高三立體幾何單元測試卷及詳盡問題詳解高三立體幾何單元測試卷及詳盡問題詳解高三立體幾何單元測試卷及詳盡問題詳解合用標(biāo)準(zhǔn)立體幾何單元測試卷一、選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分．每題中只有一項吻合題目要求)1．設(shè)m，n是兩條不相同的直線，α，β是兩個不相同的平面，則以下四個命題：①若α∥β，m?α，則m∥β；②若m∥α，n?α，則m∥n；③若α⊥β，m∥α，則m⊥β；④若m⊥α，m∥β，則α⊥β.其中為真命題的是()A．①③B．②③C．①④D．②④2．用與球心距離為1的平面去截球，所得的截面面積為π，則球的體積為()8π82πA.3B.332πC．82πD.33．某個長方體被一個平面所截，獲取幾何體的三視圖以下列圖，則這個幾何體的體積為()A．4B．2220C.3D．84.以下列圖，正四棱錐P－ABCD的底面積為，體積為2，E為側(cè)棱PC32的中點(diǎn)，則PA與BE所成的角為()文檔大全合用標(biāo)準(zhǔn)ππA.6B.4ππC.3D.25．直三棱柱ABC－A1B1C1的直觀圖及三視圖以以下列圖所示，D為AC的中點(diǎn)，則以下命題是假命題的是()A．AB1∥平面BDC1B．A1C⊥平面BDC1C．直三棱柱的體積V＝4D．直三棱柱的外接球的表面積為43π.以下列圖是一個直徑等于4的半球，現(xiàn)過半球底面的中心作一個與底面成80°角的截面，則截面的面積為()πA.2B．πC．2πD．πsin80°7．一個圓錐被過極點(diǎn)的平面截去了較小的一部分，余下的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的表面積為()文檔大全合用標(biāo)準(zhǔn)＋33π3π3π＋＋1B．25＋33π＋＋1A.522233π3π33ππC.5＋2＋2D.5＋2＋2＋18．二面角的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝217，則該二面角的大小為()A．150°B．45°C．60°D．120°以下列圖，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB＝90°，M為AB的中點(diǎn)，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A．PA＝PB>PCB．PA＝PB<PCC．PA＝PB＝PCD．PA≠PB≠PC10．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BB1中點(diǎn)，G是DD1中點(diǎn)，F(xiàn)是1BC上一點(diǎn)且FB＝4BC，則GB與EF所成的角為()A．30°B．120°C．60°D．90°11．已知正方體ABCD－A1B1C1D1棱長為1，點(diǎn)P在線段BD1上，當(dāng)∠APC最大時，三棱錐P－ABC的體積為()文檔大全合用標(biāo)準(zhǔn)11A.24B.1811C.9D.12已知正三棱錐P—ABC的高PO為h，點(diǎn)D為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，PO與2BD所成角的余弦值為3，則正三棱錐P—ABC的體積為()333233A.8hB.8h33333C.8hD.4h二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)13．已知四個命題：①若直線l∥平面α，則直線l的垂線必平行于平面α；②若直線l與平面α訂交，則有且只有一個平面經(jīng)過直線l與平面α垂直；③若一個三棱錐每兩個相鄰側(cè)面所成的角都相等，則這個三棱錐是正三棱錐；④若四棱柱的任意兩條對角線訂交且互相均分，則這個四棱柱為平行六面體．其中正確的命題是________．14．(2013·蘇江)以下列圖，在三棱柱111－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是ABC1的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐F－ADE的體積為V1，三棱柱A111－ABC的AB，AC，AABC體積為V2，則V1∶V2＝________.15．(2012·遼寧)已知正三棱錐P－ABC，點(diǎn)P，A，B，C都在半徑為3的球面上，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，則球心到截面ABC的距離為________．