Gh材料力學(xué)(cáiliàolìxué)彎曲變形第一頁，共69頁。彎曲(wānqū)變形的概念積分法求梁的變形(biànxíng)疊加法計(jì)算梁的撓度(náodù)和轉(zhuǎn)角

簡(jiǎn)單超靜定梁本章內(nèi)容小結(jié)本章根本要求背景材料第二頁，共69頁。背景材料零件變形(biànxíng)過大將使加工精度受到影響。第三頁，共69頁。機(jī)架變形過大將使加工(jiāgōng)無法正常進(jìn)行。第四頁，共69頁。有的情況下應(yīng)該防止構(gòu)件產(chǎn)生過大的變形，有的情況下那么(nàme)可以利用構(gòu)件的變形。第五頁，共69頁。能正確(zhèngquè)應(yīng)用積分法求梁的撓度曲線函數(shù)。能正確熟練地利用(lìyòng)疊加法計(jì)算梁中指定截面的廣義位移。掌握(zhǎngwò)彎曲超靜定問題的分析方法。本章基本要求第六頁，共69頁。撓度(náodù)(deflection)w=w(x)轉(zhuǎn)角以x軸正向(zhènɡxiànɡ)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正。撓度(náodù)以y軸正向?yàn)檎?。?shù)學(xué)工具箱xyo變形前位置xyo變形后位置變形前位置xyoxyw(x)oxxyw(x)ox

(x)xyw(x)oxdxdw

(x)7.1彎曲變形的概念轉(zhuǎn)角(slope)

1.

撓度與轉(zhuǎn)角第七頁，共69頁。撓度(náodù)(deflection)w=w(x)轉(zhuǎn)角(zhuǎnjiǎo)以x軸正向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正。撓度(náodù)以y軸正向?yàn)檎yo變形前位置xyo變形后位置變形前位置xyoxyw(x)oxxyw(x)ox

(x)xyw(x)oxdxdw

(x)7.1彎曲變形的概念轉(zhuǎn)角(slope)

1.

撓度與轉(zhuǎn)角注意

在彈性范圍內(nèi)，梁的撓度曲線必定是連續(xù)光滑的曲線。第八頁，共69頁。撓度(náodù)(deflection)w=w(x)轉(zhuǎn)角以x軸正向(zhènɡxiànɡ)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正。撓度(náodù)以y軸正向?yàn)檎?。xyo變形前位置xyo變形后位置變形前位置xyoxyw(x)oxxyw(x)ox

(x)xyw(x)oxdxdw

(x)7.1彎曲變形的概念轉(zhuǎn)角(slope)

1.

撓度與轉(zhuǎn)角注意在梁的彎曲變形中，梁軸線各點(diǎn)的軸向位移比橫向位移〔撓度〕要小很多，因此一般不予考慮。第九頁，共69頁。曲率(qūlǜ)計(jì)算公式當(dāng)時(shí)，曲線為凸形。xyo數(shù)學(xué)工具箱2.中性層曲率(qūlǜ)與彎矩的關(guān)系當(dāng)時(shí)，曲線為凹形?？梢岳?lìyòng)這個(gè)式子判斷撓度曲線的大致形狀。第十頁，共69頁。2.中性(zhōngxìng)層曲率與彎矩的關(guān)系xMq可以利用這個(gè)式子判斷撓度曲線的大致(dàzhì)形狀。q凸曲線凹曲線注意(zhùyì)判斷撓度曲線的形狀時(shí)應(yīng)注意(zhùyì)梁的約束條件。第十一頁，共69頁。LLLmmmmmmmmmm分析(fēnxī)和討論哪一種撓度曲線是正確的？第十二頁，共69頁。LLLPLPPLPPLP分析和討論哪一種撓度曲線(qūxiàn)是正確的？PLP直線PLP直線第十三頁，共69頁。LLLmmmmmmmm分析和討論哪一種撓度(náodù)曲線是正確的？直線mm直線第十四頁，共69頁。分析(fēnxī)和討論哪一種撓度曲線是正確的？aaPPPPP第十五頁，共69頁。分析和討論哪一種(yīzhǒnɡ)撓度曲線是正確的？PaaPPPP第十六頁，共69頁。例當(dāng)P至少為多大時(shí)，才可能使梁的根部與圓柱外表產(chǎn)生貼合(tiēhé)？當(dāng)P足夠大，使梁己經(jīng)與圓柱面貼合(tiēhé)，試根據(jù)P決定貼合(tiēhé)的長(zhǎng)度。至少應(yīng)使梁根部撓曲線的曲率半徑與R相同，才可能(kěnéng)產(chǎn)生貼合。若在C

