動態(tài)幾何定值問題【考題研究】數(shù)學(xué)因運動而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化而精彩紛呈。動態(tài)題是近年來中考的的一個熱點問題，以運動的觀點探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，稱之為動態(tài)幾何問題，隨之產(chǎn)生的動態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運動中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性的試題，就其運動對象而言，有點動、線動、面動三大類，就其運動形式而言，有軸對稱（翻折）、平移、旋轉(zhuǎn)（中心對稱、滾動）等，就問題類型而言，有函數(shù)關(guān)系和圖象問題、面積問題、最值問題、和差問題、定值問題和存在性問題等。解這類題目要“以靜制動”，即把動態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)問題來解，而靜態(tài)問題又是動態(tài)問題的特殊情況。以動態(tài)幾何問題為基架而精心設(shè)計的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射。【解題攻略】動態(tài)幾何形成的定值和恒等問題是動態(tài)幾何中的常見問題，其考點包括線段（和差）為定值問題；角度（和差）為定值問題；面積（和差）為定值問題；其它定值問題。解答動態(tài)幾何定值問題的方法，一般有兩種：第一種是分兩步完成：先探求定值.它要用題中固有的幾何量表示.再證明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把動點放在特殊的位置，找出定值的表達式，然后寫出證明.第二種是采用綜合法，直接寫出證明.【解題類型及其思路】在中考中，動態(tài)幾何形成的定值和恒等問題命題形式主要為解答題。在中考壓軸題中，動態(tài)幾何之定值（恒等）問題的重點是線段（和差）為定值問題，問題的難點在于準(zhǔn)確應(yīng)用適當(dāng)?shù)亩ɡ砗头椒ㄟM行探究【典例指引】類型一【線段及線段的和差為定值】【典例指引1】已知:△ABC是等腰直角三角形,ZBAC=90。,將厶ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C,記旋轉(zhuǎn)角為a當(dāng)9O°VaV180°時，作A?丄AC,垂足為D,AD與BfC交于點E.B如圖1,當(dāng)ZCAD=15。時，作ZAKC的平分線EF交BC于點F.寫出旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)；求證：EA4EC=EF；如圖2,在(1)的條件下，設(shè)P是直線AD上的一個動點，連接PA,PF,若AB=J2,求線段PA+PF的最小值.(結(jié)果保留根號)【舉一反三】如圖(1),已知NMON=90，點P為射線ON上一點，且OP=4,b、C為射線OM和ON上的兩個動點(OC>OP),過點p作PA丄BC，垂足為點A,且PA=2，聯(lián)結(jié)BP.S1(1)若SAPAC=2時，求tanZBPO的值；四邊形ABOPAB⑵設(shè)PC=x,二y求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；BC(3)如圖(2),過點A作BP的垂線，垂足為點H，交射線ON于點Q，點B、C在射線OM和ON上運動時，探索線段OQ的長是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，求出它的值。若發(fā)生變化，試用含x的代數(shù)式表示OQ的長．類型二【線段的積或商為定值】【典例指引2】如圖①，矩形ABCD中，AB=2,BC=5,BP=1,ZMPN二900,將ZMPN繞點P從pb處開始按順時針方向旋轉(zhuǎn)，PM交邊AB(或AD)于點E,PN交邊AD(或CD)于點F?當(dāng)PN旋轉(zhuǎn)至PC處時，ZMPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止.特殊情形：如圖②，發(fā)現(xiàn)當(dāng)PM過點A時，PN也恰好過點D，此時AABP是否與APCD相似？并說明理由；PE類比探究：如圖③，在旋轉(zhuǎn)過程中，養(yǎng)的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理PF

由；(3)拓展延伸：設(shè)AE=t時，AEPF的面積為S，試用含t的代數(shù)式表示S；在旋轉(zhuǎn)過程中，若t二1時，求對應(yīng)的AEPF的面積；在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AEPF的面積為4.2時，求對應(yīng)的t的值.【舉一反三】1如圖1,已知直線y=a與拋物線y二4x2交于A、B兩點(A在B的左側(cè))，交y軸于點C⑴若AB=4,求a的值若拋物線上存在點D(不與A、B重合)，使CD=2AB，求a的取值范圍如圖2,直線y=kx+2與拋物線交于點E、F點P是拋物線上的動點，延長PE、PF分別交直線y=-2于類型三【角及角的和差定值】【典例指引3】如圖，在△ABC中，ZABC>60°,ZBACV6O。，以AB為邊作等邊AABD(點C、D在邊AB的同側(cè))，連接CD．若ZABC=90°，ZBAC二30°，求ZBDC的度數(shù)；當(dāng)ZBAC=2ZBDC時，請判斷厶ABC的形狀并說明理由；(3)當(dāng)NBCD等于多少度時，NBAC二2ZBDC恒成立.

舉一反三】如圖1拋物線W:y二ax2-2的頂點為點A，與x軸的負(fù)半軸交于點D，直線AB交拋物線W于另一點C，點B的坐標(biāo)為(1,0).求直線AB的解析式；過點C作CE丄x軸，交x軸于點E，若AC平分ZDCE，求拋物線W的解析式；若a二1，將拋物線W向下平移m(m>0)個單位得到拋物線氣，如圖2,記拋物線氣的頂點為竹,與x軸負(fù)半軸的交點為D],與射線BC的交點為C1.問：在平移的過程中，tanZDCB是否恒為定值？若是，請求出tanZDCB的值；若不是，請說明理由.類型四【三角形的周長為定值】【典例指引4】如圖，現(xiàn)有一張邊長為2、也的正方形ABCD,點P為正方形AD邊上的一點(不與點A、點D重合)，將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP，BH.求證：ZEPB=ZEBP；求證：ZAPB=ZBPH；當(dāng)點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？不變化，求出周長，若變化，說明理由；設(shè)AP為x,四邊形EFGP的面積為S,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式.

【舉一反三】如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZC=90。，AB=8j2，點O是AB的中點?將一個邊長足夠大的RtADEF的直角頂點E放在點O處，并將其繞點O旋轉(zhuǎn)，始終保持DE與AC邊交于點G,EF與BC邊交于點H.⑴當(dāng)點G在AC邊什么位置時，四邊形CGOH是正方形.等腰直角三角ABC的邊被RtADEF覆蓋部分的兩條線段CG與CH的長度之和是否會發(fā)生變化，如不類型五【三角形的面積及和差為定值】【典例指引5】綜合與實踐：矩形的旋轉(zhuǎn)問題情境：在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動．具體要求：如圖1，將長與寬都相等的兩個矩形紙片ABCD和EFGH疊放在一起，這時對角線AC和EG互相重合.固定矩形ABCD,將矩形EFGH繞AC的中點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，直到點E與點B重合時停止，在此過程中開展探究活動.操作發(fā)現(xiàn)：雄鷹小組初步發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)邊AB與EF交于點M,邊CD與GH交于點N，如圖2、圖3所示，則線段與CN始終存在的數(shù)量關(guān)系是.雄鷹小組繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)開始后，當(dāng)兩個矩形紙片重疊部分為四邊形時，如圖3所示,四邊形QMRN為菱形，請你證明這個結(jié)論.雄鷹小組還發(fā)現(xiàn)在問題(2)中的四邊形QMRN中ZMQN與旋轉(zhuǎn)角ZAOE存在著特定的數(shù)量關(guān)系，請你寫出這一關(guān)系，并說明理由．實踐探究：在圖3中，隨著矩形紙片EFGH的旋轉(zhuǎn)，四邊形QMRN的面積會發(fā)生變化.若矩形紙片的長為2+邁，寬為、2,請你幫助雄鷹小組探究當(dāng)旋轉(zhuǎn)角ZAOE為多少度時，四邊形QMRN的面積最大？最大面積是多少？(直接寫出答案)

EHASSoDC圖1b圖3fEHASSoDC圖1b圖3f5DCF舉一反三】如圖1,矩形ABCD中，E是AD的中點，以點E直角頂點的直角三角形EFG的兩邊EF,EG分別過點B,C,ZF=30°?(1)求證：BE=CE（2）將厶EFG繞點E按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時停止轉(zhuǎn)動?若EF，EG分別與AB，BC相交于點M,N.（如圖2）①求證：△BEM竺ACEN；②若AB=2,求厶BMN面積的最大值;EAr圖2圖1BGF-③當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時，點B恰好在FG上（如圖EAr圖2圖1BGF-③當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時，點B恰好在FG上（如圖3）,求sinZEBG的值.A(M)DK-C圖3新題訓(xùn)練】1.已知在平行四邊形ABCD中，AB=6,BC=10,ZBAD=120。，E為線段BC上的一個動點（不與B,C重合），過E作直線AB的垂線，垂足為F,FE與DC的延長線相交于點G,（1）如圖1,當(dāng)AE丄BC時，求線段BE、CG的長度.

