《熱力學(xué)統(tǒng)計物理》期末復(fù)習(xí)一、簡答題1、寫出焓、自由能、吉布斯函數(shù)的定義式及微分表達式（只考慮體積變化功）答：焓的定義H=U+PV，焓的全微分dH=TdS+VdP；自由能的定義F=U-TS，自由能的全微分dF=-SdT-PdV；吉布斯函數(shù)的定義G=U-TS+PV，吉布斯函數(shù)的全微分dG=-SdT+VdP。2、什么是近獨立粒子和全同粒子？描述近獨立子系統(tǒng)平衡態(tài)分布有哪幾種？答：近獨立子系統(tǒng)指的是粒子之間的相互作用很弱，相互作用的平均能量遠小于單個粒子的平均能量，所以能夠忽略粒子之間的相互作用。全同粒子組成的系統(tǒng)就是由擁有完好相同的屬性（同樣的質(zhì)量、電荷、自旋等）的同類粒子組成的系統(tǒng)。描述近獨立子系統(tǒng)平衡態(tài)分布有費米-狄拉克分布、玻色-愛因斯坦分布、玻耳茲曼分布。3、簡述平衡態(tài)統(tǒng)計物理的基本假設(shè)。答：平衡態(tài)統(tǒng)計物理的基本假設(shè)是等概率原理。等概率原理認為，對于處于平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。它是統(tǒng)計物理的基本假設(shè)，它的正確性由它的各種推論都與客觀實質(zhì)切合而獲取必定。4、什么叫特點函數(shù)？請寫出簡單系統(tǒng)的特點函數(shù)。答：馬休在1869年證明，若是適當選擇獨立變量（稱為自然變量），只要知道一個熱力學(xué)函數(shù)，就可以經(jīng)過求偏導(dǎo)數(shù)而求得平均系統(tǒng)的全部熱力學(xué)函數(shù)，進而把平均系統(tǒng)的平衡性質(zhì)完好確定。這個熱力學(xué)函數(shù)稱為特點函數(shù)。簡單系統(tǒng)的特點函數(shù)有內(nèi)能U=U（S、V），焓H=H（S、P），自由能F=F（T、V），吉布斯函數(shù)G=G（T、P）。5、什么是μ空間？并簡單介紹粒子運動狀態(tài)的經(jīng)典描述。答：為了形象的描述粒子的運動狀態(tài)，用q1,,qr；p1,,pr共2r個變量為直角坐標，組成一個2r維空間，稱為μ空間。粒子在某一時辰的力學(xué)運動狀態(tài)q1,,qr；p1,,pr可用μ空間的一個點表示。6、試說明應(yīng)用經(jīng)典能量均分定理求得的理想氣體的內(nèi)能和熱容量中哪些結(jié)論與實驗不符（最少例舉三項）。答：第一、原子內(nèi)的電子對氣體的熱容量為什么沒有貢獻；第二、雙原子分子的振動在常溫范圍內(nèi)為什么對熱容量沒有貢獻；第三、低溫下氫的熱容量所得結(jié)果與實驗不符。這些結(jié)果都要用量子理論才能講解。7、寫出玻耳茲曼關(guān)系，并據(jù)此給出熵函數(shù)的統(tǒng)計意義。答：玻耳茲曼關(guān)系：S=klnΩ熵函數(shù)的統(tǒng)計意義：微觀態(tài)數(shù)的多少反響系統(tǒng)有序程度的高低。微觀態(tài)數(shù)增加就是有序程度的降低或是凌亂程度增加，相應(yīng)地熵增加；反之，微觀態(tài)數(shù)減少就是有序程度的增加或凌亂度減少，相應(yīng)地熵減少?！办厥切亟笙到y(tǒng)有序程度的量”有了明確定量意義。8、簡述開系、閉系以及孤立系的定義。答：熱力學(xué)研究的對象是由大量微觀粒子（分子或其他粒子）組成的宏觀物質(zhì)系統(tǒng)。與系統(tǒng)發(fā)生相互作用的其他物體成為外界。依照系統(tǒng)與外界相互作用的狀況，能夠作以下區(qū)分：與其他物體既沒有物質(zhì)交換也沒有能量交換的系統(tǒng)稱為孤立系；與外界有能量交換，但沒有物質(zhì)交換的系統(tǒng)稱為閉系；與外界極有能量交換，又有物質(zhì)交換的系統(tǒng)稱為開系。9、判斷孤立系統(tǒng)可否處于平衡態(tài)的基根源則以及熵判據(jù)。答：基根源則：能夠設(shè)想系統(tǒng)圍繞該狀態(tài)發(fā)生各種可能的虛變動，而比較由此引起熱力學(xué)函數(shù)的變化，依照熱力學(xué)函數(shù)處在平衡態(tài)時的性質(zhì)來判斷系統(tǒng)的狀態(tài)。熵判據(jù)：孤立系統(tǒng)中發(fā)生的任何宏觀過程，都朝著使系統(tǒng)的熵增加的方向進行。若是孤立系統(tǒng)已經(jīng)達到了熵為極大的狀態(tài)，就不能能再發(fā)生任何宏觀的變化，系統(tǒng)就達到了平衡態(tài)。所以孤立系統(tǒng)/處在牢固平衡狀態(tài)的必要和充分條件為：S12S0。210、寫出熵判據(jù)的內(nèi)容。答：孤立系統(tǒng)的熵永不減少，過程進行時熵增加，直到熵達到最大值，系統(tǒng)處于平衡態(tài)。11、試寫出熱力學(xué)第二定律的克氏表述和開氏表述內(nèi)容.答：克勞修斯表述：不能能把熱量從低溫物體傳到高溫物體而不引起其他變化。開爾文表述：不能能從單一熱源吸取熱量使之完好變?yōu)檫m用功而不引起其他變化。12、寫出等概率原理的內(nèi)容。答：處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。13、熱力學(xué)第二定律的兩種表述及其數(shù)學(xué)表達式。答：（開爾文表述）不能能制造出這樣一種循環(huán)工作的熱機，它只使單一熱源冷卻來做功，而不放出熱量給其他物體，或者說不是外界發(fā)生任何變化。（克勞修斯表述）不能能把熱量從低溫物體自動傳到高溫物體而不引起外界的變化。用數(shù)學(xué)式表示為：14、簡述等概率原理