處REIPLLRPEICx第十七頁，共69頁。3.撓度(náodù)微分方程EI

：抗彎剛度

(bendingstiffness)等截面梁中撓度(náodù)各階導(dǎo)數(shù)的意義：xyw(x)ox

(x)曲率(qūlǜ)的符號(hào)規(guī)定與彎矩相同。重要公式)()(xwE

IxM￠￠=第十八頁，共69頁。7.2積分法求梁的撓度(náodù)EI是常數(shù)(chángshù)7.2.1彎矩方程積分(jīfēn)的一般方法撓曲線微分方程積分一次再積分一次積分常數(shù)由約束條件確定第十九頁，共69頁。當(dāng)彎矩方程為分段函數(shù)時(shí)，那么應(yīng)分段積分(jīfēn)，分段點(diǎn)存在光滑連接條件在分段點(diǎn)處：撓度(náodù)是連續(xù)的：撓度(náodù)是光滑的：aFL簡(jiǎn)支端處撓度為零。固定端處撓度為零，轉(zhuǎn)角為零。aFLaFLaFLaFLw(a

+)w(a

–)aFL(a

–)(a

+)第二十頁，共69頁。Lqxy例求圖示梁的撓度(náodù)曲線。qLqL2/

2x彎矩轉(zhuǎn)角(zhuǎnjiǎo)撓度(náodù)邊界條件第二十一頁，共69頁。適于用積分法求梁的撓度曲線(qūxiàn)的情況1)單個(gè)梁2)等截面(jiémiàn)梁qEI非等截面(jiémiàn)梁的撓度曲線方程應(yīng)分段建立。非單梁的撓度曲線方程應(yīng)分段建立。qqqEI2EI第二十二頁，共69頁。例懸臂梁未加載時(shí)為微彎曲線。今有移動(dòng)(yídòng)荷載F的作用，假設(shè)要使F力作用點(diǎn)始終保持在水平線上，求初始曲線方程。微彎梁的撓度(náodù)仍可按直梁計(jì)算。故有FFFFFFFxy(x)設(shè)初始(chūshǐ)曲線方程為y(x)。F

作用而產(chǎn)生的撓度為由題設(shè)w(x)Fx第二十三頁，共69頁。q2qaaa分析和討論哪一種撓度曲線(qūxiàn)是正確的？第二十四頁，共69頁。qaa分析和討論哪一種撓度(náodù)曲線是正確的？第二十五頁，共69頁。q2qaaa分析和討論哪一種撓度曲線(qūxiàn)是正確的？第二十六頁，共69頁。q2qaaaq2qaaaqaa分析(fēnxī)和討論如果下面三種梁截面一樣，它們(tāmen)的應(yīng)力情況一樣嗎？第二十七頁，共69頁。公式(gōngshì)是對(duì)的，結(jié)論是錯(cuò)的。結(jié)論(jiélùn)是對(duì)的，公式是錯(cuò)的。公式是精確(jīngquè)的，結(jié)論是近似的。結(jié)論是精確的，公式是近似的。分析和討論如何把兩者統(tǒng)一起來？對(duì)于如圖的結(jié)構(gòu)，有人認(rèn)為，梁中彎矩處處相等，故撓度曲線的曲率處處相等，故有結(jié)論：撓度曲線為圓弧。但這一結(jié)論與書上的公式不吻合。對(duì)于這種矛盾，正確的理解是：對(duì)于如圖的結(jié)構(gòu)，有人認(rèn)為，梁中彎矩處處相等，故撓度曲線的曲率處處相等，故有結(jié)論：撓度曲線為圓弧。但這一結(jié)論與書上的公式不吻合。對(duì)于這種矛盾，正確的理解是：對(duì)于如圖的結(jié)構(gòu)，有人認(rèn)為，梁中彎矩處處相等，故撓度曲線的曲率處處相等，故有結(jié)論：撓度曲線為圓弧。但這一結(jié)論與書上的公式不吻合。對(duì)于這種矛盾，正確的理解是：mEI第二十八頁，共69頁。分析(fēnxī)和討論mEIR對(duì)于如圖的結(jié)構(gòu)，有人(yǒurén)認(rèn)為，梁中彎矩處處相等，故撓度曲線的曲率處處相等，故有結(jié)論：撓度曲線為圓弧。但這一結(jié)論與書上的公式不吻合。對(duì)于這種矛盾，正確的理解是：高階小量第二十九頁，共69頁。a/