（2）如圖2,點E在線段BC上運動時，連接DE，DF，△BEF與厶CEG的周長之和是否是一個定值，若是請求出定值，若不是請說明理由.、DDA遲BEEa圖12、DDA遲BEEa圖12.如圖，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點C為頂點的拋物線經(jīng)過點A,點P是拋物線上（3）如圖2,設(shè)BE=x,△DEF的面積為y,試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.點A、C間的一個動點（含端點），過點P作PF丄BC于點F,點D、E的坐標(biāo)分別為（0,6）,（-4,0）,連接PD連接PD，PE，DE.（1）求拋物線的解析式；（2）小明探究點P的位置是發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點P與點A或點C重合時，PD與PF的差為定值，進而猜想：對于任意一點P，PD與PF的差為定值，請你判定該猜想是否正確，并說明理由；（3）請直接寫出APDE周長的最大值和最小值.3.如圖，四邊形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°.⑴直接填空：ZBAD=°.⑵點P在CD上，連結(jié)AP，AM平分ZDAP,AN平分ZPAB,AM、AN分別與射線BP交于點M、N.設(shè)ZDAM=a°.求ZBAN的度數(shù)（用含a的代數(shù)式表示）.若AN丄BM,試探究ZAMB的度數(shù)是否為定值？若為定值，請求出該定值；若不為定值，請用a的代數(shù)式表示它.

4?將在同一平面內(nèi)如圖放置的兩塊三角板繞公共頂點A旋轉(zhuǎn)，連接BC,DE?探究S^ABC與S^ADC的比是否為定值．（1）兩塊三角板是完全相同的等腰直角三角板時，S^Bc：SgE是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由.（圖①）（2）—塊是等腰直角三角板，另一塊是含有30。角的直角三角板時，S“BC：S^de是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由.（圖②）（3）兩塊三角板中，ZBAE+ZCAD=180°,AB=a,AE=b，AC=m,AD=n（a，b，m，n為常數(shù)），S^ABC：St是否為定值？如果是，用含a，b，m，n的式子表示此定值（直接寫出結(jié)論，不寫推理過程），如果不是，說明理由.（圖③）5.（解決問題）如圖1,在AABC中，AB=AC=10，CG丄AB于點G.點p是BC邊上任意一點，過點P作PE丄AB,PF丄AC，垂足分別為點E，點F.pC艮1(1)若PE二3,PF二5，則AABP的面積是,CG=

猜想線段PE,PF,CG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(變式探究)如圖2,在AABC中，若AB=AC=BC=10，點p是AABC內(nèi)任意一點，且PE丄BC,PF丄AC，PG丄AB，垂足分別為點E，點F，點G,求PE+PF+PG的值.(拓展延伸)如圖3,將長方形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C處，點P為折痕EF上的任意一點，過點P作PG丄BE，PH丄BC，垂足分別為點G,點h?若AD=8，CF=3，直接寫出PG+PH的值.6.如圖，已知銳角△ABC中，AB、AC邊的中垂線父于點OACAC若ZA=a(0°VaV90。)，求ZBOC；試判斷ZABO+ZACB是否為定值；若是，求出定值，若不是，請說明理由.7.OO的直徑AB=15cm,有一條定長為9cm的動弦，CD在弧AB上滑動(點C和A、點D與B不重合),且CE丄CD交AB于E,DF丄CD交AB于F.(1)求證：AE=BF(2)在動弦CD滑動過程中，四邊形CDFE的面積是否為定值，若是定值，請給出證明，并求這個定值，若不是，請說明理由.8.如圖，動點丄「在以匚為圓心，上三為直徑的半圓弧上運動(點丄「不與點小上及】三的中點廠重合),連接d?過點一T作一佐—三于點三，以蒐為邊在半圓同側(cè)作正方形三二三，過二點作I匚的切線交射線二匚于點；，連接"、二：.探究：如左圖，當(dāng)一丫動點在二7上運動時；判斷二二三—是否成立？請說明理由；設(shè)亠—”二二叮是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請說明理由；設(shè)—二工—是否為定值?若是,求出該定值，若不是，請說明理由；拓展：如右圖，當(dāng)動點丄'■在=三上運動時；分別判斷(1)中的三個結(jié)論是否保持不變？如有變化，請直接寫出正確的結(jié)論(均不必說明理由)9.如圖，已知。0的半徑為2，AB為直徑，CD為弦.AB與CD交于點M，將cd沿著CD翻折后,點A與圓心O重合，延長OA至p，使APOA，鏈接PC.(1)求CD的長.(2)求證：PC是0O的切線.(3)點G為adb的中點，在PC延長線上有一動點Q,連接QG交AB于點E,交BC于點F(F與b、C不重合).則GEGF為一定值.請說明理由，并求出該定值.10.在平面直角坐標(biāo)系中，點A和點B分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上，且OA=6，OB=8，點D是AB的中點.直接寫出點D的坐標(biāo)及AB的長；若直角ZNDM繞點D旋轉(zhuǎn)，射線DP分別交x軸、y軸于點P、N,射線DM交x軸于點M，連接MN.當(dāng)點P和點N分別在x軸的負(fù)半軸和y軸的正半軸時，若△PDMs^MON,求點N的坐標(biāo)；在直角ZNDM繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，/DMN的大小是否會發(fā)生變化？請說明理由.3211.如圖，△AOB中，A(—8,0)，B(0，了)，AC平分ZOAB，交y軸于點C,點P是x軸上一點，0P經(jīng)過點A、C,與x軸于點D,過點C作CE丄AB,垂足為E，EC的延長線交x軸于點F，0P的半徑為；求證：EF為0P的切線；OH若點H是CD上一動點，連接OH、FH,當(dāng)點H在CD上運動時，試探究是否為定值？若為定FH值，求其值；若不是定值，請說明理由.BBEE芝ffl⑴?<2)Z>BBEE芝ffl⑴?<2)Z>FF12.如圖，在菱形ABCD中，ZABC=60°,AB=2.過點A作對角線BD的平行線與邊CD的延長線相交于點E.P為邊BD上的一個動點(不與端點B,D重合)，連接PA,PE,AC.求證：四邊形ABDE是平行四邊形；求四邊形ABDE的周長和面積；記△ABP的周長和面積分別為q和耳，△PDE的周長和面積分別為C2和S2,在點P的運動過程中，試探究下列兩個式子的值或范圍：①C]+C2,②S]+S2，如果是定值的，請直接寫出這個定值；如果不是定值的,請直接寫出它的取值范圍.如圖，在O中，圓心O關(guān)于弦AB的對稱點C恰好在O上，連接AC、BC、BO、AO.求證：四邊形AOBC是菱形；o如圖，若點Q是優(yōu)弧AmB(不含端點A、B)上任意一點，連接CQ交AB于點P,O的半徑為2J3.O試探究線段CP與CQ的積CPCQ是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由；求CPPO的取值范圍.如圖，拋物線的頂點坐標(biāo)為C(0,8),并且經(jīng)過A(8,0),點P是拋物線上點A,C間的一個動點(含端點)，過點P作直線y=8的垂線，垂足為點F,點D,E的坐標(biāo)分別為(0,6),(4,0),連接PD,PE,DE.（1）求拋物線的解析式；（2）猜想并探究：對于任意一點P,PD與PF的差是否為固定值？如果是，請求出此定值；如果不是，請說明理由；（3）求：①當(dāng)厶PDE的周長最小時的點P坐標(biāo)；②使△PDE的面積為整數(shù)的點P的個數(shù).F5〈r=8/V\\視Q丿/OW02\115.如圖1,點A（a，0）、B（b，0），其中a、b滿足（3a+b》+xib—a—4=0，將點A、B分別向上平移2個單位，再向右平移1個單位至C、D，連接2個單位，再向右平移1個單位至C、D，連接AC、BD.DcBOOAmi（1）直接寫出點D的坐標(biāo)：；CF（2）連接AD交OC于一點F，求的值：OF（3）如圖2,點M從O點出發(fā)，以每秒1個單位的速度向上平移運動，同時點N從B點出發(fā)，以每秒2個單位的速度向左平移運動，設(shè)射線DN交y軸于F.問S-S的值是否為定值？如果是定值，請求AFMDAOFN出它的值；如果不是定值，請說明理由.16.如圖所示，D為等腰AABC底邊BC上一動點，DE丄AB于E，DF丄AC于F，AC二8cm，SAABC二24，問當(dāng)D點在C邊上運動時，DE+DF的值是否為定值，如果是，求出這個定值,如果不是，說明理由.線相交于點C，點D為AB的中點，點E是線段AC上一個動點(不與點A和C重合)，連結(jié)de，并過點D作DF丄DE交BC于點F.判斷△ABC的形狀，并說明理由.(2)當(dāng)點E在線段AC上運動時，四邊形CEDF的面積是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是,請說明理由．1(3)當(dāng)點E的橫坐標(biāo)為-2時，在x軸上找到一點P使得PEF的周長最小，請直接寫出點P的坐標(biāo).動態(tài)幾何定值問題【考題研究】數(shù)學(xué)因運動而充滿活力，數(shù)學(xué)因變化而精彩紛呈。動態(tài)題是近年來中考的的一個熱點問題，以運動的觀點探究幾何圖形的變化規(guī)律問題，稱之為動態(tài)幾何問題，隨之產(chǎn)生的動態(tài)幾何試題就是研究在幾何圖形的運動中，伴隨著出現(xiàn)一定的圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”性的試題，就其運動對象而言，有點動、線動、面動三大類，就其運動形式而言，有軸對稱(翻折)、平移、旋轉(zhuǎn)(中心對稱、滾動)等，就問題類型而言，有函數(shù)關(guān)系和圖象問題、面積問題、最值問題、和差問題、定值問題和存在性問題等。解這類題目要“以靜制動”，即把動態(tài)問題，變?yōu)殪o態(tài)問題來解，而靜態(tài)問題又是動態(tài)問題的特殊情況。以動態(tài)幾何問題為基架而精心設(shè)計的考題，可謂璀璨奪目、精彩四射?！窘忸}攻略】