16．如圖是一幾何體的平面張開圖，其中ABCD為正方形，E、F、分別為文檔大全合用標(biāo)準(zhǔn)PA、PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面四個結(jié)論：①直線BE與直線CF異面；②直線BE與直線AF異面；③直線EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正確的有______個．三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)以下列圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O為AC的中點(diǎn)，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M為PD的中點(diǎn)．(1)證明：PB∥平面ACM；(2)證明：AD⊥平面PAC；(3)求直線AM與平面ABCD所成角的正切值．18．(本小題滿分12分)以下列圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，AB＝4，PA＝3，A點(diǎn)在PD上的射影為G點(diǎn)，E點(diǎn)在AB上，平面PEC⊥平面PCD.(1)求證：AG∥平面PEC；文檔大全合用標(biāo)準(zhǔn)(2)求AE的長；(3)求二面角E－PC－A的正弦值．19．(本小題滿分12分)以下列圖，在六面體ABC－DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，ED⊥DG，EF∥DG.且AB＝AD＝DE＝DG＝2，AC＝EF＝1.(1)求證：BF∥平面ACGD；(2)求二面角D－CG－F的余弦值．20．(本小題滿分12分)以下列圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1＝2，D為AB的中點(diǎn)，且CD⊥DA1.(1)求證：BB1⊥面ABC；(2)求多面體DBC－A1B1C1的體積；(3)求二面角C－DA1－C1的余弦值．21．(本小題滿分12分)以下列圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.(1)若D為AA1的中點(diǎn)，求證：平面B1CD⊥平面B1C1D；(2)若二面角B1－DC－C1的大小為60°，求AD的長．22．(本小題滿分12分)以下列圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA＝PD＝2，PA⊥PD，底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O為AD中點(diǎn)．文檔大全合用標(biāo)準(zhǔn)(1)求直線PB與平面POC所成角的余弦值；(2)求B點(diǎn)到平面PCD的距離；6(3)線段PD上可否存在一點(diǎn)Q，使得二面角Q－AC－D的余弦值為3？若PQ存在，求出QD的值；若不存在，請說明原由．立體幾何單元測試卷答案一、選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分．每題中只有一項吻合題目要求)1．答案C剖析①為空間面面平行的性質(zhì)，是真命題；②m，n可能異面，故該命題為假命題；③直線m與平面β也可以平行也可以訂交不垂直．故該命題是一個假命題；④為真命題．應(yīng)選C.2．答案B剖析S圓＝πr2＝1?r＝1，而截面圓圓心與球心的距離d＝1，∴球的半徑為R＝r2＋d2＝2.4382π∴V＝3πR＝3，應(yīng)選B.3．答案D剖析由三視圖可知，該幾何體以下列圖，其底面為正方形，正方形的邊長為＝3，BF＝1，將相同的兩個幾何體放在一起，構(gòu)成一個高為4的長方體，1因此該幾何體的體積為2×2×2×4＝8.文檔大全合用標(biāo)準(zhǔn)4.答案C剖析連接AC、BD交于點(diǎn)O，連接OE，易得OE∥PA.∴所求角為∠BEO.612由所給條件易得OB＝2，OE＝2PA＝2，BE＝2.1∴cos∠OEB＝2，∴∠OEB＝60°，選C.5．答案D剖析由三視圖可知，直三棱柱ABC－A111的側(cè)面B11CB是邊長為2的BCC正方形，底面ABC是等腰直角三角形，AB⊥BC，AB＝BC＝2.連接B1C交BC1于點(diǎn)O，連接AB1，OD.在△CAB1中，O，D分別是B1C，AC的中點(diǎn)，∴OD∥AB1，∴AB1∥平面BDC1.故A正確．