24qaA2EI2aB3qa2EI求B點(diǎn)轉(zhuǎn)角(zhuǎnjiǎo)7.3疊加法計(jì)算梁的撓度(náodù)和轉(zhuǎn)角動(dòng)腦又動(dòng)筆(dònɡbǐ)求A點(diǎn)撓度aa2qaAEI求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角利用已有結(jié)果計(jì)算：2aB3qa2EIa/

24qaA2EI第三十頁，共69頁。BAFa

2a

2BAFa

2a

2Aaa3qa2EIAaa3qa2EI動(dòng)腦又動(dòng)筆利用已有結(jié)果計(jì)算：求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角(zhuǎnjiǎo)例求圖示自由端的(duāndì)撓度。w1w2第三十一頁，共69頁。1.荷載的分解(fēnjiě)或重組疊加法的常用(chánɡyònɡ)手法依據(jù)：若荷載A在K點(diǎn)引起的（廣義）位移為a，荷載B在K點(diǎn)引起的同類位移為b，則荷載（A+B）在K點(diǎn)引起的位移為a+b。依據(jù)：若荷載A在K點(diǎn)引起的（廣義）位移為a，荷載B在K點(diǎn)引起的同類位移為b，則荷載（A+B）在K點(diǎn)引起的位移為a+b。依據(jù)：若荷載A在K點(diǎn)引起的（廣義）位移為a，荷載B在K點(diǎn)引起的同類位移為b，則荷載（A+B）在K點(diǎn)引起的位移為a

+

b。疊加原理(yuánlǐ)在處于穩(wěn)定狀態(tài)的線彈性小變形桿件中，內(nèi)力、變形量、應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)于外荷載均滿足疊加原理。KAaKBbKABab第三十二頁，共69頁。EIq0AL2L2例求圖示自由端的(duāndì)撓度。w

1Lq0q0L2L2w

2w

3BL2L2第三十三頁，共69頁。FAEIaa/2CBFABCwC點(diǎn)的撓度，是由AB段變形(biànxíng)的影響和BC段變形(biànxíng)的影響共同構(gòu)成的。FABCw1FABC變形體剛體w1FABCFFa2w1FABCw1FABCw1w2FABCw1w2FABC剛體變形體w1w2FAw2BCFABCw依據(jù)：假設(shè)結(jié)構(gòu)可分為假設(shè)干部份，且各部份在荷載作用下的變形不是相互獨(dú)立的，那么，結(jié)構(gòu)中A點(diǎn)的位移是各個(gè)(gègè)部份在這一荷載作用下的變形在A點(diǎn)所引起的位移的疊加。2.逐段剛化法第三十四頁，共69頁。AFEIEIaa注意：在剛架中，由構(gòu)件軸向拉壓所引起的變形量往往比彎曲(wānqū)所引起的變形量小很多，因此一般可以忽略不計(jì)。AFvAAFv1AFv1剛體變形體AFv2AF變形體剛體v2AFvA例求圖示A端的(duāndì)豎向位移。分析(fēnxī)和討論豎梁壓縮對(duì)A端豎向位移的奉獻(xiàn)有多大？豎梁壓縮量豎梁彎曲的奉獻(xiàn)兩者之比以圓桿為例第三十五頁，共69頁。aa/4qEIAw3例求如圖外伸梁A點(diǎn)的豎向位移(wèiyí)。w1