動態(tài)幾何形成的定值和恒等問題是動態(tài)幾何中的常見問題，其考點包括線段（和差）為定值問題；角度（和差）為定值問題；面積（和差）為定值問題；其它定值問題。解答動態(tài)幾何定值問題的方法，一般有兩種：第一種是分兩步完成：先探求定值.它要用題中固有的幾何量表示.再證明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把動點放在特殊的位置，找出定值的表達式，然后寫出證明.第二種是采用綜合法，直接寫出證明.【解題類型及其思路】

在中考中，動態(tài)幾何形成的定值和恒等問題命題形式主要為解答題。在中考壓軸題中，動態(tài)幾何之定

值（恒等）問題的重點是線段（和差）為定值問題，問題的難點在于準(zhǔn)確應(yīng)用適當(dāng)?shù)亩ɡ砗头椒ㄟM行探究【典例指引】類型一【線段及線段的和差為定值】【典例指引1】已知:△ABC是等腰直角三角形,ZBAC=90°,將厶ABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ABC,記旋轉(zhuǎn)角為a當(dāng)9O°VaV180。時，作A?丄AC,垂足為D,AD與BfC交于點E.（1）如圖1,當(dāng)NCAD=15。時，作NAEC的平分線EF交BC于點F.寫出旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)；求證：EA+EC=EF；（2）如圖2,在（1）的條件下，設(shè)P是直線AD上的一個動點，連接PA,PF,若AB=€2,求線段PA+PF的最小值.（結(jié)果保留根號）【答案】（1）①105°,②見解析；（2）J62J6【解析】（1）①解直角三角形求出ZACD即可解決問題，②連接AF設(shè)EF交CA，于點O,在EF時截取EM=EC,連接CM.首先證明厶CFA是等邊三角形，再證明厶FCM^AACE（SAS）,即可解決問題.（2）如圖2中，連接AFPB，,ABf,作BM丄AC交AC的延長線于M.證明△A,EF^^A,EB,,推出EF=EBf,推出B，,F關(guān)于AE對稱，推出PF=PB，,推出PA+PF=PA+PBf>AB；求出AB即可解決問題.

【詳解】①解：由ZCA'D=15。，可知ZA，CD=90°-15°=75。，所以ZA，CA=180°-75°=105。即旋轉(zhuǎn)角a為105°.②證明：連接AT,設(shè)EF交CA于點O.在EF時截取EM=EC，連接CM.VZCED=ZA'CE+ZCA'E=45°+15°=60°,.??ZCEA'=120。，VFE平分ZCEAf，.??ZCEF=ZFEA'=60。，VZFCO=180°-45°-75。=60。,.??ZFCO=ZAEO,VZFOC=ZA'OE,.?.△FOCs^AOE,OFOC?'*忌=OE.OF=AO'*OC=~OE?.?ZCOE=ZFOA',.?.△COEsAFOA',.??ZFA'O=ZOEC=60。，???△ACF是等邊三角形,???CF=CA'=A'F,VEM=EC，ZCEM=60°，???△CEM是等邊三角形，ZECM=60°,CM=CE,VZFCAf=ZMCE=60°,.??ZFCM=ZA'CE,.?.△FCM^AA'CE(SAS),.??FM=A'E,???CE+A'E=EM+FM=EF.(2)解：如圖2中，連接AT,PB，,AB',作B'M丄AC交AC的延長線于M.S2由②可知，ZEA'F='EA'B'=75。，A'E=A'E,A'F=A'B',.?.△A'EF^AA'EB',.?.EF=EB',???B',F關(guān)于A'E對稱，.??PF=PB',???PA+PF=PA+PB'>AB',在RtACB'M中，CB'=BC=AB=2,ZMCB'=30。，?B'M=1CB'=1,CM=J32?AB'=7AM2+M2=、.'(、?：2+n'3)2+12=+2\/6???PA+PF的最小值為$6+2J6【名師點睛】本題屬于四邊形綜合題,考查旋轉(zhuǎn)變換相關(guān),全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題,學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題,屬于中考壓軸題,難度較大．【舉一反三】如圖(1),已知ZMON=90，點P為射線ON上一點，且OP=4,B、C為射線OM和ON上的兩個動點(OC>OP),過點p作PA丄BC，垂足為點A，且PA=2，聯(lián)結(jié)BP.S1若SAPAC=2時，求tanZBPO的值；四邊形ABOPAB設(shè)PC=x,二y求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出定義域；BC如圖(2),過點A作BP的垂線，垂足為點H，交射線ON于點Q，點B、C在射線OM和ON上運動時，探索線段OQ的長是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，求出它的值。若發(fā)生變化，試用含x的代數(shù)式表示OQ的長．OBJ34x+4【答案】(1)tanZOPB二O盲；⑵y二K(x>2)；⑶OQ的長度等于3.【解析】(1)根據(jù)有兩對角相等的三角形相似可證明△CAPs^COB，由相似三角形的性質(zhì)可知：SAPSAPAC=(OB)2，在由已知條件可求出OB的長，由正切的定義計算即可；ACOB4作AE丄PC于E,易證△PAEsAPCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊的比值相等PE二，再利x4TOC\o"1-5"\h\zABOE4+-用平行線的性質(zhì)即可得到r，所以y_x，整理即可得到求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫B(tài)COCJrx+4出定義域即可；PAPH點B、C在射線OM和ON上運動時，探索線段OQ的長不發(fā)生變化，由△PAHs^PBA得：_PBPAPQPH即PA2=PH?PB，由△PHQsAPOB得：_即PQ?PO=PH?PB,所以PA2=PQ?PO,再由已知數(shù)據(jù)PBPO即可求出OQ的長．【詳解】(1)VZACP=ZOCBZCAP=ZO=90°:、\CAPs\COBS?sAPAC=(—)2OBACOBsAPAC——?s四邊形ABOPs1?APAC=—??3ACOB???(竺)2二1OB3TAP=2???OB=2朽OB在RtAOBP中，tanZOPB二—OP(2)作AE丄PC,垂足為E,易證△FAEs'fcaPAPEPCPA22=PE-x???PE=-x??ZMON=ZAEC=90°???AE〃OMABOEBCOC4x+4整理得y二u(x>2)(3)線段OQ的長度不會發(fā)生變化由厶PAHs^PBAPAPH得PAPH得PBPA即PA2=PH-PB由厶PHQsApob得—=PBPH~PO即PQ-PO=PH?PB???PA2=PQ?POVP4=2PO=4PQ=1OQ=3即OQ的長度等于3.【點睛】此題考查相似形綜合題，解題關(guān)鍵在于作輔助線類型二【線段的積或商為定值】【典例指引2】如圖①，矩形ABCD中，AB=2,BC=5,BP=1,ZMPN=900,將ZMPN繞點p從PB處開始按順時針方向旋轉(zhuǎn)，PM交邊AB（或AD）于點E,PN交邊AD（或CD）于點F?當(dāng)PN旋轉(zhuǎn)至PC處時，ZMPN的旋轉(zhuǎn)隨即停止.（1）特殊情形：如圖②，發(fā)現(xiàn)當(dāng)PM過點A時，PN也恰好過點D，此時AABP是否與APCD相似？并說明理由；PE（2）類比探究：如圖③，在旋轉(zhuǎn)過程中，芮的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理PF由；（3）拓展延伸：設(shè)AE=t時，AEPF的面積為S，試用含t的代數(shù)式表示S；在旋轉(zhuǎn)過程中，若t=1時，求對應(yīng)的AEPF的面積；在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)AEPF的面積為4.2時，求對應(yīng)的t的值.jVB說F)■答案】（1）相似；（2）定值，PE_1PF24運(3)①2,②t=2--.5【解析】（1）根據(jù)“兩角相等的兩個三角形相似”即可得出答案；PEBP（2）由AEBPAPGF得出二，又FG二AB二2,BP二1為定值，即可得出答案;PFGF⑶先設(shè)AE=t,BE=2-t結(jié)合Saepf=S矩形abgf-SAAEF-SABEP-^PFG得出******S二12-4t+5①將t=1代入S二12-4t+5中求解即可得出答案；②將s=4.2代入S二12-4t+5中求解即可得出答案.【詳解】(1)相似理由：JZBAP+ZBPA二900,ZCPD+ZBPA二900.??ZBAP=ZCPD又JZABP二ZPCD二900?AABPAPCD；(2)(2)PE在旋轉(zhuǎn)過程中的值為定值，PF理由如下：過點F作FG丄BC于點G,JZBEP=ZGPFPEBPZEBP=ZPGF二900,???AEBPAPGF,:.二PFGFJ?四邊形ABCD為矩形，?：四邊形ABGF為矩形,?：FG二AB二2,BP二1