直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BD.又AB＝BC＝2，D為AC的中點(diǎn)，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面AA1C1C.∴BD⊥A1C.又A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，∴A1B1⊥平面B1C1CB，∴A1B1⊥BC1.∵BC1⊥B1C，且A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面A1B1C.∴BC1⊥A1C，∴A1C⊥平面BDC1.1故B正確．V＝S△ABC×C1C＝2×2×2×2＝4，∴C正確．文檔大全合用標(biāo)準(zhǔn)此直三棱柱的外接球的半徑為3，其表面積為12π，D錯誤．應(yīng)選D.6.答案C剖析過半球底面的中心作一個與底面成80°的截面，截面是球的半個大圓，12半徑為2，因此截面面積S＝2×π×2＝2π，應(yīng)選C.7．答案A剖析還原為直觀圖以下列圖，圓錐的高為2，底面半徑為2，圓錐的母線113長為6，故該幾何體的表面積為S＝2×2×5＋2×2π×2×4×6＋23133π3ππ×(2)×＋×2×1＝5＋2＋2＋1.428．答案C→→→→＝0，剖析由條件，知CA·＝0，AB·ABBD→→→→CD＝CA＋AB＋BD.→2→2→2→2→→→→→→222＋∴|CD＝|CA＋|AB＋|BD＋2CA·＋2AB·＋2CA·＝6＋4＋8||||ABBDBD→→17)2→→→→2×6×8cos〈CA，BD〉＝(2∴〈，BD〉＝－1，〈CA，BD〉＝120°，.cosCA2∴二面角的大小為60°，應(yīng)選C.9.答案C剖析∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，△ACB為直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC.10．文檔大全合用標(biāo)準(zhǔn)答案D剖析方法一：連D1E，D1F，解三角形D1EF即可．方法二：如圖建立直角坐標(biāo)系D－xyz，設(shè)DA＝1，由已知條件，得113→1→1G(0,0，2)，B(1,1,0)，E(1,1，2)，F(xiàn)(4，1,0)，GB＝(1,1，－2)，EF＝(－4，0，1－2)．→→→→→→應(yīng)選cos〈GB，EF〉＝GB·EF＝0，則GB⊥EF.D.→→|GB||EF|11．答案B剖析以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA為x軸，BC為y軸，BB1為z軸建立空間直角→→→→AP·CP1坐標(biāo)系，設(shè)BP＝λBD1，可得P(λ，λ，λ)，再由cos∠APC＝→→可求適合λ＝3|AP||CP|1111時，∠APC最大，故VP－ABC＝3×2×1×1×3＝18.12.答案C剖析設(shè)底面邊長為a，連接CO并延長交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DE∥PO2交CF于點(diǎn)E，連接BE，則∠BDE為PO與BD所成的角，∴cos∠BDE＝3.∵文檔大全合用標(biāo)準(zhǔn)PO⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC，即△BED是直角三角形，∵點(diǎn)D為側(cè)棱PCh14322的中點(diǎn)，∴DE＝2，∴BE＝4h.易知EF＝3a，則在Rt△BEF中，BE＝EF2，即a2＋a2722321133233＋FB34＝h，∴a＝h，∴VP－ABC＝××a×2a×h＝12ah＝8h，8232應(yīng)選C.二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)13．答案④剖析④正確，如右圖，A1C與B1D互相均分，則四邊形A1B1CD是平行四邊形，同理四邊形ABC1D1是平行四邊形，則A1B1綊AB綊CD，因此四邊形ABCD是平行四邊形，進(jìn)而可得這個四棱柱為平行六面體．14．答案1∶24剖析由題意可知點(diǎn)F到面ABC的距離與點(diǎn)A1到面ABC的距離之比為1∶2，S△ADE∶S△ABC＝1∶4.13AF·S△AED因此V1∶V2＝2AF·S△ABC＝1∶24.315．答案3剖析正三棱錐P－ABC可看作由正方體PADC－BEFG截得，以下列圖，PF為三棱錐P－ABC的外接球的直徑，且PF⊥平面ABC.文檔大全合用標(biāo)準(zhǔn)設(shè)正方體棱長為a，則3a2＝12，a＝2，AB＝AC＝BC＝22.