1w

2

2第三十六頁，共69頁。aa/4qEIA例求如圖外伸梁A點(diǎn)的豎向位移(wèiyí)。w1

1w

2

2w3第三十七頁，共69頁。動(dòng)腦又動(dòng)筆利用已有結(jié)果計(jì)算A點(diǎn)撓度。aa/

2mEIAaa/

2mEIAaa/

2mEIA第三十八頁，共69頁。例求圖示結(jié)構(gòu)(jiégòu)中A點(diǎn)的豎向位移。LLLEAEIEIPA第三十九頁，共69頁。LLLEAEIEIPA例求圖示結(jié)構(gòu)(jiégòu)中A點(diǎn)的豎向位移。w2w3w1u1PPP第四十頁，共69頁。例求C點(diǎn)豎向位移(wèiyí)v。PLaABCPTTTTTw2PPPPw1PPPPPw3第四十一頁，共69頁。3.利用結(jié)構(gòu)、荷載和變形特點(diǎn)建立(jiànlì)簡(jiǎn)化計(jì)算模型利用(lìyòng)結(jié)構(gòu)、荷載對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算對(duì)稱結(jié)構(gòu)承受(chéngshòu)對(duì)稱荷載情況對(duì)稱面〔點(diǎn)〕上剪力、扭矩為零變形對(duì)稱內(nèi)力對(duì)稱對(duì)稱面〔點(diǎn)〕上轉(zhuǎn)角為零對(duì)稱面〔點(diǎn)〕上軸力、彎矩一般不為零對(duì)稱面〔點(diǎn)〕上垂直于對(duì)稱軸的位移為零對(duì)稱面〔點(diǎn)〕上沿對(duì)稱軸的位移一般不為零第四十二頁，共69頁。3.利用結(jié)構(gòu)、荷載和變形特點(diǎn)(tèdiǎn)建立簡(jiǎn)化計(jì)算模型利用結(jié)構(gòu)、荷載對(duì)稱性簡(jiǎn)化(jiǎnhuà)計(jì)算對(duì)稱面〔點(diǎn)〕上剪力、扭矩一般(yībān)不為零變形反對(duì)稱內(nèi)力反對(duì)稱對(duì)稱面〔點(diǎn)〕上轉(zhuǎn)角一般不為零對(duì)稱面〔點(diǎn)〕上軸力、彎矩為零對(duì)稱面〔點(diǎn)〕上沿對(duì)稱軸的位移為零對(duì)稱結(jié)構(gòu)承受反對(duì)稱荷載情況對(duì)稱面〔點(diǎn)〕上垂直于對(duì)稱軸的位移一般不為零第四十三頁，共69頁。aqEIaaa例求圖示簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處的豎向位移(wèiyí)w。梁的變形(biànxíng)如圖。aqEIaaa根據(jù)梁的對(duì)稱性，其中(qízhōng)點(diǎn)處的豎向位移與圖示懸臂梁自由端處的位移w相等。aqEIaaaqaqaqEIaaqawqEIaaqawaw1aw2aqaw3a第四十四頁，共69頁。例求圖示簡(jiǎn)支梁中點(diǎn)處的豎向位移(wèiyí)w。結(jié)構(gòu)(jiégòu)的荷載等同于圖示兩種荷載的組合q2q2q2qEIL2L2q2q2q2第四十五頁，共69頁。例畫剛架各部的抗彎剛度(ɡānɡdù)為EI，求AB兩點(diǎn)間的相對(duì)位移。AFFBaaa由于結(jié)構(gòu)對(duì)稱而荷載反對(duì)(fǎnduì)稱，結(jié)構(gòu)下梁中點(diǎn)處彎矩為零，但剪力不為零。這樣結(jié)構(gòu)便可只考慮其一半，并簡(jiǎn)化如圖：AFF這一半的結(jié)構(gòu)上下對(duì)稱，因此(yīncǐ)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化。AB兩點(diǎn)間的相對(duì)位移為AFAFAF第四十六頁，共69頁。分析(fēnxī)和討論在以下不同的加載方式(fāngshì)中，哪一種剛度最高？L/

3qLL/

3L/

3qLL/

2L/

2Lq第四十七頁，共69頁。分析(fēnxī)和討論分析(fēnxī)和討論在以下(yǐxià)不同的支承方式中，哪一種剛度最高？qqq第四十八頁，共69頁。分析(fēnxī)和討論梁由混凝土材料(cáiliào)制成，如果橫截面從左圖改為右圖，能夠改善強(qiáng)度嗎？梁的材料由普通鋼改為優(yōu)質(zhì)鋼，能夠(nénggòu)改善強(qiáng)度嗎？能夠改善剛度嗎？梁的材料由普通鋼改為優(yōu)質(zhì)鋼，能夠改善剛度嗎？q第四十九頁，共69頁。7.4簡(jiǎn)單(jiǎndān)超靜定梁第五十頁，共69頁。qLB3qL/