PE1?_…PF_2即在旋轉(zhuǎn)過程中PF的值為定值'AEBPNPGFPE1PF的值為定值'AEBPNPGFPE1PF2BE_PE_1??PG_PF_2又AE_t,BE_2—t.??PB_2（2—1）_4—2t,BG_AF_BP+PG_1+（4—2t）_5—2t???S_S—S—S—SAEPF矩形ABGFAAEFABEPAPFG_2（5—2t）—-1x（5—2t）—-xlx（2—t）—-x2x（4—2t）_12—4t+5222即：S_t2—4t+5；①當(dāng)t_1時，AEPF的面積S_12—4x1+5_2②當(dāng)Saepf_4.2時，???t2—4t+5_力4^54亦解得：ti_2-石，t2_2+石（舍去）?當(dāng)AEPF的面積為4.2時，c4需t_2—5【名師點睛】本題考查的是幾何綜合，難度系數(shù)較高，涉及到了相似以及矩形等相關(guān)知識點，第三問解題關(guān)鍵在于求出面積與AE的函數(shù)關(guān)系式.【舉一反三】如圖1,已知直線y=a與拋物線y_4x2交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），交y軸于點C⑴若AB=4,求a的值（2）若拋物線上存在點D（不與A、B重合），使CD_2AB，求a的取值范圍（3）如圖2,直線y=kx+2與拋物線交于點E、F點P是拋物線上的動點，延長PE、PF分別交直線y=—2于M、N兩點NN交y軸于Q點，求QM?QN的值。

【解析】(【解析】(1)將兩個函數(shù)解析式聯(lián)立，解一元二次方程求得A、B的橫坐標(biāo)，進而表示出AB,即可解答；(2)由(1)可得CD=*AB=2ja，設(shè)D(幣,m)，過點D作DH丄y軸于點H,利用勾股定理可知DH2+CH2=CD2，進而得到(m—a)(m—a+4)=0，得到m—a+4=0，根據(jù)函數(shù)圖象可知m>0，即可求得a的取值范圍；11(3)設(shè)E(x,丁x2)，F(xiàn)(x,匚x2)，P(n,：n2)，分別表示EP和FP的解析式，當(dāng)y=—2時，求得1412424nx—8nx—811xM=匚仁，xN=~nXx，聯(lián)立y=4x2和y=kx+2,得到4x2—kx—2=0，利用一元二次方程根與12系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=4k，x1x2=—8，代入QMQN=-xMxN即可解答.【詳解】(1)聯(lián)立1y=a???4???4x2=a，解得:x=一2、］a,x=2、：a12AB=x—x=4\a=4BA(2)由(1)知AB=4ja??心二1AB=2ja設(shè)D(￡4m,m)過點D作DH丄y軸于點H,則DH2+CH2=CD2(€4m)2+(a—m)2=4a(m—a)(m—a+4)=0又m主am—a+4=0m=a—4又m>0a—4>0a>4111(3)設(shè)E(x,丁x2),f(x，丁x2),p(n,二n2)1412424ep解析式為y=tx+b11將P,E代入可得：y=(n+x)x—nx4141當(dāng)y=當(dāng)y=—2時,可求xmnx—8——in+x1同理可求FP的解析式為y=4(n+x2)x-4nx2nx—8x=2Nn+x2又聯(lián)立i得：y又聯(lián)立i得：y=kx+2x2—kx—2=04x+x=4k,xx=—81212nx—8nx—8n2xx—8n(x+x)+64???QMQN=—xx=—―i2=——i2MNn+xn+xn2+n(x+x)+xx1212128n2+8n4k—64==8n2+4nk—8【點睛】?元二次本題為二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合題，難度大，主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，還涉及了方程和勾股定理等知識，熟練掌握一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵.元二次類型三【角及角的和差定值】【典例指引3】如圖，在△ABC中，ZABC>60°,ZBACV6O。，以AB為邊作等邊AABD(點C、D在邊AB的同側(cè))，連接CD．若ZABC=90°,ZBAC二30°,求ZBDC的度數(shù)；當(dāng)ZBAC二2ZBDC時，請判斷厶ABC的形狀并說明理由；當(dāng)ZBCD等于多少度時，NBAC二2ZBDC恒成立.【答案】(1)30°；(2)△ABC是等腰三角形，理由見解析；(3)當(dāng)ZBCD=150。時，ZBAC=2ZBDC恒成立.【解析】(1)證明AC垂直平分BD，從而可得CD=BC，繼而得ZBDC=30°；設(shè)ZBDC=x，則ZBAC=2x，證明ZACD=ZADC，從而得AC=AD，再根據(jù)AB=AD可得AB=AC，從而得△ABC是等腰三角形；如圖，作等邊△BCE，連接DE,證明△BCD9AECD后可得到ZBDE=2ZBDC，再通過證明△BDE9ABAC得到ZBAC=ZBDE，從而得ZBAC=2ZBDC.【詳解】("???△ABD為等邊三角形，AZBAD=ZABD=60°，AB=AD，又VZBAC=30°，??.AC平分ZBAD，.?.AC垂直平分BD，?CD=BC，?ZBDC=ZDBC=ZABC-ZABD=90°-60°=30°；2)△ABC是等腰三角形，理由：設(shè)ZBDC=x，則ZBAC=2x,有ZCAD=60°-2x,ZADC=60°+x,.??ZACD=180°-ZCAD-ZADC=60°+x,AZACD=ZADC,.??AC=AD,又VAB=AD,.AB=AC,即厶ABC是等腰三角形；(3)當(dāng)ZBCD=150°時，ZBAC=2ZBDC恒成立,VZBCD=150°,AZECD=360°-ZBCD-ZBCE=150°,AZDCE=ZDCB.又VCD=CD,AABCD^AECD.AZBDC=ZEDC,即ZBDE=2ZBDC.又???△ABD為等邊三角形，.??AB=BD,ZABD=ZCBE=60°,AZABC=ZDBE=60°+ZDBC.又?BC=BE,???△BDE9ABAC.AZBAC=ZBDE,???ZBAC=2ZBDC.【名師點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握和運用相關(guān)性質(zhì)、結(jié)合圖形正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.【舉一反三】如圖1拋物線W:y=ax2-2的頂點為點A，與x軸的負(fù)半軸交于點D，直線AB交拋物線W于另一點C，點B的坐標(biāo)為(1,0)?求直線AB的解析式；過點C作CE丄x軸，交x軸于點E，若AC平分ZDCE，求拋物線W的解析式；若a=2，將拋物線W向下平移m(m>0)個單位得到拋物線氣，如圖2,記拋物線氣的頂點為竹,與x軸負(fù)半軸的交點為什，與射線BC的交點為^?問：在平移的過程中,tanZDCiB是否恒為定值？若是，請求出tanZDCiB的值；若不是，請說明理由.251【答案】（1）y—2x—2；（2）y=--x2—2；（3）tan^DCiB恒為定值3.【解析】(1)由拋物線解析式可得頂點A坐標(biāo)為(0,-2),利用待定系數(shù)法即可得直線AB解析式;(2)如圖，過點B作BN丄CD于N，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得BE=BN,由ZBND=ZCED=90°,ZBND=ZCDE可證明BNDCED，設(shè)BE=x,BD=y,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得CE=2x,CD=2y,根據(jù)勾股定理由得y與X的關(guān)系式，即可用含x的代數(shù)式表示出C、D坐標(biāo)，代入y=ax2-2可得關(guān)于x、a△?△的方程組，解方程組求出a值即可得答案；過點B作BF丄CD于點F,根據(jù)平移規(guī)律可得拋物線W］的解析式為y=|x2-2-m,設(shè)點什的坐標(biāo)為1111(t,0)(tV0),代入y=2x2-2-m可得2+m=—t2，即可的W1的解析式為y=X2-—t2，聯(lián)立直線BC解析式可用含t的代數(shù)式表示出點C1的坐標(biāo)，即可得CiH=DH，可得ZCiDiH=45，根據(jù)拋物線W的解O析式可得點D坐標(biāo)，聯(lián)立直線BC與拋物線W的解析式可得點C、A坐標(biāo)，即可求出CG、DG的長，可得CG=DG,ZCDG=ZCDH=45，即可證明CDIICD，可得ZDCB=ZDCB111111otanADCB=tanZDCB，由ZCDG=45°可得BF=DF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出DF的長，利用勾股定理可求出CD的長，即可求出CF的長，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得答案.【詳解】(I)；'拋物線W：y=ax2-2的頂點為點A?*.點A(0,-2)設(shè)直線AB解析式為y=kx+b；B(1，0)，'b=-2+b二0，\k二2解得：］b=-2???拋物線解析式為：y=2x―2(2)如圖，過點b作BN丄CD于N?.?AC平分，ZDCE,BN丄CD,BE丄CE???BN=BE?.?ZBND=ZCED=90。,ZBDN=ZCDEBNDCED，BN_DB…CE_CDBE_DB…CE_CDAOIICE，BOBE1DB1—‘‘AOCE2CD設(shè)BE_x,BD_y，則CE_2x,CD_2y*?*CD2_DE2+CE2，4y2_(x+y)2+4x2.??(x+y)(5x—3y)_0

