積微精課201715講巧用基本不等式基本不等不等式成立的條等號(hào)成立的條2利用基本不等式求最大、最如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值簡(jiǎn)記：“和定簡(jiǎn)記：“和定4 (2)ab≤(ab)2(ab)

，b∈R)； ≤

2(a，b同號(hào) 4、在用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，關(guān)鍵在于將函數(shù)變形為兩項(xiàng)和或積的形式，然后利用基本不等式求出，另后用例題精例1、若正數(shù)x，y滿足xy+2x+y=8，則x+y的最小值等 解析：正x，y 4， 當(dāng)且僅當(dāng)x+1= 即x= 例2、已知x，y，z∈（0，+∞）且x2+y2+z2=1，則3xy+yz的最大值 解析：由 1=x2+y2+z2=（x2+y2）+（y2+z2）≥6xy+2yz=∴3xy+yz≤∴3xy+yz的最大值為 的最小值 a解析：∵a，b，c是正實(shí)數(shù)，滿足∴≥+= =（ （當(dāng)且僅當(dāng)b+c=a且 )例4、已知正實(shí)數(shù)x，y，z滿足2x(x11＝y(tǒng)z，則(x1)(x1)的最小值 ) (x1)(x1)＝x2＋x＋x1＝x(x11)1 2x(x11)＝y(tǒng)z，則(x1)(x1)＝y(tǒng)z1 又因?yàn)閤，y，z為正實(shí)數(shù)，所以yz＋1 yz·1＝2，當(dāng)且僅當(dāng)yz＝2時(shí)，等號(hào)成立所以(x1)(x1)的最小值為

1例5、若正實(shí)數(shù)x，y滿足(2xy-1)2=(5y+2)(y-2)，則x+2y的最大值 1方法一：x+2y ，2xy2y-1，代入(2xy-1)2(5y2)(y-2)，整理得(4z-5)y-8(-1)y+8=0（*y-2≥0，該方程在[2+∞)上有解，故Δ≥064(-1)-32(4z2-5)≥0，化簡(jiǎn)得2z24-，232故0<z≤- 223222檢驗(yàn)：當(dāng) -1時(shí)，方程(*)可化為(17-222

)y2- -12122-17-12此時(shí) 17-121

故方程必有大于2的實(shí)根，所以x+2y

-33方法二：(22xy-1)2=(5y+2)(y- 1即

111= - 2y

y2y

1 ，x- ，+成等比數(shù)列，設(shè)公比 >1)，將x，用q表示 2y 2 22則x+2y=q21+2=q-12

2+2 +1時(shí)等號(hào)成立例6、若實(shí)數(shù)x,y滿足xy3x3(0x1),則3 的最小值 yxy3x3(0x1y33x33(0x1y

1 y

y31626xy3，所以 y yy

y y當(dāng)且僅當(dāng)y31即y4,x3時(shí)，3 的最小值為 y5例7、已知a0,b0,c2，且ab2，則accc 的最小值 555)解析：accc c(a1155) 2c c

2c5∵c0，所以要使accc 取最小值，則需a11取最小5ab2

(ab)24

c 5(a55a4b2得a11a 1aab5a5a4b2 5a

51,b55 5

55又因?yàn)閏2c255所以accc 5

c

555(c 5555(c2)25c c5(c2)25c5 51055當(dāng)且僅當(dāng)5(c2)5 c55

，即c2 時(shí)等號(hào)成25555，c2 時(shí)，accc 的最小值255552,b2 2c1x＞0，y＞0，則

課后練習(xí)（6，30分鐘 2、若a，b均為正實(shí)數(shù)，且a＋b－a≤mb恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值 3、設(shè)x，y均為正實(shí)數(shù)，且3＋3＝1，則xy的最小值 4、已知x>0，y>0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，則實(shí)數(shù)m的最大值 5、設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足x2+2xy-1=0，則x2+y2的最小值 6、已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足111，1111，則實(shí)數(shù)c的取值范圍 1

答、解析：設(shè)＝、解析：設(shè)＝t＞0，則 ＋ ＋(2t＋1)－ ＝2－

1

a(a 2a，bab－a≤mbm＞0，b≥a，兩邊平方得a＋b－a＋2a（b－a）≤m2bb＋2a（ba(a 于是 ，令＝t(0＜t≤1)，則mbm2≥1＋2(t1)21

0＜t≤1時(shí)恒成立故的最小值為3、解析：由已知解出y＝3x＋2－2，那么xy＝x3(x2)2]＝3xx＋2－2x＝x＋9＋99 x1 x>1時(shí)，x－1>0，x＋9＋9＝(x－1)＋9＋9 當(dāng)且僅x－1＝9，即x＝4時(shí)等號(hào)成立，故所求最小值為4、解析：∵xy＝x＋2y≥22xy，∴(xy)2－22xy≥0，∴xy≥22或xy≤0(舍去xy≥m－2恒成立，只需(xy)min≥m－2成立即可．m－2≤8m≤10，∴m10.5 1-x2 55解析方法一：由x2+2xy-1=0，得y= 從而 = + - 4 2x 145當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成145方法二：由x2+2xy-1=0，得1-x2=2xy≤mx2+ny2，其中mn=1(m，n>0)，所以(m+1)x2+ny2≥1，令m+1=n，與聯(lián)立解得

51，從而 15 156、解法一：由111得ab 1 1 111，即abab 由 1得 c b cab 1c 由均值不等式ab