shù),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題,5、D【解析】
通過(guò)取特殊值逐項(xiàng)排除即可得到正確結(jié)果.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,?dāng)時(shí),,排除B和C;當(dāng)時(shí),,排除A.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查圖象的判斷,取特殊值排除選項(xiàng)是基本手段,屬中檔題.6、A【解析】
分析函數(shù)的奇偶性,以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號(hào),結(jié)合排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】令,可得,即函數(shù)的定義域?yàn)?,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),,則函數(shù)為奇函數(shù),排除C、D選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,,則,排除B選項(xiàng).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號(hào),考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于中等題.7、D【解析】
直接根據(jù)折線圖依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】由圖可知月收入的極差為,故選項(xiàng)A正確;1至12月份的利潤(rùn)分別為20,30,20,10,30,30,60,40,30,30,50,30,7月份的利潤(rùn)最高,故選項(xiàng)B正確;易求得總利潤(rùn)為380萬(wàn)元,眾數(shù)為30,中位數(shù)為30,故選項(xiàng)C正確,選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了折線圖,意在考查學(xué)生的理解能力和應(yīng)用能力.8、C【解析】
逐一分析選項(xiàng),①根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心判斷;②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性;③先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),若滿足條件,則極值點(diǎn)必在區(qū)間;④利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在給定區(qū)間的最值.【詳解】①為奇函數(shù),其圖象的對(duì)稱(chēng)中心為原點(diǎn),根據(jù)平移知識(shí),函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)中心為,正確.②由題意知.因?yàn)楫?dāng)時(shí),,又,所以在上恒成立,所以函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù),正確.③由題意知,當(dāng)時(shí),,此時(shí)在上為增函數(shù),不合題意,故.令,解得.因?yàn)樵谏喜粏握{(diào),所以在上有解,需,解得,正確.④令,得.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,在上的最大值只可能為或.因?yàn)?,,所以最大值?4,結(jié)論錯(cuò)誤.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值,最值,意在考查基本的判斷方法,屬于基礎(chǔ)題型.9、A【解析】
利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】由復(fù)數(shù)的乘法法則得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成,其中半球的半徑為1,圓錐的母線長(zhǎng)為3,底面半徑為1,計(jì)算得到答案.【詳解】幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成,其中半球的半徑為1,圓錐的母線長(zhǎng)為3,底面半徑為1,故幾何體的表面積為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.11、C【解析】
將點(diǎn)A坐標(biāo)代入雙曲線方程即可求出雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng),進(jìn)而求得離心率.【詳解】將,代入方程得,而雙曲線的半實(shí)軸,所以,得離心率,故選C.【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率的概念,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】
由已知中的三視圖,可知該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐,求出底面面積,代入錐體體積公式,可得答案.【詳解】由已知中的三視圖,可知該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐,其底面面積,高,故體積,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求幾何體的體積,解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設(shè)圓柱的軸截面的邊長(zhǎng)為x,可求得,代入圓柱的表面積公式,即得解【詳解】設(shè)圓柱的軸截面的邊長(zhǎng)為x,則由,得,∴.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱的軸截面和表面積,考查了學(xué)生空間想象,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
設(shè)圓柱的高為,底面半徑為,根據(jù)容積為個(gè)立方單位可得,再列出該圓柱的表面積,利用導(dǎo)數(shù)求出最值,從而進(jìn)一步得到圓柱的底面半徑和高的比值.【詳解】設(shè)圓柱的高為,底面半徑為.∵該圓柱形的如罐的容積為個(gè)立方單位∴,即.∴該圓柱形的表面積為.令,則.令,得;令,得.∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.∴當(dāng)時(shí),取得最小值,即材料最省,此時(shí).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是寫(xiě)出表面積的表示式,再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,屬中檔題.15、240【解析】