.?.點C(x+1,2x),點D(1—5x,0I3丿???點C，點D是拋物線W：y二ax2-2上的點,x=a(x+1)2—2—2<(5\—20=a1一一x〔I3丿Vx>0,解得：x1解得：x1=0（舍去）3925L539\2L539\20=a1——x——I325丿—2,25??a=-32如圖，過點C如圖，過點C]作C]H丄x軸于H,過點C作CG丄x軸G,過點B作BF丄CD于點Fa=2???a=2???拋物線W的解析式為y=|x2-2,???將拋物線W向下平移m個單位，得到拋物線氣???拋物線氣的解析式為：y=2x2―2―m設(shè)點D］的坐標(biāo)為G，°)C<0),1/.0=—12-2-m212+m=—122.?拋物線氣的解析式為：y=x2—212???拋物線氣與射線BC的交點為-解得：x=2—t<解得：x=2—t<iy=2—2t1122丄2(不合題意舍去)，y=2+2t2?:點C］的坐標(biāo)(2—t,2—2t).??CH=2—2t,OH=2—t1???DH=DO+OH=2—t+(—t)=2—2t11?C1H=DH，且CH丄x軸，CDH=45111°?y=2x2—2與x軸交于點d.點D(—2,0)，1y=2x—2與y=x2—2交于點C，點a解得：.點C(4,6)，A(0，-2).GC=6,DG=OD+OG=2+4=6，

.??DG=CG,且cg丄x軸,???ZGDC=45°=ZCDH11CD//CD，11ZDCB=ZDCB11tanZDCB=tanZDCB11-ZCDB=45,BF丄CD,BD=OD+OB=2+1=3o???ZFDB=ZFBD=45???DF=BF,DB=41DF=3?DF=???點D(—2,0)，點C(4,6)CD={(—2—4)2+(0—6)2=6邁?CF=CD—DF=啞?CF=CD—DF=啞2tanZDCB=tanZDCB11BF=1CF=3?tanZD1C1B恒為定值【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象的平移、相似三角形的判定與性質(zhì)及三角函數(shù)的定義難度較大屬中考壓軸題熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．類型四【三角形的周長為定值】【典例指引4】如圖，現(xiàn)有一張邊長為2邁的正方形ABCD，點P為正方形AD邊上的一點（不與點A、點D重合），將正方形紙片折疊，使點B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H,折痕為EF,連接BP，BH.（1）求證：ZEPB=/EBP；（2）求證：/APB=/BPH；（3）當(dāng)點P在邊AD上移動時，△PDH的周長是否發(fā)生變化？不變化，求出周長，若變化，說明理由；（4）設(shè)AP為x四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式.【答案】（1）見解析（2）見解析（3）周長固定，周長為4邁.（4）S=—-2x+8【解析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，對應(yīng)邊相等，即能解決問題.（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)和問題（1）的結(jié)論即能解決問題.（3）通過證明過B點向PG作垂線，垂足為Q,通過分別證明BPA今BPQ和RtBHQ^RtBHC，將△pdh的周長問題轉(zhuǎn)化成兩固定邊長之和，即能解決問題，【詳解】（1）證明：???四邊形EPGF由四邊形EFCB折疊而來，EB與EP重疊△???EP=EB°.\ZEPB=ZEBP（2）證明??四邊形EPGF由四邊形EFCB折疊而來，EB與EP重疊，PG與BC重疊.\ZEPG=ZEBC又VZEPB=ZEBP.\ZEPG-ZEPB=ZEBC-ZEBP，即ZBPH=ZPBC?/AD〃BC,?ZAPB=ZPBC,?ZAPB=ZBPH(3)解：△PDH的周長不發(fā)生變化.如圖所示，過點B作BQ丄PG于點Q.c在厶BPA和厶BPQ中，AAPB=ZQPB?:<PB=PB,ZA=ZPQB.??BPA=BPQ(ASA):.PQ二AP,AB二BQ,△△???BQ二BCRtBHQ和RtBHC，JBQ=BC?fBH=BH△.??RtBHQ^RtBHC(HL)???QH=HC△△_???△PDH的周長為：l=PD+DH+PH=PD+AP+DH+HC=AD+BC=4J2為固定值，固定不變.如圖，過點F作FM垂直AB于點M.?.?ZBEF+ZABP=90。,ZBEF+ZMFE=90。???ZMFE=ZABP在厶ABP和厶MFE中/A二ZEMF?.?<AB二MF,上ABP二ZMFE.??ABP今MFE(ASA)ME=AP=x在厶AEP中，根據(jù)勾股定理，可得:x2+(4-BE)2=BE2解得：BE=+28???S=S=1(CF+BE)xBC，即四邊形EFCB21(、S=1x乂-x+2+三+2x42I88丿=乂-2x+82即S關(guān)于x的關(guān)系式為：S=-2x+82【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理、三角形全等，二次函數(shù)、綜合性較強，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)、直角三角形各邊長之間關(guān)系及三角形全等的判定方法.【舉一反三】如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZC=90。，AB=8.2，點O是AB的中點?將一個邊長足夠大的RtADEF的直角頂點E放在點O處，并將其繞點O旋轉(zhuǎn)，始終保持DE與AC邊交于點G,EF與BC邊交于點H.⑴當(dāng)點G在AC邊什么位置時，四邊形CGOH是正方形.⑵等腰直角三角ABC的邊被RtADEF覆蓋部分的兩條線段CG與CH的長度之和是否會發(fā)生變化，如不發(fā)生變化，請求出CG與CH之和的值：如發(fā)生變化，請說明理由.【答案】⑴點G在AC的中點時，四邊形CGOH是正方形；（2）CG與CH的和不會發(fā)生變化，CG+CH=8.1【解析】（1）由三角形中位線定理可得OG〃BC,OG=-BC，可證四邊形CGOH是矩形，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得ZACO=ZCOG=45°，可得CG=GO，可得結(jié)論；（2）由“ASA”可證厶GOC9AHOB，可得CG=BH，即可得CG+CH=HB+CH=BC=8.【詳解】解：（1）當(dāng)點G在AC的中點時，四邊形CGOH是正方形，連接CO，VO為AB的中點，點G是AC中點,1.??OG〃BC,OG=BC，2AZCGO=ZC=90°，VZGOF=90°，???四邊形CGOH是矩形，VAC=BC,ZACB=90°，AO=BO,.??ZACO=45。，且ZCGO=9O。，AZACO=ZCOG=45°，.??CG=GO,?矩形CGOH是正方形；（2）CG與CH的和不會發(fā)生變化,理由如下：連接OC，???△ABC是等腰直角三角形且點O為中點???ZGCO=ZB=45。，ZCOB=90°,CO=BOVZDOF=90°=ZCOB,ZGOC=ZHOB，且CO=BO,ZGCO=ZB=45°,??.△GOC9AHOB(ASA)HB=GC，CG+CH=HB+CH=BC?/AB=8叮2BC=AC=8CG+CH=8.【點睛】此題考查的是中位線的性質(zhì)、矩形的判定、正方形的判定、全等三角形的判定及性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握中位線的性質(zhì)定理、正方形的判定定理和用ASA證明兩三角形全等是解決此題的關(guān)鍵.類型五【三角形的面積及和差為定值】【典例指引5】綜合與實踐：矩形的旋轉(zhuǎn)問題情境：在綜合與實踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)活動．具體要求：如圖1，將長與寬都相等的兩個矩形紙片ABCD和EFGH疊放在一起，這時對角線AC和EG互相重合?固定矩形ABCD,將矩形EFGH繞AC的中點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)，直到點E與點B重合時停止，在此過程中開展探究活動.操作發(fā)現(xiàn)：雄鷹小組初步發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)邊AB與EF交于點M,邊CD與GH交于點N,如圖2、圖3所示，則線段與CN始終存在的數(shù)量關(guān)系是?雄鷹小組繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)開始后，當(dāng)兩個矩形紙片重疊部分為四邊形時，如圖3所示,四邊形QMRN為菱形，請你證明這個結(jié)論．雄鷹小組還發(fā)現(xiàn)在問題(2)中的四邊形QMRN中ZMQN與旋轉(zhuǎn)角ZAOE存在著特定的數(shù)量關(guān)系，請你寫出這一關(guān)系，并說明理由．實踐探究：