dUTdSdW。答：對于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。該原理是統(tǒng)計物理中一個基本的假設(shè)。15、什么是能量均分定理？答：對于處在溫度為T的平衡狀態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，粒子能量中的每一個平方項的平均值等于1kT。這是依照經(jīng)典玻耳茲曼2分布導(dǎo)出的一個重要定理。16、什么是微觀粒子的全同性原理？答：該原理指出，全同粒子是不能分辨的，在含有多個全同粒子的系統(tǒng)中，將任何兩個全同粒子加以對換，不改變整個系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)。17、寫出玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)、費米系統(tǒng)這三個系統(tǒng)分布{al}的表達式答：三個系統(tǒng)的分布{al}的表達式分別為：玻耳茲曼系統(tǒng)：allel；玻色系統(tǒng)：alell

費米系統(tǒng)：1lale118、簡述卡諾定理的內(nèi)容。答：卡諾定理指出：全部工作于同樣高溫?zé)嵩春偷蜏責(zé)嵩吹目ㄖZ機，以可逆的卡諾機的效率為最大，可任。19、吉布斯函數(shù)的定義及其物理意義答：吉布斯函數(shù)定義為：GUTSPV。吉布斯函數(shù)是一個態(tài)函數(shù),它的變化能夠用可逆的等溫等壓過程中的除體積功以外的功來量度。20、統(tǒng)計物理基本假設(shè)是什么？答：統(tǒng)計物理基本假設(shè)是就是等概率原理,即孤立系統(tǒng)平衡態(tài)時各種可能的微觀態(tài)出現(xiàn)的概率均等。21、簡述熱力學(xué)平衡態(tài)答：孤立系統(tǒng)，不論其初態(tài)如何復(fù)雜，經(jīng)過足夠長的時間后，將會達到各種宏觀性質(zhì)長時間內(nèi)不隨時間變化的狀態(tài)，這樣的狀態(tài)叫熱力學(xué)平衡態(tài)。22、表達自由能的定義及其物理意義答：自由能的定義FUTS。自由能是個態(tài)函數(shù)，它的變化能夠用可逆等溫過程中的功來量度。23、簡述等概率原理的基本內(nèi)容答：孤立系統(tǒng)處于平衡態(tài)時，全部可能出現(xiàn)的微觀態(tài)的概率均相等。24、玻耳茲曼關(guān)系及其物理意義kln，系統(tǒng)愈趨于平衡態(tài)，微觀態(tài)數(shù)愈多，熵越大，所以熵是凌亂度的量度。25、寫出熱力學(xué)第二定律的開爾文表述內(nèi)容。有人利用地球表面和地球內(nèi)部溫度不同樣，做一個熱機來發(fā)電，稱地?zé)岚l(fā)電，把地球內(nèi)部能量邊為適用的電能，這可否違犯熱力學(xué)第二定律。答：開爾文表述：不能能從單一熱源吸取熱量使之完好變?yōu)檫m用功而不引起其他變化。由于地球表面和地球內(nèi)部的溫度不同樣，不是單一熱源，所以不違犯熱力學(xué)第二定律26、簡述玻耳茲曼系統(tǒng)、玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)有什么差異和聯(lián)系？