上海交大附中2011屆高三上學(xué)期第一次月考(數(shù)學(xué))上海交大附中2011屆高三上學(xué)期第一次月考(數(shù)學(xué))7/7上海交大附中2011屆高三上學(xué)期第一次月考(數(shù)學(xué))上海交大附中2011屆高三上學(xué)期第一次月考（數(shù)學(xué)）一、填空題：本大題共14小題，每題4分，共56分。1．會(huì)合M{y|yx21,xR}，N{x|ylg(4x2)}，則MN(2,1]。解：M(,1]，N(2,2)。2．設(shè)A{x|1x10,xN}，B{x|x22x80,xR}，全集UR，則右圖中陰影表示的會(huì)合中的元素為4。解：B{2,4}，4A。3.有4個(gè)命題：①好多男生愛踢足球；②所有男生都不愛踢足球；③最罕有一個(gè)男生不愛踢足球；④所有女生都愛踢足球。其中是命題“所有男生都愛踢足球”的否認(rèn)命題的是③。4.函數(shù)f(x)x2，則1117。x21f(4)f(3)f(2)f(1)f(2)f(3)f(4)211x21x21解：，f(x)f(x21。f(1)2)x211x211x2x1x2∴f(1)f(1)f(1)f(1)f(2)f(3)f(4)317。432225.不等式(x2)x290的解集為(,3]{3}。x2090x2解：x29或x2x或或x3。03x36．若點(diǎn)(2,4)既在函數(shù)y2axb的圖象上，又在它的反函數(shù)的圖象上，x3則函數(shù)的分析式是y22。解：422ab2ab2a1224ab4ab1b32。7．設(shè)函數(shù)f(x)ax1在區(qū)間(2,)上是增函數(shù)，那么a的取值范圍是[1,)。x2a解：f(x)ax2a22a21a2a21，對(duì)稱中心為(2a,a)。x2ax2a∴2a2102a210a1。2a2a18.若f(x)2x1x1，f1(x)是f(x)的反函數(shù)，則f1(x)log2(x1)1<x12x1。log2x1x1x1解：當(dāng)x1時(shí)，f(x)(2)x11f1(x)log2(x1),1x1；x1時(shí)，f(x)log2x11f1(x)2x1,x1。9．若x1，f(x)(x5)(x2)的最小值是9。x1x27x1044，解：f(x)x1x52(x1)59x11x1x14。即當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)，f(x)的最小值是為9。x1x110.已知偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,)單一增加，則知足f(2x1)f(1)的x取值范圍是(1,2)。333解：f(x)在[0,)上↗，則在(,0]上↘。f(2x1)f(1)12x111x2。3333311．函數(shù)f()lg(xa6),()的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-，9]。xxaR解：①a0，xa6Rf(x)lg(xa6)的值域?yàn)镽；xx②a0，f(x)lg(xa6)的值域?yàn)镽xa6能夠取到所有的正實(shí)數(shù)當(dāng)x0時(shí)，xa6xxx的最小值2a60a9。12.建筑一個(gè)容積為18m3,深為2m的長方形無蓋水池，若是池底和池壁每m2的造價(jià)分別為200元和150元，那么水池的最低造價(jià)為5400元。解：設(shè)水池的長與寬分別為a，b(單位：m)，總造價(jià)為S，2ab18則有2b)]S200ab150[2(2aS1800600(ab)18006002ab5400，abb3時(shí)，總造價(jià)S有最小值為5400。當(dāng)且僅當(dāng)a2ab1813．已知函數(shù)f(x)x|x|pxq,(xR)，給出以下四個(gè)命題：①f(x)為奇函數(shù)的充要條件是q0；②f(x)的圖象對(duì)于點(diǎn)(0,q)對(duì)稱；③當(dāng)p0時(shí)，方程f(x)0的解集必定非空；④方程f(x)0的解的個(gè)數(shù)必定不高出兩個(gè)。