△＝1×22×22×3＝23.SABC22由V－＝V－PAC，得1··△＝1×1×2×2×2，因此h＝23，因此球心PABCB3hSABC3233到平面ABC的距離為3.16．答案2剖析將幾何體張開圖拼成幾何體(如圖)，由于E、F分別為PA、PD的中點(diǎn)，因此EF∥AD∥BC，即直線BE與CF共面，①錯；由于B?平面PAD，E∈平面PAD，E?AF，因此BE與AF是異面直線，②正確；由于EF∥AD∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC，因此EF∥平面PBC，③正確；平面PAD與平面BCE不用然垂直，④錯．三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．答案(1)略(2)略(3)455剖析(1)連接BD，MO，在平行四邊形ABCD中，由于O為AC的中點(diǎn)，因此O為BD的中點(diǎn)．又M為PD的中點(diǎn)，因此PB∥MO.由于PB?平面ACM，MO?平面ACM，因此PB∥平面ACM.文檔大全合用標(biāo)準(zhǔn)(2)由于∠ADC＝45°，且AD＝AC＝1，因此∠DAC＝90°，即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，因此PO⊥AD.而AC∩PO＝O，因此AD⊥平面PAC.(3)取DO中點(diǎn)N，連接MN，AN.由于M為PD的中點(diǎn)，因此MN∥PO，且1MN＝2PO＝1.由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD，因此∠MAN是直線AM15與平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，AD＝1，AO＝2，因此DO＝2.進(jìn)而15MN＝1＝45，即直線AM與平面AN＝2DO＝4.在Rt△ANM中，tan∠MAN＝AN5545ABCD所成角的正切值為5.18．3632答案(1)略(2)25(3)10剖析(1)證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥AG.又PD⊥AG，∴AG⊥平面PCD.作EF⊥PC于點(diǎn)F，連接GF，∵平面PEC⊥平面PCD，∴EF⊥平面PCD.∴EF∥AG.又AG?平面PEC，EF?平面PEC，∴AG∥平面PEC.(2)解：由(1)知A、E、F、G四點(diǎn)共面，又AE∥CD，AE?平面PCD，CD?平面PCD，文檔大全合用標(biāo)準(zhǔn)∴AE∥平面PCD.又∵平面AEFG∩平面PCD＝GF，∴AE∥GF.又由(1)知EF∥AG，∴四邊形AEFG為平行四邊形，∴AE＝GF.12∵PA＝3，AD＝4，∴PD＝5，AG＝5.9又PA2＝PG·PD，∴PG＝5.GPPG9×436365又CD＝PD，∴GF＝5＝25，∴AE＝25.(3)解：過E作EO⊥AC于點(diǎn)O，連接OF，易知EO⊥平面PAC，又EF⊥PC，∴OF⊥PC.∴∠EFO即為二面角E－PC－A的平面角．＝·36×2＝182，又EF＝AG＝12，EOAEsin45＝°252255EO182532∴sin∠EFO＝EF＝25×12＝10.19．答案(1)略(2)66剖析方法一：(1)設(shè)DG的中點(diǎn)為M，連接AM，F(xiàn)M.則由已知條件易證四邊形DEFM是平行四邊形．∴MF∥DE，且MF＝DE.∵平面ABC∥平面DEFG，∴AB∥DE.∵AB＝DE，∴MF∥AB，且MF＝AB，∴四邊形ABFM是平行四邊形．∴BF∥AM.又BF?平面ACGD，AM?平面ACGD，故BF∥平面ACGD.(2)由已知AD⊥平面DEFG，∴DE⊥AD.又DE⊥DG，且AD∩DG=D,∴DE⊥平面ADGC.∵M(jìn)F∥DE，∴MF⊥平面ADGC.在平面ADGC中，過M作MN⊥GC，垂足為N，連接NF，則∠MNF為所文檔大全合用標(biāo)準(zhǔn)求二面角的平面角．連接CM.∵平面ABC∥平面DEFG，∴AC∥DM.又AC＝DM＝1，因此四邊形ACMD為平行四邊形，∴CM∥AD，且CM＝AD＝2.∵AD⊥平面DEFG，∴CM⊥平面DEFG，∴CM⊥DG.在Rt△CMG中，∵CM＝2，MG＝1，∴MN＝CM·MG＝2＝25CG55.在Rt△CMG中，5∵M(jìn)F＝2，MN＝5，4230∴FN＝4＋5＝5.255∴cos∠MNF＝MN＝＝6FN2306.5∴二面角D－CG－F的余弦值為66.方法二：由題意可得，AD，DE，DG兩兩垂直，故可建立以下列圖的空間直角坐標(biāo)系．