吉林省長(zhǎng)春市市第二朝鮮族中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△中，角的對(duì)邊分別為，若，則的值為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A2.已知函數(shù)f（x）=，則方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）（注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）A．（0，） B．[，] C．（0，） D．[，e]參考答案：B【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用．【專(zhuān)題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由題意，方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，等價(jià)于y=f（x）與y=ax有2個(gè)交點(diǎn)，又a表示直線(xiàn)y=ax的斜率，求出a的取值范圍．【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，∴y=f（x）與y=ax有2個(gè)交點(diǎn)，又∵a表示直線(xiàn)y=ax的斜率，∴y′=，設(shè)切點(diǎn)為（x0，y0），k=，∴切線(xiàn)方程為y﹣y0=（x﹣x0），而切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，∴y0=1，x0=e，k=，∴直線(xiàn)l1的斜率為，又∵直線(xiàn)l2與y=x+1平行，∴直線(xiàn)l2的斜率為，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[，）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合圖象，以及函數(shù)與方程的關(guān)系，進(jìn)行解答，是易錯(cuò)題．3.已知是圓：上的兩個(gè)點(diǎn)，是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，則的最大值是（

）

A.-1

B.0

C.

D.參考答案：c略4.已知（其中為正數(shù)），若，則的最小值是

A．2

B．

C．

D．8參考答案：C5.若，則的值為（

）

A.

B.

C.

D.

參考答案：B略6.．將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的左視圖為()參考答案：D略7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的s值為（[x]表示不超過(guò)×的最大整數(shù)）(

)(A)4

(B)5

(C)7

(D)9參考答案：C8.過(guò)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，延長(zhǎng)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，為原點(diǎn)，若，則雙曲線(xiàn)的離心率為A．

B．

C．

D．參考答案：B略9.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，所得的函數(shù)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則的一個(gè)可能取值為（

）A．

B．

C．0

D．參考答案：B考點(diǎn)：y=Asin（ωx+φ）的圖象變換10.設(shè)x，y滿(mǎn)足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)的最小值為2，則的最大值為

A．1

B．

C．

D．參考答案：D由得，可知斜率為，作出可行域如圖，由圖象可知當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)D時(shí)，直線(xiàn)的截距最小，此時(shí)最小為2.由得，即，代入直線(xiàn)得，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知，則=

參考答案：12.點(diǎn)A，B，C，D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若球的表面積為，則四面體ABCD體積的最大值為．參考答案：【考點(diǎn)】球的體積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【專(zhuān)題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】根據(jù)幾何體的特征，判定外接球的球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積．【解答】解：根據(jù)題意知，△ABC是一個(gè)直角三角形，其面積為1．其所在球的小圓的圓心在斜邊AC的中點(diǎn)上，設(shè)小圓的圓心為Q，球的半徑為r，因?yàn)榍虻谋砻娣e為，所以4πr2=所以r=，四面體ABCD的體積的最大值，底面積S△ABC不變，高最大時(shí)體積最大，就是D到底面ABC距離最大值時(shí)，h=r+=2．四面體ABCD體積的最大值為×S△ABC×h==，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時(shí)四面體ABCD的體積的最大值，是解答的關(guān)鍵．13.設(shè)，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線(xiàn)交于點(diǎn)P，則。參考答案：略14.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

．參考答案：16；15.已知點(diǎn)A(－2,0),B(0,2),若點(diǎn)M是圓x2+y2－2x+2y=0上的動(dòng)點(diǎn),則△ABM面積的最小值為

.參考答案：2本題考查直線(xiàn)與圓位置關(guān)系.將圓化簡(jiǎn)成標(biāo)準(zhǔn)方程圓心,半徑因?yàn)?所以要求面積最小值,即要使圓上的動(dòng)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最小而圓心到直線(xiàn)的距離為所以所以的最小值為16.用數(shù)字1，2，3，4，5，6組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中個(gè)位、十位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有

