NanjingUniversityofTechnology理論力學課堂教學軟件（11）理論力學第三篇動力學第11章動能定理及其應用第三篇

動力學第11章動能定理及其應用11.1力的功1、力的功的定義11.1力的功2、定軸轉動剛體上力的功、力偶的功3、內(nèi)力的功力Fi在點的軌跡上從M1點到M2點所作的功M2M1

力Fi的元功1、力的功的定義需要注意的是，一般情形下，元功并不是功函數(shù)的全微分，所以，一般不用dW表示元功，而是用W表示。W僅僅是Fi.dri的一種記號。11.1力的功由此得到了兩個常用的功的表達式:

重力的功

對于質點：重力的元功為M1M2Mmgz1z2Oxyz11.1力的功1、2

——彈簧在初始位置和最終位置的變形量。彈性力的元功r0——沿位矢方向的單位矢量彈性力作的功只與彈簧在初始和終止位置的變形量有關。11.1力的功彈性力的功

外力偶的功若力偶矩矢M與z軸平行，則M所作之功為若力偶矩矢M為任意矢量，則M所作之功為Mz——力偶矩矢M在z軸上的投影11.1力的功11.1力的功3、內(nèi)力的功

日常生活中，人的行走和奔跑是腿的肌肉內(nèi)力作功；彈簧力作功等等；摩擦力做功損耗能量。內(nèi)力作功的情形

剛體內(nèi)任何兩點間的距離始終保持不變，所以剛體的內(nèi)力所作功之和恒等于零。

剛體的內(nèi)力不作功理想約束：約束力不作功或約束力作功之和等于零的約束。理想約束力的功

1、不可伸長的柔性約束也是理想約束。2、光滑的固定支承面3、光滑的鉸鏈（軸承、光滑的活動鉸鏈支座、二力桿）11.1力的功4、純滾動時，摩擦力(約束力)不作功OC*FFN約束力為無功力的約束稱為理想約束C*

為瞬時速度中心，在這一瞬時C*點的速度為零。作用在C*點的摩擦力F所作元功為vO11.1力的功總結：

內(nèi)力不能改變質點系的動量和動量矩，但它可能改變質點系的能量；

外力能改變質點系的動量和動量矩，但不一定能改變其能量。

11.1力的功第11章動能定理及其應用

11.2質點與質點系的動能質點動能——（標量）質點系的動能——

動能是度量質點系整體運動的另一物理量。動能是正標量，其數(shù)值與速度的大小有關，但與速度的方向無關。

1、質點系的動能

11.2質點與質點系的動能

平移剛體的動能

剛體平移時的動能，相當于將剛體的質量集中于質心時的動能。剛體的動能2、剛體的動能

11.2質點與質點系的動能因為d·w＝vC

,于是得

平面運動剛體的動能等于隨質心平移的動能與繞質心轉動的動能的和。dwCP

平面運動剛體的動能

剛體的動能

11.2質點與質點系的動能CvC思考題：求均質圓盤在地面上作純滾動時的動能。剛體的動能

11.2質點與質點系的動能vABCII

為AB桿的瞬心解（法2）：剛體的動能

11.2質點與質點系的動能

11.3動能定理及其應用第11章動能定理及其應用1、質點系的動能定理2、動能定理的應用舉例

11.3動能定理及其應用對于質點系：——微分形式N稱為力的功率－單位時間內(nèi)該力所作的功。質點系的動能定理

11.3動能定理及其應用

——積分形式

所有可以作功的力－既包括外力，也包括內(nèi)力；既包括主動力，也包括約束力（理想約束除外）。

11.3動能定理及其應用2、動能定理的應用舉例

已知：

m

，R,f，

。圓盤初始靜止。求純滾動時盤心的加速度。CFNmgvCF解：對象：圓盤受力：如圖運動：平面運動方程：取系統(tǒng)為研究對象，假設圓盤中心向下產(chǎn)生位移

s時速度達到vc。s力的功：由動能定理得：解得：例題2

11.3動能定理及其應用例題2一長為l，質量密度為ρ的鏈條放置在光滑的水平桌面上，有長為b的一段懸掛下垂，如圖。初始鏈條靜止，在自重的作用下運動。求當末端滑離桌面時，鏈條的速度。解得解：鏈條在初始及終止兩狀態(tài)的動能分別為在運動過程中所有的力所作的功為由例題3例題3

11.3動能定理及其應用

均質圓輪A、B的質量均為m，半徑均為R，輪A沿斜面作純滾動，輪B作定軸轉動，B處摩擦不計。物塊C的質量也為m。A、B、C用無質量的繩相聯(lián)，繩相對B輪無滑動。系統(tǒng)初始為靜止狀態(tài)。試求：1．當物塊C下降高度為h時，輪A質心的速度以及輪B的角速度。2．系統(tǒng)運動時，物塊C的加速度。