（4）在圖3中，隨著矩形紙片EFGH的旋轉(zhuǎn)，四邊形QMRN的面積會發(fā)生變化.若矩形紙片的長為2+邁,寬為、2，請你幫助雄鷹小組探究當(dāng)旋轉(zhuǎn)角NAOE為多少度時，四邊形QMRN的面積最大？最大面積是多少？（直接寫出答案）EEA00DCCDGC圖1BbEEA00DCCDGC圖1Bb圖3【答案】（1）結(jié)論：AM=CN,理由見解析；（2）證明見解析；（3）結(jié)論：/MQN—AOE，理由見解析;（4）ZAOE=45°或135°時，四邊形QMRN面積最大為2邁【解析】⑴先證明△AOK^AAOJ（ASA）,推出OK=OJ,AK=CJ,ZAOK=ZAJO,再證明△EKM^AGJN（ASA）即可的解；⑵過點Q作QK丄EF,QL丄CD,垂足分別為點K,L、先證明四邊形QMRN是平行四邊形，再證明QM=QN即可的解；（3）由三角形的外角的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可解決問題；⑷如圖3-2中，連接BD,在DC上取一點J,使得DJ=AD=込，則AJ=2,通過解直角三角形求出ZBOC的度數(shù),再結(jié)合圖象即可得解.【詳解】（1）結(jié)論：AM=CN.EAS0DCG02理由：如圖2EAS0DCG02理由：如圖2中，設(shè)AB交EG于K,CD交EG于J.???四邊形ABCD是矩形，四邊形EFGH是矩形,：?AB〃CD,EF//EG,OA=OC=OE=OG,:.ZMEK=ZJGN,ZOAK=ZOAJ,?.?ZAOK=ZAOJ,:、\AOZ\AOJ(ASA),：.OK=OJ,AK=CJ,ZAOK=ZAJO,:?EK=JG,?:/EKM=/AKO,ZGJN=ZCJO,:.ZEKM=ZGJN,:.△EKM^^GJN(ASA),:?KM=JN,:.AM=AN.(2)證明：過點Q作QK丄EF,QL丄CD,垂足分別為點K,L.EBO1GS3EBO1GS3由題可知：矩形ABCD竺矩形EFGH,:.AD=EH,AB〃CD,EF//HG,:四邊形QMRN為平行四邊形，?:QK丄EF,QL丄CD,:?QK=EH,QL=AD,ZQKM=ZQLN=90°,:,QK=QL,又VAB/CD,EF/HG,:.ZKMQ=ZMQN,ZMQN=ZLNQ,:.ZKMQ=ZLNQ,:.△QKM^^QLN(AAS),:?MQ=NQ:四邊形QMRN為菱形.(3)結(jié)論：ZMQN=ZAOE.理由：如圖3-1中，?.?ZQND=Z1+Z2,ZAOE=Z1+Z3,又由題意可知旋轉(zhuǎn)前Z2與Z3重合,：?/2=/3,：?/QND-/AOE,'：ABHCD,:.ZMQN=ZQND,:.ZMQN=ZAOE.(4)如圖3-2中，連接BD,在DC上取一點J使得DJ=AD=41，則AJ=2,G03-2?：CD=2+j2,???CJ=AJ=2,AZJCA=ZJAC,?:ZAJD=45°=ZJCA+ZJAC,AZACJ=22.5°,?:OC=OD,???ZOCD=ZODC=22.5。，AZBOC=45°,觀察圖象可知，當(dāng)點F與點C重合或點G與點D重合時，四邊形QMRN的面積最大，最大值=2遼???ZAOE=45?；?35。時，四邊形QMRN面積最大為2邁【名師點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)和判定,解直角三角形和全等三角形等知識,解題的關(guān)鍵是能正確找到全等三角形.【舉一反三】如圖1,矩形ABCD中，E是AD的中點，以點E直角頂點的直角三角形EFG的兩邊EF,EG分別過點B,C,ZF=30°?求證：BE=CE將厶EFG繞點E按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到EF與AD重合時停止轉(zhuǎn)動?若EF,EG分別與AB,BC相交于點M,N.(如圖2)求證：△BEM^^CEN；若AB=2,求厶BMN面積的最大值;

③當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時，點B恰好在FG上（如圖3）,求sinNEBG的值.EAr圖③當(dāng)旋轉(zhuǎn)停止時，點B恰好在FG上（如圖3）,求sinNEBG的值.EAr圖2圖1CBGF，AQT\DK-C圖3/6J2【答案】（1）詳見解析；（2）①詳見解析；②2；③、.4【解析】（1）只要證明厶BAE9ACDE即可；（2）①利用（1）可知△EBC是等腰直角三角形，根據(jù)ASA即可證明；構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題；如圖3中，作EH丄BG于H.設(shè)NG=m,則BG=2m,BN=EN=*3m,EB=p6m.利用面積法求出EH,根據(jù)三角函數(shù)的定義即可解決問題.【詳解】（1）證明：如圖1中，El???四邊形ABCD是矩形，.??AB=DC,ZA=ZD=90°,?E是AD中點，.AE=DE，.?.△BAE9ACDE,.BE=CE.(2)①解：如圖2中,由（1）可知，△EBC是等腰直角三角形,.??ZEBC=ZECB=45。，VZABC=ZBCD=90°,?.ZEBM=ZECN=45°,??ZMEN=ZBEC=90°,AZBEM=ZCEN,VEB=EC,.?.△BEM9ACEN；②?.?△BEMmCEN,.??BM=CN,設(shè)BM=CN=x，貝BN=4-x,11???Sabmn=2嘆（4-x）=-2（x-2）2+2,1?-2v°'.x=2時,△BMN的面積最大,最大值為2．③解：如圖3中，作EH丄BG于H.設(shè)NG=m,貝BG=2m,BN=EN=耳3m,EB=耳6m.TOC\o"1-5"\h\zEG=m+、；'3m=<3m,11VSABEG=?EG?BN=?BG?EH,△BEG22v;3m?(1+J3)m3+朽TOC\o"1-5"\h\z??EH==m,2m23+羽在RtAEBH中，sinZEBH=EH二2"+邁.EBy[6m4【點睛】本題考查四邊形綜合題、矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，學(xué)會利用參數(shù)解決問題【新題訓(xùn)練】1已知在平行四邊形ABCD中，AB=6,BC=10,ZBAD=120°,E為線段BC上的一個動點(不與B,C重合)，過E作直線AB的垂線，垂足為F，F(xiàn)E與DC的延長線相交于點G,如圖1,當(dāng)AE丄BC時，求線段BE、CG的長度.如圖2,點E在線段BC上運動時，連接DE,DF,△BEF與厶CEG的周長之和是否是一個定值，若是請求出定值，若不是請說明理由.如圖2,設(shè)BE=x,△DEF的面積為y,試求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.DABBEEG圖DABBEEG圖1【答案】(1)BE=3,EG=73；(2)是定值，為15+5；(3)y=-3x2+11^3(OVxVlO).284【解析】(1)先求出BE,AE,進而求出BF,EF,再用平行四邊形的面積求出FG,即可得出結(jié)論;先求出BH,AH,再用相似表示出BF,EF,進而得出CG,EG,即可得出結(jié)論；利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【詳解】(1)T四邊形ABCD是平行四邊形，.??AD〃BC,AB〃CD,AZBAD+ZB=180°,?.?ZBAD=120。,TAE丄BC于E,在RtAABE中，ZBAE=30。，AB=6,.??BE=3,AE=3\：3TEF丄AB,.??ZBFE=90。，在RtABEF中，ZBEF=30°,TSabcd=BCxAE=ABxFG,ABCD???10x3J3=6FG,.??FG=5J322）如圖2，過點A作AH丄BC于H,.??BH=3,AH=3、'3TZAHB=ZBFE=90°,ZB=ZB,.?.△ABHsAEBF,ABBHAH?_…~be~~bf~~EF設(shè)BE=a