則A(0,0,2)，B(2,0,2)，C(0,1,2)，E(2,0,0)，G(0,2,0)，F(xiàn)(2,1,0)．→→→(1)BF＝(2,1,0)－(2,0,2)＝(0,1，－2)，CG＝(0,2,0)－(0,1,2)＝(0,1，－2)，∴BF→CG.∴BF∥CG.文檔大全合用標(biāo)準(zhǔn)又BF?平面ACGD，故BF∥平面ACGD.→(2)FG＝(0,2,0)－(2,1,0)＝(－2,1,0)．設(shè)平面BCGF的法向量為n1＝(x，y，z)，→n1·CG＝y(tǒng)－2z＝0，則→n1·FG＝－2x＋y＝0.令y＝2，則n1＝(1,2,1)．則平面ADGC的法向量n2＝(1,0,0)．n1·n2∴cos〈n1，n2〉＝|n1|·|n2|＝221×122＝6226.1＋2＋1×1＋0＋0D－CG－F的余弦值為6由于所求的二面角為銳二面角，∴二面角6.20．答案(1)略(2)10(3)1535剖析(1)證明：∵AC＝BC，D為AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB.又CD⊥DA1，AB∩A1D＝D，∴CD⊥面AA1B1B.∴CD⊥BB1.又BB1⊥AB，AB∩CD＝D，∴BB1⊥面ABC.解：V多面體DBC－111＝V棱柱ABC－A111－V棱錐A1－ADC(2)ABCBC＝S△ABC·1－1△ADC·1＝△ABC·1－1×1△ABC·1＝5△ABC·1＝|AA|3S|AA|S|AA|32S|AA|6S|AA|103.(3)文檔大全合用標(biāo)準(zhǔn)→→→解：以C為原點(diǎn)，分別以CB，CC1，CA的方向為x軸，y軸，z軸的正向，建立空間直角坐標(biāo)系(以下列圖)，則C(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0,0,2)，C1(0,2,0)，A1(0,2,2)．∴D(1,0,1)．→＝0，1·CD設(shè)n1＝(x1，y1，z1)是平面DCA1的一個法向量，則有→即n1·CA1＝0，x1＋z1＝0，1＋2z1＝0.2yx1＝－z1，∴1＝－z1故可取n1＝(1,1，－1)．y.→→同理設(shè)n2＝(x2，y2，z2)是平面DC1A1的一個法向量，且C1D＝(1，－2,1)，C1A1(0,0,2)．→n2·C1D＝0，x2－2y2＋z2＝0，則有即→2z2＝0.n2·C1A1＝0，x2＝2y2，∴故可取n2＝(2,1,0)．z2＝0.n·n315∴cos〈n1，n2〉＝12＝＝.|n1||n25|3×515又二面角C－DA1－C1的平面角為銳角，因此其余弦值為5.21．答案(1)略(2)2剖析(1)方法一：證明：∵∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，∴B1C1⊥A1C1.又由直三棱柱的性質(zhì)知B1C1⊥CC1，∴B1C1⊥平面ACC1A1.∴B1C1⊥CD.①由D為AA1的中點(diǎn)，可知DC＝DC1＝2.文檔大全合用標(biāo)準(zhǔn)222.②∴DC＋DC1＝CC1，即CD⊥DC1由①②可知CD⊥平面B1C1D.又CD?平面B1CD，故平面B1CD⊥平面B1C1D.(2)解：由(1)可知B1C1⊥平面ACC1A1，在平面ACC1A1內(nèi)過C1作C1E⊥CD，交CD或其延長線于E，連接EB1，∴∠B1EC1為二面角B1－DC－C1的平面角．∴∠B11＝60°.EC由B1C1＝2知，C1＝2＝23Etan60°3.設(shè)AD＝x，則DC＝x2＋1.223∵△DC1C的面積為1，∴2·x＋1·3＝1.解得x＝2，即AD＝2.方法二：(1)證明：以下列圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA、CB、CC1所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則→→C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)，即C1B1＝(0,2,0)，DC1＝(－→1,0,1)，CD＝(1,0,1)．→→由CD·C1B1＝(1,0,1)(0,2,0)·＝0，得CD⊥C1B1.→→由CD·DC1＝(1,0,1)(－·1,0,1)＝0，得CD⊥DC1.又DC1∩C1B1＝C1，∴CD⊥平面B1C1D.又CD?平面B1CD，∴平面B1CD⊥平面B1C1D.→→(2)解：設(shè)AD＝a，則D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0，a)，CD＝(1,0，a)，CB