例題4例題4

11.3動能定理及其應用解：對象：整個系統(tǒng)受力：如圖所示

運動：輪A作平面運動；輪B作定軸轉動；物塊C作平移。根據(jù)運動學補充關系

方程：1.系統(tǒng)的動能為：

例題4

11.3動能定理及其應用2.確定外力的功:3．應用動能定理的積分形式：

由此解出

輪A的重力和物塊C的重力分別作負功和正功。于是，系統(tǒng)外力的總功為

例題4

11.3動能定理及其應用4．確定系統(tǒng)運動時物塊C的加速度：物塊的加速度為

例題4

11.3動能定理及其應用力的功定義力Fi的元功力Fi在點的軌跡上從一點到另一點所作的功重力的功對于質點：對于質點系:彈性力的功上次課內(nèi)容小結

定軸轉動剛體上外力的功力偶的功剛體的內(nèi)力不作功理想約束力的功上次課內(nèi)容小結

動能質點系的動能剛體的動能

平移剛體的動能

定軸轉動剛體的動能

平面運動剛體的動能上次課內(nèi)容小結

動能定理及其應用對于質點系：勢能的概念機械能守恒定律上次課內(nèi)容小結

第10章動能定理及其應用

10.4勢能的概念機械能守恒定律及其應用1、有勢力和勢能2、機械能守恒定律

11.4勢能的概念機械能守恒定律及其應用有勢力和勢能有勢力（或保守力）：該種力所作之功僅與力作用點的初始位置和終止位置有關，而與其作用點所經(jīng)過的路徑無關。重力、彈性力等都具有這一特征，因而都是有勢力。

11.4勢能的概念機械能守恒定律及其應用1、有勢力和勢能

其中M0為勢能等于零的位置(點)，稱為零勢位置（零勢點）；M為所要考察的任意位置(點)。

勢能：質點系（質點）從某位置（點）運動到任選的零勢位置（零勢點）時，有勢力所作的功。

注意：1）對于同一個所考察的位置的勢能，將因零勢位置（零勢點）的不同而有不同的數(shù)值。注意：2）“零勢位置（零勢點）”與物理學中的“零勢點”的關系：物理學中的零勢點是針對質點的，零勢位置其實是組成質點系的每一個質點的零勢點的集合。例如，質點系在重力場中的零勢能位置是質點系中各質點在同一時刻的z坐標z10、z20、…、zn0、的集合。

因此，質點系在各質點的z坐標分別為z1、z2、…、zn、時的重力勢能為有勢力和勢能

10.4勢能的概念機械能守恒定律及其應用機械能：質點系在某瞬時動能和勢能的代數(shù)和。機械能守恒定律(theoremofconservationofmechanicalenergy)：當作用在系統(tǒng)上的力均為有勢力時，其機械能保持不變。2、機械能守恒定律

11.4勢能的概念機械能守恒定律及其應用第11章動能定理及其應用

11.5動力學普遍定理的綜合應用動力學普遍定理動量定理動能定理動量矩定理第三篇動力學動力學普遍定理的比較

動量定理、動量矩定理和動能定理都是描述質點系整體運動的變化與質點系所受的作用力之間的關系。整體運動的變化所受的作用力動量定理動能定理動量矩定理動量力(沖量)動量矩力矩動能力的功

動量定理、動量矩定理和動能定理都可以用于求解動力學的兩類基本問題。表達式

11.5動力學普遍定理的綜合應用矢量方程（外力）標量方程（內(nèi)外力）矢量方程（外力）2）求解約束力，宜采用質心運動定理或動量定理。1、當要求質點系的運動量（例如速度、加速度、角速度和角加速度）時，常先采用動能定理較好，因為它是標量方程易于求解。2、當要求作用在質點系上的力時，應根據(jù)問題選擇動量定理、質心運動定理或動量矩定理。3、動力學獨立方程數(shù)目小于未知數(shù)數(shù)目時，應用運動學和靜力學知識尋找補充方程。1）求解質點系的內(nèi)力時，不能以系統(tǒng)作為研究對象。動量定理、動量矩定理和動能定理的應用選擇

11.5動力學普遍定理的綜合應用例題5如圖所示，彈簧兩端各系重物A和B，放在光滑的水平面上。其中，重物A的質量為m1，重物B的質量為m2，彈簧原長為l0，剛性系數(shù)k。若將彈簧拉到l后，無初速地釋放。試求：彈簧回到原長時重物A和B的速度。AB