.6_丄_3/3aBFEF1???BF=2a，a,?.?AB〃CD,.6_丄_3/3aBFEF1???BF=2a，a,?.?AB〃CD,BF?BEEF??CGCEEG1a—a…2a2CG10-aEG.?.△BEFs^CEG,(10-a),??cg=2(10-a),1?:CBEF+CCEG=BE+BF+EF+CE+CG+EG=a+a+△BEF△CEG1a+10-a+2（10-卡10-a)=10+5+5p'3=15+53）同（2）的方法得,EF=x,21CG=-(10-x),11???DG=CD+CG=6+5-2x=11-2x，<31R3x)=-X2+—84(0<31R3x)=-X2+—84(0VxV10).△DEF222【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的應(yīng)用,運用相似三角形的性質(zhì)是解決第（2）小題的關(guān)鍵．2?如圖，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點C為頂點的拋物線經(jīng)過點A,點P是拋物線上點A、C間的一個動點（含端點），過點P作PF丄BC于點F,點D、E的坐標(biāo)分別為（0,6）,（-4,0）,連接PD,PE,DE.11求拋物線的解析式；小明探究點P的位置是發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點P與點A或點C重合時，PD與PF的差為定值，進而猜想：對于任意一點P，PD與PF的差為定值，請你判定該猜想是否正確，并說明理由；請直接寫出△PDE周長的最大值和最小值.1【答案】(1)y=-X2+8；(2)正確，d=IPD-PFI為定值2；理由見解析；(3)△PDE周長的最大值是82J13+14,最小值是2J13+10.【解析】(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式即可；首先表示出P,F點坐標(biāo)，再利用兩點之間距離公式得出PD,PF的長，進而求出即可；過E作EF丄x軸，交拋物線于點P,求得&△PDE=ED+PE+PD=ED+PE+PF+2=ED+2+(PE+PF),當(dāng)P、E、F三點共線時，PE+PF最小；當(dāng)P與A重合時，PE+PF最大；即可解答.【詳解】(I)：?邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點C為頂點的拋物線經(jīng)過點A，???C(0，8)，A(-8，0)，設(shè)拋物線解析式為：y=ax2+c,fc=8則LanI64a+c二01?:拋物線解析式為y=-x2+8.81(2)設(shè)P(x,-x2+8),則F(x,8),8貝9PF貝9PF=8-(-X2+8)81111PD2=X2+[6-(-8X2+8)]2=64X4+"2X2+4=(§X2+2)21PD=8x2+2,11.*.d=IPD-PFI=Ix2+2-x2|=288:,d=\PD-PFI為定值2；如圖，過點E作EF丄x軸，交拋物線于點P,%由d=\PD-PFI為定值2,得Jpde=ED+PE+PD=ED+PE+PF+2=ED+2+(PE+PF),又TD(0,6),E(-4,0).DE=：62+42=辰=2???CNPDE=2+2+(PE+PF),當(dāng)PE和PF在同一直線時PE+PF最小，得CnPDE最小值=233+2+8=2<13+10.設(shè)P為拋物線AC上異于點A的任意一點，過P作PM〃x軸，交AB于點M,連接ME,如圖2.由于E是AO的中點，易證得ME>PE（當(dāng)點P接近點A時，在厶PME中，顯然ZMPE是鈍角，故ME>PE,與A重合時，等號成立），而ME<AE+AM,所以pe<ae+am.所以當(dāng)P與A重合時，PE+PF最大，AE=8-4=4,PD=AO2+DO2=82+62=10.得C“DE最大值=2近3+4+10=2+14.綜上所述，△PDE周長的最大值是2J13+14,最小值是2J13+10.【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及兩點距離公式以及配方法求二次函數(shù)最值等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出符合題意的答案是解題關(guān)鍵.3.如圖，四邊形ABCD中，AD〃BC,ZABC=90°.⑴直接填空：ZBAD=°.(2)點P在CD上，連結(jié)AP,AM平分ZDAP,AN平分ZPAB,AM、AN分別與射線BP交于點M、N.設(shè)ZDAM=a°.求ZBAN的度數(shù)(用含a的代數(shù)式表示).若AN丄BM,試探究ZAMB的度數(shù)是否為定值？若為定值，請求出該定值；若不為定值，請用a的代數(shù)式表示它.【答案】(1)90；(2［①ZBAN=(45-a)。；②ZAMB=45°.【解析】(1)依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到ZBAD的度數(shù)；⑵①根據(jù)AM平分ZDAP,ZDAM=a。，即可得到ZBAP=(90-2a)°,再根據(jù)AN平分ZPAB，即可得到1ZBAN=-(90-2a)°=(45-a)°；②根據(jù)AM平分ZDAP,AN平分ZPAB，即可得出ZMAN=ZMAP+ZPAN=45。，再根據(jù)AN丄BM,即可得到ZAMB的度數(shù)為定值.【詳解】解：(1)TAD〃BC,ZABC=90°,AZBAD=180°-90°=90°.故答案為：90；(2)①TAM平分ZDAP,ZDAM=a。，.??ZDAP=2a。，VZBAD=90°,.??ZBAP=(90-2a)。，TAN平分ZPAB,1.??ZBAN=2(90-2a)°=(45-a)。；②TAM平分ZDAP,AN平分ZPAB,11?.ZPAM=ZPAD,ZPAN=ZPAB,22111?.ZMAN=ZMAP+ZPAN=ZPAD+ZZPAB=90°=45°,222TAN丄BM,?.ZANM=90°,.??ZAMB=180°-90°-45°=45°.【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì),解題時注意：兩直線平行,同旁內(nèi)角互補.將在同一平面內(nèi)如圖放置的兩塊三角板繞公共頂點A旋轉(zhuǎn)，連接BC,DE.探究abc與S^ADC的比是否為定值.DDEE5B⑴兩塊三角板是完全相同的等腰直角三角板時，SDDEE5B⑴兩塊三角板是完全相同的等腰直角三角板時，SbABC：S'ADE是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由.（圖①）（2）—塊是等腰直角三角板，另一塊是含有30。角的直角三角板時，S、abc：S&ade是否為定值？如果是，求出此定值，如果不是，說明理由.（圖②）（3）兩塊三角板中，ZBAE+ZC4D=180。，AB=a,AE=b,AC=m,AD=n（a,b，m，n為常數(shù)），S、ABCtS、ADE是否為定值？如果是，用含a,b，m，n的式子表示此定值（直接寫出結(jié)論，不寫推理過程），如果不是，說明理由.（圖③）【答案】⑴結(jié)論：兀abc：沐L為定值?理由見解析；（2）沐ABC：沐ADE=F，為定值’理由見解析；（3）S解析；（3）S、ABC：S、ADEma=石，為定值?理由見解析.【解析】（1）結(jié)論：S“BC：S“de=定值?如圖1中，作DH丄AE于H，CG丄BA交BA的延長線于G?首先證明ZDAE=ZCAG，利用三角形的面積公式計算即可.（2）結(jié)論：SAABC：SAADE=定值?如圖1中，作DH丄AE于H，CG丄BA交BA的延長線于G?首先證明ZDAE=ZCAG，利用三角形的面積公式計算即可.（3）結(jié)論：SAABC：SaADE=定值?如圖1中，作DH丄AE于H，CG丄BA交BA的延長線于G?首先證明ZDAE=ZCAG，利用三角形的面積公式計算即可.【詳解】（1）結(jié)論：SAabc：S“de=定值.理由：如圖1理由：如圖1中，作DH丄AE于H,CG丄BA交BA的延長線于G.VZBAE=ZCAD=90°，Z.ZBAC+ZEAD=180°，ZBAC+ZCAG=180°，AZDAE=ZCAG，VAB=AE=AD=AC，