利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,令x的指數(shù)等于3,計(jì)算展開(kāi)式中含有項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】由題意得:,只需,可得,代回原式可得,故答案:240.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用,相對(duì)不難.16、【解析】
利用,得到的關(guān)系式,然后代入雙曲線的漸近線方程即可求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線的離心率為,所以,即,因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為,所以雙曲線的漸近線方程為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì);考查運(yùn)算求解能力;熟練掌握雙曲線的幾何性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)由折疊過(guò)程知與平面垂直,得,再取中點(diǎn),可證與平面垂直,得,從而可得線面垂直,再得線線垂直;(2)由已知得為中點(diǎn),以為原點(diǎn),所在直線為軸,在平面內(nèi)過(guò)作的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由已知求出線段長(zhǎng),得出各點(diǎn)坐標(biāo),用平面的法向量計(jì)算二面角的余弦.【詳解】(1)易知與平面垂直,∴,連接,取中點(diǎn),連接,由得,,∴平面,平面,∴,又,∴平面,∴;(2)由,知是中點(diǎn),令,則,由,,∴,解得,故.以為原點(diǎn),所在直線為軸,在平面內(nèi)過(guò)作的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖,則,,,設(shè)平面的法向量為,則,取,則.又易知平面的一個(gè)法向量為,.∴二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查證明線線垂直,考查用空間向量法求二面角.證線線垂直,一般先證線面垂直,而證線面垂直又要證線線垂直,注意線線垂直、線面垂直及面面垂直的轉(zhuǎn)化.求空間角,常用方法就是建立空間直角坐標(biāo)系,用空間向量法求空間角.18、(1)證明見(jiàn)解析;(2)【解析】
(1)取AB的中點(diǎn)O,連接,證得,從而證得C′O⊥平面ABD,再結(jié)合面面垂直的判定定理,即可證得平面⊥平面;(2)以O(shè)為原點(diǎn),AB,OC所在的直線為y軸,z軸,建立的空間直角坐標(biāo)系,求得平面和平面的法向量,利用向量的夾角公式,即可求解.【詳解】(1)取AB的中點(diǎn)O,連接,,在Rt△和Rt△ADB中,AB=2,則=DO=1,又C′D=,所以,即⊥OD,又⊥AB,且AB∩OD=O,平面ABD,所以⊥平面ABD,又C′O?平面,所以平面⊥平面DAB(2)以O(shè)為原點(diǎn),AB,OC所在的直線為y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(0,-1,0),B(0,1,0),C′(0,0,1),,所以,,,設(shè)平面的法向量為=(),則,即,代入坐標(biāo)得,令,得,,所以,設(shè)平面的法向量為=(),則,即,代入坐標(biāo)得,令,得,,所以,所以,所以二面角A-C′D-B的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判定與證明,以及空間角的求解問(wèn)題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力,解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理,通過(guò)嚴(yán)密推理是線面位置關(guān)系判定的關(guān)鍵,同時(shí)對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題,往往可以利用空間向量法,通過(guò)求解平面的法向量,利用向量的夾角公式求解.19、(1)(2)【解析】
(1)當(dāng)時(shí),,原不等式可化為,分類(lèi)討論即可求得不等式的解集;(2)由題意得,的最小值為,所以,由,得,利用基本不等式即可求解其最小值.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,原不等式可化為,①當(dāng)時(shí),不等式①可化為,解得,此時(shí);當(dāng)時(shí),不等式①可化為,解得,此時(shí);當(dāng)時(shí),不等式①可化為,解得,此時(shí),綜上,原不等式的解集為.(2)由題意得,,因?yàn)榈淖钚≈禐?,所以,由,得,所以,?dāng)且僅當(dāng),即,時(shí),的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值不等式問(wèn)題,對(duì)于含絕對(duì)值不等式的解法有兩個(gè)基本方法,一是運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間討論,二是利用絕對(duì)值的幾何意義求解.法一是運(yùn)用分類(lèi)討論思想,法二是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對(duì)值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透,解題時(shí)強(qiáng)化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用,這是命題的新動(dòng)向.20、(1),;(2).【解析】
(1)令求出的值,然后由,得出,然后檢驗(yàn)是否符合在時(shí)的表達(dá)式,即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式,并設(shè)數(shù)列的公比為,根據(jù)題意列出和的方程組,解出這兩個(gè)量,然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出;(2)求出數(shù)列的前項(xiàng)和,然后利用分組求和法可求出.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.也適合上式,所以,.設(shè)數(shù)列的公比為,則,由,兩式相除得,,解得,,;(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,則,.【點(diǎn)睛】本題考查利用求,同時(shí)也考查了等比數(shù)列通項(xiàng)的計(jì)算,以及分組求和法的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.21、(Ⅰ){x|-3≤x≤2}(Ⅱ)見(jiàn)證明【解析】
(Ⅰ)由題意結(jié)合不等式的性質(zhì)零點(diǎn)分段求解不等式的解集即可;(Ⅱ)首先確定m的值,然后利用柯西不
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