個(gè)（用數(shù)字作答）參考答案：324

17.已知全集，在中任取四個(gè)元素組成的集合記為，余下的四個(gè)元素組成的集合記為，若，則集合的取法共有

種.參考答案：31略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，且過(guò)點(diǎn)（﹣1，），橢圓C的右焦點(diǎn)為A，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0）．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）已知縱坐標(biāo)不同的兩點(diǎn)P，Q為橢圓C上的兩個(gè)點(diǎn)，且B、P、Q三點(diǎn)共線(xiàn)，線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)為R，求直線(xiàn)AR的斜率的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）由橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)（﹣1，），列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．（Ⅱ）依題意直線(xiàn)PQ過(guò)點(diǎn)（，0），且斜率不為0，設(shè)其方程為x=my+，聯(lián)立，得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0，由此利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合已知條件能求出直線(xiàn)AR的斜率的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）∵橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，且過(guò)點(diǎn)（﹣1，），∴，解得a=2，b=，∴橢圓C的方程為．（Ⅱ）依題意直線(xiàn)PQ過(guò)點(diǎn)（，0），且斜率不為0，故可設(shè)其方程為x=my+，聯(lián)立，消去x，得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0，設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x0，y0），直線(xiàn)AR的斜率為k，故，，∴，∴k=，當(dāng)m=0時(shí)，k=0，當(dāng)m≠0時(shí)，k=，故|4m+|=4|m|+，∴0＜≤，∴0＜|k|，∴﹣，且k≠0，綜上所述，直線(xiàn)AR的斜率的取值范圍是[﹣]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的求法，考查直線(xiàn)斜率的取值范圍的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想，是中檔題．19.（本小題滿(mǎn)分12分）某市規(guī)定，高中學(xué)生在校期間須參加不少于80小時(shí)的社區(qū)服務(wù)才合格．某校隨機(jī)抽取20位學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù)，按時(shí)間段（單位：小時(shí)）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生人數(shù)；（Ⅱ）從參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生中任意選取2人，求所選學(xué)生的參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間在同一時(shí)間段內(nèi)的概率．參考答案：（Ⅰ）由題意可知，參加社區(qū)服務(wù)在時(shí)間段的學(xué)生人數(shù)為（人），參加社區(qū)服務(wù)在時(shí)間段的學(xué)生人數(shù)為（人）．所以參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于90小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為（人）．（Ⅱ）設(shè)所選學(xué)生的服務(wù)時(shí)間在同一時(shí)間段內(nèi)為事件．由（Ⅰ）可知，參加社區(qū)服務(wù)在時(shí)間段的學(xué)生有4人，記為；參加社區(qū)服務(wù)在時(shí)間段的學(xué)生有2人，記為．

從這6人中任意選取2人有共15種情況．

事件包括共7種情況．

所以所選學(xué)生的服務(wù)時(shí)間在同一時(shí)間段內(nèi)的概率．20.（本小題滿(mǎn)分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓()的離心率為，其焦點(diǎn)在圓上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)、、是橢圓上的三點(diǎn)(異于橢圓頂點(diǎn))，且存在銳角，使．(i)求證：直線(xiàn)與的斜率之積為定值；(ii)求．參考答案：解：(1)依題意，得

c=1．于是，a=，b=1．

………………2分所以所求橢圓的方程為．……………4分(2)(i)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①，②．又設(shè)M(x，y)，因，故

…………7分因M在橢圓上，故．整理得．將①②代入上式，并注意，得

．所以，為定值．………………10分(ii)，故．又，故．所以，OA2+OB2==3．

………14分略21.（本小題滿(mǎn)分13分）已知函數(shù)f(x)=alnx+bx,且f(1)=-1，f′(1)=0，⑴求f(x)；⑵求f(x)的最大值；⑶若x>0,y>0,證明：lnx+lny≤.參考答案：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的基本知識(shí)、函數(shù)性質(zhì)的處理以及不等式的綜合問(wèn)題，同時(shí)考查考生用函數(shù)放縮的方法證明不等式的能力．解：⑴由b=f(1)=-1,f′(1)=a+b=0,∴a=1,∴f(x)=lnx-x為所求；……………⑵∵x>0,f′(x)=-1=,x0<x<1x=1x>1f′(x)+0-f(x)↗極大值↘

∴f(x)在x=1處取得極大值-1，即所求最大值為-1；……………⑶由⑵得lnx≤x-1恒成立，∴l(xiāng)nx+l