1S—ABCSaAED-?AB-AC-sin/CAG-1--1-AE-AD-sinZDAE2理由：如圖1中，作DH丄AE于H,CG丄BA交BA的延長線于G.不妨設(shè)ZADC=30°理由：如圖1中，作DH丄AE于H,CG丄BA交BA的延長線于G.不妨設(shè)ZADC=30°,則AD^.3AC,AE=AB,VZBAE=ZCAD=90°,Z.ZBAC+ZEAD=180°,ZBAC+ZCAG=180°,AZDAE=ZCAG,S—ABCSAED2?AE?AD-ZE(3)如圖3中，如圖2中，S^abc：S^ade=定值.理由：如圖1中，作DH丄AE于H,CG丄BA交BA的延長線于G.VZBAE=ZCAD=90°,.?.ZBAC+ZEAD=180。，ZBAC+ZCAG=180。,.??ZDAE=ZCAG,*.*AB=a,AE=b,AC=m,AD=nS—ABCSS—ABCSAED2-AB-AC-sinzCAG2-aead-zaemanb△【點睛】本題屬于幾何變換綜合題,考查了等腰直角三角形的性質(zhì),30度的直角三角形的性質(zhì),三角形的面積等知識,解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線,屬于中考?？碱}型．5?(解決問題)如圖1，在AABC中，AB=AC=10,CG丄AB于點G.點p是BC邊上任意一點，過點p作PE丄AB，PF丄AC，垂足分別為點E，點F.⑴若PE=3，PF=5，則AABP的面積是，CG=.猜想線段PE，PF，CG的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(變式探究)如圖2,在AABC中,若AB=AC=BC=10，點p是AABC內(nèi)任意一點，且PE丄BC,PF丄AC，PG丄AB，垂足分別為點E，點F，點G，求PE+PF+PG的值.(4)(拓展延伸)如圖(4)(拓展延伸)如圖3,將長方形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上點C落在點C處，點P為折痕EF上的任意一點，過點P作PG丄BE,PH丄BC，垂足分別為點G，點h?若AD=8,CF=3,直接寫出PG+PH的值.【答案】（1）15,8；（2）PE+PF二CG，見解析；（3）5運；（4）4【解析】解決問題（1）只需運用面積法：S=S+S，即可解決問題；AABCAABPAACP（2）解法同（1）；1（3）連接PA、PB、PC，作AM丄BC于M，由等邊三角形的性質(zhì)得出BM二-BC二5，由勾股定理得出AM='■:AB2-BM2=5P3，得出AABC的面積=~~BCxAM=25\：3，由AABC的面積=ABCP的面積+AACP的面積+AAPB的面積=1BCxPE+1ACxPF+1ABxPG=1AB（PE+PF+PG）=25爲(wèi)，即可2222得出答案；（4）過點E作EQ丄BC，垂足為Q,易證BE=BF，過點E作EQ丄BF，垂足為Q，由解決問題（1）可得PG+PH=EQ，易證EQ=DC，BF=DF，只需求出BF即可.【詳解】解：（1）TPE丄AB，AB=10，PE=311AABP的面積=—ABxPE=—x10x3=1522PE丄AB，PF丄AC，CG丄AB且S=S+SAABCAABPAACP???AB-CG=AB-PE+AC-PF???AB=AC?CG=PE+PF=3+5=8.故答案為：15，8.（2）?PE丄AB，PF丄AC，CG丄AB且S二S+SAABCAABPAACP???AB-CG二AB-PE+AC-PF???AB=AC???CG二PE+PF.(3)連接PA、pb、PC，作AM丄BC于m，如圖2所示:BEC［圖2)AB=AC=BC=10AABC是等邊三角形，AM丄BC，1.??BM二一BC二52???AM=JAB2-BM2=、：'1O2—52=5、打11——AABC的面積=—BCxAM=—x10x5弋3=25訂3PE丄BCPF丄ACPG丄AB???AABC的面積二ABCP的面積+AACP的面積+AAPB的面積1111二一BCxPE+—ACxPF+—ABxPG二一AB(PE+PF+PG2222二25J3???pE+PF+PG二寄二心(4)過點E作EQ丄BC,垂足為Q,如圖3所示:｛圖:H???四邊形abcd是矩形，???AD二BC,ZC=ZADC=90。???AD=8,CF=3???BF二BC-CF二AD-CF二5由折疊可得：DF二BF二5,ZBEF=ZDEF???ZC=90°???DC=^DF2-FC2=<52—32=4???EQ丄BC,ZC=ZADC=90°:,ZEQC=90°=ZC=ZADC???四邊形eqcd是矩形,EQ=DC=4AD//BCZDEF=ZEFBZBEF=ZDEFZBEF=ZEFBBE=BF由解決問題（1）可得：PG+PH=EQ.??PG+PH=4,即PG+PH的值為4.【點睛】本題是四邊形綜合題目考查了矩形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識考查了用面積法證明幾何問題考查了運用已有的經(jīng)驗解決問題的能力體現(xiàn)了自主探究與合作交流的新理念是充分體現(xiàn)新課程理念難得的好題．6?如圖，已知銳角△ABC中，AB、AC邊的中垂線交于點O若ZA=a(0°VaV90。)，求ZBOC；試判斷ZABO+ZACB是否為定值；若是，求出定值，若不是，請說明理由.【答案】(1)2a；(2)是定值【解析】試題分析：(1)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AO=BO=CO,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ZOAB=ZOBA,ZOCA=ZOAC，根據(jù)周角定義即可得到結(jié)論；(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到ZOBC=ZOCB，于是得到ZOBC=90°-a,根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論.解:(1)AB、AC邊的中垂線交于點O,.??AO=BO=CO,AZOAB=ZOBA,ZOCA=ZOAC,AZAOB+ZAOC=(180°-ZOAB-ZOBA)+(180°-ZOAC-ZOCA),AZAOB+ZAOC=(180°-2ZOAB)+(180°-2ZOAC)=360。-2(ZOAB+ZOAC)=360。-2ZA=360。-2a,.ZBOC=360°-(ZAOB+ZAOC)=2a；(2)ZABO+ZACB為定值，VBO=CO,.ZOBC=ZOCB,VZOAB=ZOBA,ZOCA=ZOAC,.ZOBC=(180°-2ZA)=90°-a,?.?ZABO+ZACB+ZOBC+ZA=180°,.ZABO+ZACB=180°-a-(90°-a)=90°.【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì),周角的定義,三角形的內(nèi)角和,等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵.7.OO的直徑AB=15cm，有一條定長為9cm的動弦，CD在弧AB上滑動（點C和A、點D與B不重合），且CE丄CD交AB于E,DF丄CD交AB于F.（1）求證：AE=BF（2）在動弦CD滑動過程中，四邊形CDFE的面積是否為定值，若是定值，請給出證明，并求這個定值，若不是，請說明理由.【答案】（1）見解析；（2）四邊形CDFE面積是定值，證明見解析.【解析】1）要證:AE=BF,就要從點O向CD作垂線，然后利用垂徑定理和平行線等分線段定理可知AE=BF；（2）是定值，要求四邊形的面積就要分析這個四邊形是什么形狀的，從圖中可以看出是梯形，那就要利用梯形的計算公式計算，即（上底+下底）x高一2,從圖中給出的數(shù)量關(guān)系可知，上底加下底是定值，高也是定值，所以面積是定值.【詳解】（1）如圖，過O作OG丄CD于G，則G為CD的中點，又EC丄CD，F(xiàn)D丄CD,.??EC〃OG〃FD,???O為EF的中點，即OE=OF,又AB為0O的直徑，.OA=OB,???AE=BF（等式性質(zhì)），（2）四邊形CDFE的面積是定值,理由如下過點O作OG丄CD于G,連接0D.則DG二-CD二4.5cm.2在^OGD中,ZOGD二90,OD=-AB=7.5cm,根據(jù)勾股定理得OG=^7.52-4.52=6cm,則GD=4.5cm.?：OD、DG是定值，???OG是定值，：CEIIOGIIDF,G為CD中點，?O為EF中點，當(dāng)CD與AB不平行時.???OG為梯形CDFE的中位線，???CE+DF=2OG=2x6=12cm,:,梯形的高也是定值9cm,???梯形的面積是定值=12x9v2=54cm2.當(dāng)CDIAB時，四邊形ECDF是矩形，OG=EC=FD=6,??矩形的面積=6x9=54cm2是定值.綜上所述，四邊形CDFE的面積是定值.【點睛】考查了垂徑定理和平行線的性質(zhì)，要學(xué)會幾何圖形的綜合應(yīng)用的解法，充分利用已知條件求證結(jié)論.如圖，動點-T在以。為圓心，一二為直徑的半圓弧上運動(點二不與點；三及】三的中點F重合),連接：T?過點-T作丄三—三于點三，以三三為邊在半圓同側(cè)作正方形三二■疋，過■■點作二二的切線交