差異：由費米子組成的系統(tǒng)稱為費米系統(tǒng)，依照泡利不相容原理；由玻色子組成的系統(tǒng)稱為玻色系統(tǒng)，不受泡利不相容原理的拘束；把可分辨的全同近獨立粒子組成，且處在一個個體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制的系統(tǒng)稱為玻耳茲曼系統(tǒng)。聯(lián)系：在滿足經(jīng)典極限條件ea>>1時，玻色（費米）系統(tǒng)中的近獨立粒子在平衡態(tài)依照玻耳茲曼分布。27、經(jīng)典能量均分定理的內(nèi)容是什么？舉出不滿足經(jīng)典能量均分定理的三種狀況。對于處在溫度為T的平衡狀態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，粒子能量中每一個平方項的平均值等于1kT。2（1）原子內(nèi)的電子對氣體的熱容量沒有貢獻。（2）雙原子分子的振動在常溫范圍內(nèi)對熱容量沒有貢獻。（3）低溫下氫的熱容量所得結(jié)果與實驗不符。28、為什么在熵和體積不變的狀況下，平衡態(tài)的內(nèi)能最小？由熱力學(xué)第二定律有：dUTdSpdV可得：當S、V不變時，即dS=0，dV=0。所以，dU0因此可知，在系統(tǒng)由非平衡態(tài)趨向平衡態(tài)的過程中，系統(tǒng)的內(nèi)能素來在減少dU0。當系統(tǒng)達到平衡時，dU=0，內(nèi)能取極小值。29、什么是熵增加原理？答：絕熱過程中系統(tǒng)的熵永不減少。對于可逆絕熱過程，系統(tǒng)的熵不變。對不能逆絕熱過程，系統(tǒng)的熵增加?；蚬铝⑾到y(tǒng)的熵永不減少，這個結(jié)論叫做熵增加原理。二、計算題1、已知粒子依照經(jīng)典玻耳茲曼分布分布，其能量表達式為：1px2p2ypz2ax2bx，其中a,b是粒子常量，求粒子的平均能2m量。解：應(yīng)用能量均分定理求粒子的平均能量時，需要注意所給能量表達式中ax2和bx兩項都是x的函數(shù)，不能夠直接將能量均分定理應(yīng)用于ax2項而得出ax21kT的結(jié)論。要經(jīng)過配方將2表達為1py2b2b2px2pz2ax4a2ma在上式中，僅第四項是x的函數(shù)，又是平方項。由能量均分定理知1py2pz2axb2b2b2b2px2a2kT4a2kT2m4a4a2、系統(tǒng)由N個無相互作用的線性諧振子組成.a)若其能量表達式為：px21kx22m2時，求系統(tǒng)的內(nèi)能；b)若其能量表達式為：解：a)由能均分定理

1n(n),n0,1,2時，求系統(tǒng)的內(nèi)能。UNkTb)UN,lnZ1,Z1nenn1111nZ1e2e2ene21nnelnZ11ln1e2lnZ1112e12e1U1NN12e談?wù)摚焊邷貥O限和低溫極限。3、試求雙原子分子理想氣體的振動熵。解：雙原子分子理想氣體的振動配分函數(shù)：Z1ven0

n

12

e2/1elnZ1vβωln1eβω2vvβvNkβω1ln1eβωSNklnZ1lnZ1eβωβ1vv1v引入vNkθNkln1eθ/T/k，得：STθT1ev三、證明題1、試證明一個平均物體在準靜態(tài)等壓過程中熵隨體積的增減取決于等壓下溫度隨體積的增減。證明：等壓過程中熵隨體積的變化率為：S，溫度隨體積VP的變化率為：TVP方法一：由雅可比行列式可得：S=S，P=S，PT，P=ST（1）VPV，PT，PV，PTPVPdQS可得：SCP（2）由CPTTPTdTTP將（2）式代入（1）式可得：SCPT證畢VPTVP由于：CP0，T0，所以：S的增減取決于T的增減。VVPP方法二：由SSP，VSP，TP，V可得：SSTCPTVP