其中所有正確命題的序號(hào)是①，②，③。p2p2解：f(x)x2pxqx0(x2)q4x0x2pxqx0f(x)p)2p2。(xqx024由圖像易得①、②正確；當(dāng)p0時(shí)，f(x)x2qx0，f(x)0總有解，③正確；x2qx0當(dāng)p0，q0時(shí)，f(x)x2pxx0的解集為{p,0,p}，④錯(cuò)。x2pxx014．請(qǐng)把以下命題補(bǔ)充圓滿，并使之成為真命題：若函數(shù)f(x)2x3的圖像與函數(shù)g(x)的圖像對(duì)于直線y0對(duì)稱，則函數(shù)g(x)=2x3(填上你認(rèn)為能夠成為真命題的一種情況即可，兩個(gè)空位都填對(duì)，方能得分)。以下兩個(gè)答案供參照：①直線x0；g(x)=2x3；②直線yx；g(x)=3log2x。二、選擇題：本大題共4小題，每題5分，共20分。15.命題“對(duì)隨意的xR，都有x3x210”的否認(rèn)是(C)(A)不存在xR，使得x3x210(B)存在xR，使得x3x210(C)存在xR，使得x3x210(D)對(duì)隨意的xR，都有x3x21016.已知函數(shù)f(x)ax2(bc)x1(a0)是偶函數(shù)，其定義域?yàn)閇ac,b]，則點(diǎn)(a,b)的軌跡是（B）(A)線段(B)直線的一部分(C)點(diǎn)(D)圓錐曲線bc0解：∵偶函數(shù)的定義域?qū)τ谠c(diǎn)對(duì)稱，∴acb0a2b(b>0)，b0點(diǎn)(a,b)的軌跡為x2y0(x0)。17.若不等式x1x2a在R上恒建立，則a的取值范圍（D）(A)一確實(shí)數(shù)(B)(3,3](C)(,3)(D)(,3)解：結(jié)構(gòu)函數(shù)f(x)x1x2，則函數(shù)的值域?yàn)閇3,)。x1118.對(duì)于函數(shù)f(x)x3和實(shí)數(shù)m、n，以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是(B)(22x)(A)若mn，則f(m)f(n)(B)若f(m)f(n)，則m2n2；(C)若f(m)f(n)，則m3n3；(D)上述命題都不正確。(2x1)1x1解：f(x)x3是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，y0，且↗，2x22x1yx30且↗，所以f(x)在[0,)上遞加，在(,0]上遞減?！鄁(m)f(n)|m||n|m2n2。三、解答題：本大題共5題，74分。（本小題滿分12分）命題P：“函數(shù)f(x)2xa在區(qū)間[4,)上遞加”；命題Q：“g(x)log2xa在區(qū)間[4,)2xlog2x上遞加”。若命題P與命題Q有且僅有一個(gè)真，求實(shí)數(shù)a的會(huì)合。解：當(dāng)a0時(shí)，f(x)2xa在區(qū)間[4,)上遞加，2分2x當(dāng)a0時(shí)，2xa2xa，a24a256。2x即當(dāng)aM(,256]時(shí)，P真；5分當(dāng)a0時(shí)，g(x)在區(qū)間[4,)上遞加，7分當(dāng)a0時(shí)，log2xalog2xa，alog242a4。log2x即當(dāng)aN[4,)時(shí)，Q真；10分知足題意的a的會(huì)合為CMN(MN)(4)(256,)。12分(或MNMN(4)(256,)。)（本小題滿分12分，第1小題7分，第2小題5分）甲、乙兩商場同時(shí)促銷原售價(jià)為2000元的某種型號(hào)的彩電，甲商場一律按銷售價(jià)的8折促銷，即按原價(jià)的80%銷售；乙商場按以下方式促銷，買一臺(tái)優(yōu)惠2.5%，買兩臺(tái)優(yōu)惠5%，買三臺(tái)優(yōu)惠7.5%，以此類推，即每多買一臺(tái)，每臺(tái)再優(yōu)惠2.5個(gè)百分點(diǎn)，但每臺(tái)最廉價(jià)不能夠低于1500元，某企業(yè)需購置這種類號(hào)的彩電