8qL2/

85qL/

8例畫出如圖結(jié)構(gòu)(jiégòu)的剪力彎矩圖。xFS3qL/

85qL/

8xMqL2/

89qL2/

128wqRwRqB第五十一頁，共69頁。求解超靜定梁?jiǎn)栴}(wèntí)的步驟1)將某個(gè)約束(yuēshù)確定為“多余〞約束(yuēshù)，解除這個(gè)約束(yuēshù)，使結(jié)構(gòu)成為靜定結(jié)構(gòu)〔稱為靜定基〕，并將所解除的約束(yuēshù)用“多余約束(yuēshù)力〞代替。2)在靜定基上，分別(fēnbié)求出原荷載和“多余約束力〞在解除約束處的撓度或轉(zhuǎn)角。3)根據(jù)解除約束處的實(shí)際位移情況建立協(xié)調(diào)方程，并從這個(gè)方程中求出“多余約束力〞。第五十二頁，共69頁。qLB靜定結(jié)構(gòu)(jiégòu)的選擇不是唯一的R3qL/

8qL2/

85qL/

8mAAmAqBmA第五十三頁，共69頁。例畫出如圖結(jié)構(gòu)(jiégòu)的剪力彎矩圖。左梁右梁協(xié)調(diào)(xiétiáo)條件故有FSxqL/87qL/8LLqEI2EILLqEI2EIRRqL/8qL2

/87qL/83qL2

/8xM3qL2/8qL2/8qL2/128第五十四頁，共69頁。如圖的兩個(gè)(liǎnɡɡè)長(zhǎng)度均為a的簡(jiǎn)支梁在中點(diǎn)垂直相交。求中點(diǎn)的撓度。動(dòng)腦又動(dòng)筆(dònɡbǐ)a2a2FEI2EI第五十五頁，共69頁。aaEIEIEAaqACB例

求圖示

A處的支反力。B處位移(wèiyí)BC的變形(biànxíng)量EIqCREIABREACBaRACBwCwB設(shè)BC桿對(duì)簡(jiǎn)支梁的支撐力為RBC桿的支撐(zhīchēng)使結(jié)構(gòu)成為超靜定假設(shè)BC桿為剛性桿，協(xié)調(diào)條件如何表達(dá)？ACBwBwCC

處位移

BC桿為彈性桿，協(xié)調(diào)條件如何表達(dá)？第五十六頁，共69頁。ACBwBwCa協(xié)調(diào)(xiétiáo)條件A處支反力支反力偶矩例

求圖示

A處的支反力。AFmCBwBwC第五十七頁，共69頁。三次(sāncì)超靜定問題L/

2L/

2PL/

2L/

2PmL/

2L/

2PmRmAmm無軸向力：二次超靜定問題利用(lìyòng)對(duì)稱性：一次超靜定問題第五十八頁，共69頁。由于(yóuyú)對(duì)稱性，設(shè)兩端的支反力偶矩均為m。E=10GPaI=2.8107mm4L=5.5m例體重(tǐzhòng)為450N的運(yùn)發(fā)動(dòng)位于平衡木中點(diǎn)處，求平衡木中的最大位移。取簡(jiǎn)支梁為靜定(jìnɡdìnɡ)基。協(xié)調(diào)條件最大位移在中點(diǎn)處L/

2L/

2PAPPmAmm第五十九頁，共69頁。由于對(duì)稱性，可以只考慮(kǎolǜ)一半。E=10GPaI=2.8107mm4L=5.5m例體重為450N的運(yùn)發(fā)動(dòng)位于(wèiyú)平衡木中點(diǎn)處，求平衡木中的最大位移。L/

2L/

2PL/

2P/

2L/

2P/

2mL/

2P/

2mP/

2–m+PL/4第六十頁，共69頁。BqaaACEIq/

2q/

2q/

2例求圖示結(jié)構(gòu)(jiégòu)C點(diǎn)撓度。圖示的情況(qíngkuàng)可視為下述兩種情況(qíngkuàng)的合成。由于(yóuyú)反對(duì)稱性，圖示第二種情況中，C點(diǎn)撓度為零。因此原結(jié)構(gòu)中C點(diǎn)的撓度與笫一種情況下C點(diǎn)的撓度相等。由于對(duì)稱性，可只考慮一半。q/

2q/

2m設(shè)左半部自由端力偶矩為

m。第六十一頁，共69頁。BqaaACEIq/

2m由C點(diǎn)轉(zhuǎn)角(zhuǎnjiǎo)為零可得由此可得C點(diǎn)撓度(náodù)q/

2第六十二頁，共69頁