TPVPTVP2、試證明，對于二維自由粒子，在長度L2內(nèi)，在到d的能量范圍內(nèi)，量子態(tài)數(shù)為Dd2L2md。h2明：于二自由粒子，在體元dxdydpxdpy內(nèi)的量子數(shù)：12dxdydpxdpy，h用極坐描述，二量空的體元pdpd。在面SL2內(nèi)，量大小在p到pdp范內(nèi)，量方向在到d范內(nèi)，二自由粒子的可能狀數(shù)：的dn

Sh2

dPxdPy

Sh2

PdPd

(s

－面

)P2只與P有關(guān)（P>0）,故分可得：2m2S2SP22mSD2mS2Ddh2PdPh2，m2dh2，(s=L)2mh3、明：(CV)TT(2p)V，(Cp)TT(2V)p，并由此出：VT2pT2CV0V2p；CpCp0p2V2)pdpCVT(2)VdVT(TTp0V0明：CVUTS???????????⑴TVTV以T,V狀參量，將上式求V的偏數(shù)，有CVT2ST2ST2p?????⑵VVTTVT2TV其中，第二步交了偏數(shù)的求次序，第三步用了麥氏關(guān)系，由理想氣體的物方程pVnRT知，在V不，p是T2p0，所以CV0。意味著，理想氣的性函數(shù)，即T2VVT體的定容容量可是溫度T的函數(shù)。在恒定溫度下將式⑵分，得CVCV0V2pTdV???????⑶V0T2V同理式（）：Cp2V?????????????⑷TT2pT以以T,p狀參量，將上式再求p的偏數(shù)，有Cp2S2S2V????????⑸TTTpTpTTpT2p其中，第二步交了偏數(shù)的求次序，第三步用了麥氏關(guān)系，由理想氣體的物方程pVnRT知，在p不，V是T2V0，所以Cp0。意味著，理想氣的性函數(shù)，即T2ppT體的定容容量可是溫度T的函數(shù)。在恒定溫度下將式⑵分，得CpCp0p2TVdpp0T2p4、氣柱的高度H，在重力中，明此氣柱的內(nèi)能和NmgHN(mgH)2emgHkT1容量UU00NkNkTmgHkT，CVCVmgHkT1)2kT21)(e(e明：假氣體是原子分子理想氣體。重力中分子的能量：1px2py2pz2mgz，粒子的配分函數(shù)：2mZ111(px2py2pz2)mgzh3e2mdxdydzdPXdPYdPZ1(2m3He1mgzdz1(2m311mgH)3)2dxdy3)2A(1eh0hmg其中dxd是y氣柱的截面積。氣柱的內(nèi)能為：UNlnZ13NkTNkTNmgHU0NkTNmgH1)β2(emgHkT1)(eβmgH式中U03NkT2mgH2kT氣體的熱容量為CVUC0VNkN(mgH)e1TmgHkT1)2kT2(e5、試求絕對零度下金屬電子氣體中電子的平均速率v。解：由εPF2T0K可得時電子的分布。2mf1，εμ0εFf0，εεFεFPF2其中εF是費米能級，PF是費米動量。2m由于在體積V內(nèi)，動量大小在P-PdP范圍內(nèi)的量子態(tài)數(shù)為：4V2P2dP，考慮到電子自旋在動量方向的投影有兩個h3可能值。8VPFPP2dP1PF403PF所以，動量的平均值為：P34h28VPF134PdPPF30h3由：Pmv可得，平均速率為：v3PF4m四、推論題1、設(shè)系統(tǒng)含有兩種粒子，其粒子數(shù)分別為N和N’.粒子間的相互作用很弱，可看作是近獨立的。假設(shè)粒子可分辨，處在一個個體量子態(tài)的粒子數(shù)不受限制。試證明，在平衡態(tài)下兩種粒子的最概然分布分別為：allel和allel。其中l(wèi)和l是兩種粒子的能級，l和l是能級簡并度。解：粒子A能級，粒子數(shù)分布：l——{al}——簡并度l粒子B能級，粒子數(shù)分布：l——{a’l}——簡并度l系統(tǒng)兩種粒子分布要滿足的條件為：alN，alNallallEllll分布al，對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為N!al1lal!ll分布al，對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為N!al2lal!ll則系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)為12上式表示：當?shù)谝活惲Ｗ拥姆植紴閧al}，而同時第二類粒子的分布為{a’l}時系統(tǒng)的微觀態(tài)數(shù)。在平衡下兩種粒子的最可幾分布是對應(yīng)于在限制條件

al

N，lal

N

all

all

E下使

ln

ln

1

2為極大的分布。利用l

l

l斯特林公式可得：lnln12NlnNallnalallnlNlnNallnalallnlllll由ln120，得ln12ln