x臺(tái)（

x

N*

），若到甲商場購置的開銷為

f(x)

元，到乙商場購置的開銷為

g(x)元。分別求出函數(shù)f(x)、g(x)的關(guān)系式；問去哪家商場購置開銷較少？并說明原因。解：(1)到甲商場購置，易得f(x)20000.8x1600x(xN*)，3分到乙商場購置，按每多買一臺(tái)每臺(tái)多優(yōu)惠2.5個(gè)百分點(diǎn)計(jì)，買x臺(tái)的開銷為2000(10.025x)x，但每臺(tái)．．最廉價(jià)不會(huì)低于1500元，即2000(10.025x)x1500xx10，∴g(x)2000(10.025x)x0x10,xN*。7分1500xx10(2)∵2000(10.025x)x1600xx8，當(dāng)且僅當(dāng)x8時(shí)，等號(hào)建立。10分∴當(dāng)1x7時(shí)，去甲商場；當(dāng)x8時(shí)，甲乙都可；當(dāng)x9時(shí)，去乙商場。12分（本小題滿分14分，第1小題6分，第2小題8分）已知正數(shù)a、b、c知足abc1，(1)求證：13a113b113c119；2(2)求13a113b113c1的最大值。解：(1)13a113b113c1113a1113b1113c1113a1113a1113a1613(abc)19。3分22222∵abc1且113a113b113c1不能夠同時(shí)建立，5分∴13a113b113c119。6分2(2)∵(13a113b113c1)213a113b113c1213a113b1213a113c1213b113c113(abc)3(13a113b1)(13a113c1)(13b113c1)13(abc)32[13(abc)3]]4810分當(dāng)且僅當(dāng)13a113b113c1abc1時(shí)，等號(hào)獲取，12分3∴當(dāng)且僅當(dāng)abc1時(shí)，13a113b113c1的最大值為43。14分3【說明】如學(xué)生先解出(2)再證明(1)正確，也算對(duì)。22.(本小題滿分18分，第1小題4分，第2小題8分，第3小題6分)已知函數(shù)f(x)x21ax，其中a0。若2f(1)f(1)，求a的值；證明：當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,)上為單一函數(shù)，并指出是增仍是減；(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,)上是增函數(shù)，求a的取值范圍。解：(1)由2f(1)f(1)，可得：222a2a，得a2分43(2)任取x1,x2[0,)，令0f(x1)f(x2)x121ax1x22x12x22a(x1x2)(x1=1x221x12因?yàn)?x1x121，0x2x22

x1x21ax2x121x221a(x1x2)x2)(x1x2a)61x22x1211，所以0x1x218x21x2112

分分若a1，則f(x1)f(x2)0，f(x)在[0,)單一遞減。10綜上所述，當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)在x[0,)為單一減函數(shù)。

分(3)任取1x1x2，f(x1)f(x2)(x1x2)(x12

x1x2a)，1x221因?yàn)閒(x)單一遞加，所以那么必定x1x2x121x22∵1x1x22x12x12相加得2(x1x2)x12

f(x1)f(x2)0，又x1x20恒建立11，2x22x221，∴2x112x1x2x21x22x121

0，14x121，2x2x221，21612

分分2。18分所以0a223.（本小題滿分18分，第1小題6分，第2小題6分，第3小題6分）已知函數(shù)f(x)是定義在[2,2]上的奇函數(shù)，當(dāng)x[2,0)時(shí)，f(x)tx1x3（t為常數(shù)）。2求函數(shù)f(x)的分析式；(2)當(dāng)t[2,6]時(shí)，求f(x)在2,0上的最小值，及獲取最小值時(shí)的x，并猜想f(x)在[0,2]上的單一遞增區(qū)間（不用證明）；(3)當(dāng)t9時(shí)，證明：函數(shù)yf(x)的圖象上最罕有一個(gè)點(diǎn)落在直線y14上。解：(1)x(0,2]時(shí)，x[2,0)，則f(x)t(x)1(x)3tx1x3∵函數(shù)f(x)是定義在[2,2]上的奇函數(shù)，即f(x)f(x)22∴f(x)tx1x3，即f(x)tx1x3，3分22又可知f(0)0。4分∴函數(shù)f(x)的分析式為f(x)tx13,x[2,2]；6分2x(2)f(x)x(t1x2)，∵t[2,6]，x[2,0]，∴t1x20f(x)0。221x2t1x2t1x28t3∵[f(x)]2x2(t2)222)39分x(3272∴x212，即22t6t(6t[2,0])，t2xx3,x33[f(x)]max28t3fmin26t