11.5動力學普遍定理的綜合應用例題5

解：對象：兩重物A和B組成的質點系運動：A和B均為沿水平面運動AB方程：由于重物A和B放在光滑的水平面上，則質點系在水平方向不受力，動量守恒，得到（1）

質點系動能為作用在質點系上力的功為則由質點系的動能定理，得到（2）

式（1）和式（2）聯(lián)立，求得重物A和B的速度為

11.5動力學普遍定理的綜合應用例題5

vAvB例題6如圖a所示，均質細桿長為l，質量為m，靜止直立于光滑的水平面上，當有微小的干擾時而倒下。

試求：桿剛與地面接觸時質心的加速度和地面的約束力。ACB(a)

11.5動力學普遍定理的綜合應用例題6

解：對象：均質桿AB受力：如圖運動：平面運動方程：CACBFAaCvAvCmg(b)如圖b所示，桿剛倒地時的動能為由速度瞬心法

故有由質點系動能定理

11.5動力學普遍定理的綜合應用例題6

CACBFAaCvAvCmg(b)兩邊對時間求導，并注意由質心運動定理得故得地面的約束力為得質心的加速度為

11.5動力學普遍定理的綜合應用例題6

均質圓輪A、B的質量均為m，半徑均為R，輪A沿斜面作純滾動，輪B作定軸轉動，B處摩擦不計。物塊C的質量也為m。A、B、C用無質量的繩相聯(lián)，繩相對B輪無滑動。系統(tǒng)初始為靜止狀態(tài)。試求：1．當物塊C下降高度為h時，輪A質心的速度以及輪B的角速度。2．系統(tǒng)運動時，物塊C的加速度。3．輪A、輪B之間的繩子拉力和B處的約束力；4．輪A與地面的接觸點處的摩擦力。

例題7

11.5動力學普遍定理的綜合應用例題7

解：1．當物塊C下降高度為h時，輪A質心的速度以及輪B的角速度。根據(jù)運動學分析，得到

方程：采用動能定理，系統(tǒng)的動能為對象：取輪A、B和物塊C組成的系統(tǒng)受力：三個物體重力如圖所示運動：注意到輪A作平面運動，輪B作定軸轉動，物塊C作平移。

11.5動力學普遍定理的綜合應用例題7

由動能定理的積分形式解得

輪A的重力和物塊C的重力分別作正功和負功。于是，系統(tǒng)外力的總功為

＃＃

11.5動力學普遍定理的綜合應用例題7

2．系統(tǒng)運動時物塊C的加速度。物塊的加速度為

11.5動力學普遍定理的綜合應用例題7

對象：取輪B和物塊C受力：如圖所示運動：輪B定軸轉動，物塊C平移方程：對點B應用動量矩定理

αB3．輪A、輪B之間的繩子拉力和B處的約束力

11.5動力學普遍定理的綜合應用例題7由此解得aB＃

11.5動力學普遍定理的綜合應用例題7

確定B處的約束力應用質心運動定理由此解得B處的約束力aB＃

11.5動力學普遍定理的綜合應用例題7

4．輪A與地面的接觸點處的摩擦力。對象：輪A受力：如圖所示運動：平面運動方程：應用相對質心的動量矩定理，得到注意到

于是，得到摩擦力

＃

11.5動力學普遍定理的綜合應用例題7

例題8

均質桿長為l，質量為m1，B端靠在光滑墻上，A端用鉸鏈與均質圓盤的質心相連。圓盤的質量為m2，半徑為R，放在粗糙的地面上，自圖示θ=45°時由靜止開始純滾動。試求：A點在初瞬時的加速度。

11.5動力學普遍定理的綜合應用例題8

解：（分析：此題解法仍不唯一。本例中只有保守力作功，故機械能守恒，用機械能守恒定律求解。）對象：桿AB和圓盤A受力：兩個物體所受重力如圖運動：兩者均作平面運動

11.5動力學普遍定理的綜合應用例題8

m2gm1g方程：考察初始位置和任意位置時的動能和勢能

由運動學知識取經(jīng)過輪心A的水平線為零勢位置，系統(tǒng)的勢能為

零勢點m2gm1g故

11.5動力學普遍定理的綜合應用例題8

根據(jù)機械能守恒定律，有

將上式對時間求一次導數(shù)

零勢點m1gm2g

11.5動力學普遍定理的綜合應用例題8

于是，點A在初瞬時的加速度為

注意到

初瞬時

11.5動力學普遍定理的綜合應用例題8

均質圓柱體A和B質量均為m，半徑均為r。圓柱A可繞固定軸O轉動。一繩繞在圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上。求B下落時，質心C點的加速度。摩擦不計。解（法1）：對象：圓柱體A受力：如圖運動：定軸轉動方程：根據(jù)定軸轉動的微分方程，得到aAFTmgFOxFOyOA例題9

11.5動力學普遍定理的綜合應用例題9其中aAFTmgFOxFOyOAF'TmgaBCDBaC對象：圓柱體B受力：如圖運動：B作平面運動方程：根據(jù)平面運動的微分方程有由運動學關系aD＝raA,，而由加速度合成定理有

11.5動力學普遍定理的綜合應用例題9解（法2）：對象：圓柱體A和B組成的質點系受力：如圖運動：A定軸轉動，B平面運動初始位置時系統(tǒng)的動能和勢能為：orACrmBgmAgFoxFoyωAωBvB方程：根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒定律，以輪心初始位置為零勢能點。圓柱體B下落h時，系統(tǒng)的動能和勢能為

11.5動力學普遍定理的綜合應用例題9orABrmBgmAgFoxFoyωAωBvB由基點法，可知則對O、C輪分別用動量矩定理和相對質心動量矩定理：

11.5動力學普遍定理的綜合應用例題9orABrmBgmAgFoxFoyωAωBvB則圓柱體A的角速度由機械能守恒定律得圓柱體B輪心的速度為上兩式兩邊分別對時間求導，又因為從而得圓柱體B輪心C的加速度aaB

11.5動力學普遍定理的綜合應用例題9第11章動能定理及其應用

11.6結論與討論動能定理在工程中的應用－功率方程運動學方程的重要性

11.6結論與討論動能定理在工程中的應用－功率方程根據(jù)動能定理的微分形式，可以得到其中P為功率。功率由下式計算

作用在轉動剛體上力的功率為

11.6結論與討論動能定理在工程中的應用－功率方程

工程上,機器的功率可分為三部分，即：輸入功率、輸出功率、損耗功率。其中輸出功率是對外作功的有用功率；而損耗功率是摩擦、熱能損耗等不可避免的無用功率。這樣，上述功率表達式可以改寫為

動能定理在工程中的應用－功率方程

11.6結論與討論

任何機器在工作時都需要從外界輸入功率，同時也不可避免的要消耗一些功率，消耗越少則機器性能越好。工程上，定義機械效率為

這是衡量機器性能的指標之一。若機器有多級（假設為n級）傳動，機械效率為

動能定理在工程中的應用－功率方程

11.6結論與討論運動學方程的重要性

在動量、動量矩、動能定理的應用中，運動學方程起著非常重要的作用。很多情形下，動力學關系非常容易得到，但運動學關系卻很復雜。

11.6結論與討論運動學方程的重要性

確定速度和角速度的方法

點的運動學分析方法——選擇合適的描述點的運動坐標系，寫出的運動方程或方程組，再將方程或方程組對時間求一次導數(shù)，即得點的速度。

點的復合運動分析方法——正確選擇動點和動系，確定牽連速度、相對速度和絕對速度。

剛體平面運動分析方法——建立在速度合成定理基礎上的基點法、速度投影法、瞬時速度中心法。本章作業(yè)

P215：11－2P215－217：11－4，11－5，11－13謝謝大家NanjingUniversityofTechnology附錄：

習題解答作業(yè)中存在的問題1、標注運動量。BjA11－2圖示滑塊A重力為W1，可在滑道內(nèi)滑動，與滑塊A用鉸鏈連接的是重力為W2、長為l的勻質桿AB。現(xiàn)已知道滑塊沿滑道的速度為v1，桿AB的角速度為w1。當桿與鉛垂線的夾角為j時，試求系統(tǒng)的動能。解：AB桿作平面運動，其質心C的速度為

速度合成矢量圖如圖。由余弦定理則系統(tǒng)的動能v1vCAvCv1wv1w1jBAl11－2附錄：

習題解答11－4圖示一重物A質量為m1，當其下降時，借一無重且不可伸長的繩索使?jié)L子C沿水平軌道滾動而不滑動。繩索跨過一不計質量的定滑輪D并繞在滑輪B上?；咮的半徑為R，與半徑為r的滾子C固結，兩者總質量為m2，其對O軸的回轉半徑為r。試求重物A的加速度。11－4附錄：

習題解答解：對象：滾子C、滑輪D、物塊A所組成的剛體系統(tǒng)；受力：物塊A重力如圖所示；運動：滾子C平面運動，滑輪D定軸轉動，重物A平移；方程：設系統(tǒng)在物塊下降任意距離h時的動能由運動學知識力作的功應用動能定理將上式對時間求導數(shù)求得物塊的加速度為vAwCvCm1g11－5附錄：

習題解答10－5圖示機構中，均質桿AB長為l，質量為2m，兩端分別與質量均為m的滑塊鉸接，兩光滑直槽相互垂直。設彈簧剛度為k，且當θ=0?時，彈簧為原長。若機構在θ=60?時無初速開始運動，試求當桿AB處于水平位置時的角速度和角加速度。其中：T=W；對上式求導：其中：11－5附錄：

習題解答10－10附錄：

習題解答11－10在圖示機構中，鼓輪B