第二節(jié)函數(shù)解析的充要條件一、主要定理二、典型例題三、小結(jié)與思考一、主要定理定理一u

v

,

u

v

.x

y

y

x方程

xf(u()y,z(),i)v

xy

定義在區(qū)域在

內(nèi)一點(diǎn)

xzfDyDi(可z,

導(dǎo))

的充要條與

(,)

(在,)x(點(diǎn)u,v)y,

xxyy

可微

并且在該—設(shè)函數(shù)內(nèi)則件是:點(diǎn)滿(mǎn)足介紹介紹證

(1)

必要性.設(shè)f

(z)

u(x,y)

iv(x,y)定義在區(qū)域D

內(nèi),且f

(z)在D內(nèi)一點(diǎn)z

x

yi

可導(dǎo),則對(duì)于充分小的z

x

iy

0,有

f

(

z

z)

f

(z)

f

(z)z

(z)z,其中l(wèi)im

(z)

0,z0令

f

(

z

z)

f

(z)

u

iv,f

(z)

a

ib,(z)

1

i2

,z0x0y0x0y0所以u(píng)

iv

(a

ib)

(x

iy)

(1

i2

)

(x

iy)

(ax

by

1x

2y)

i(bx

ay

2x

1y)于是u

ax

by

1x

2y,v

bx

ay

2x

1y.因?yàn)閘im

(z)

0,

所以

lim

1

lim

2

0,由此可知u(x,y)與v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微,u

v

,

u

v

.x

y

y

x且滿(mǎn)足方程(2)

充分性.f

(

z

z)

f

(z)

u(

x

x,

y

y)

u(

x,

y)

i[v(

x

x,

y

y)

v(

x,

y)]

u

iv,又因?yàn)閡(x,y)與v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微,由于1

2x

y于是

u

u

x

u

y

x

y,3

4x

yv

v

x

v

y

x

y,(k

1,2,3,4)x0y0其中

lim

k

0,因此

f

(

z

z)

f

(z)

4

i

)y.23

i

)x

(1

y

y

x

x

u

i

v

x

u

i

v

y

(由

－

方程f

(z

z)

f

(z)

x

x

4

i

)y.23

i

)x

(1

u

i

v

(x

iy)

(u

v

i

2

v

,y

x

xu

v

,x

yf

(z

z)

f

(z)

z241u

i

v

(x

x3z

i

)

y

.z

i

)

x

(zy

1,z因?yàn)?/p>

x

1,2

41

3z

z

z0

i

)

y

0,lim

(

i

)

x

(所以

f

(z)

lim

f

(z

z)

f

(z)

u

i

v

.z0z

x

x即函數(shù)f

(z)

u(x,y)

iv(x,y)在點(diǎn)z

x

yi

可導(dǎo).[證畢]根據(jù)定理一,可得函數(shù)f

(z)

u(x,y)

iv(x,y)在點(diǎn)z

x

yi

處的導(dǎo)數(shù)公式:f

(z)

x

i

xi

y在其定義(,)(,)

與xuvyxy

在方程.域

D內(nèi)解析的充要條件是:D內(nèi)可微,

并且滿(mǎn)足

－函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件定理二

函數(shù)

xf(u()y,z(),i)v

xy0解析函數(shù)的判定方法:如果能用求導(dǎo)公式與求導(dǎo)法則證實(shí)復(fù)變函數(shù)f

(z)的導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)處處存在,則可根據(jù)解析函數(shù)的定義斷定f

(z)在D內(nèi)是解析的.如果復(fù)變函數(shù)f

(z)

u

iv

中u,v

在D內(nèi)的各一階偏導(dǎo)數(shù)都存在、連續(xù)(因而u,v(x,y)可微)并滿(mǎn)足C

R

方程,那么根據(jù)解析函數(shù)的充要條件可以斷定f

(z)在D內(nèi)解析.二、典型例題例1

判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo),

在何處解析:(1)

w

z;

(2)

f

(z)

ex

(cos

y

i

sin

y);(3)

w

z

Re(z).(1)

w

z

,解

u

x,

v

y,yv

1u

u

v

x

y不滿(mǎn)足

－x方程,故

wz

在復(fù)平面內(nèi)處處不可導(dǎo),

處處不解析.u

ex

cos

y,

v

ex

sin

y,u

ex

cos

y,

u

ex

sin

y,x

yv

ex

sin

y,

v

ex

cos

y,u

v

.x

y

y

xu

v

,x

y即四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)故f

(z)在復(fù)平面內(nèi)處處可導(dǎo),處處解析.且

f

(z)

ex

(cos

y

i

sin

y)

f

(z).(2)

f

(z)

ex

(cos

y

i

sin

y)指數(shù)函數(shù)(3)

w

z

Re(z)

x2

xyi,u

x2

,

v

xy,v

y,

v

x.x

yu

2

x,

u

0,x

y四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)僅當(dāng)

x

y

時(shí),

滿(mǎn)0

足

－

方程,故函數(shù)w

z

Re(z)僅在z

0

處可導(dǎo),在復(fù)平面內(nèi)處處不解析.例2證明(1)

z

2;

(2)

sin

z

在復(fù)平面上不解析.證(1)

z

2

x2

y2

2xyi,u

x2

y2

,

v

2xy,u

2

x,

u

2

y,

v

2

y,

v

2

x.x

y—

方程,x

y僅當(dāng)

x

時(shí)0,滿(mǎn)足故函數(shù)w

z

2

僅在直線(xiàn)

x

0

上可導(dǎo),在復(fù)平面內(nèi)不解析.(2)

sin

z

sin

x

cosh

y

i

cos

x

sinh

y,u

sin

x

cosh

y,v

cos

x

sinh

y,xu

cos

x

cosh

y,v

cos

x

cosh

y,y(k

0,

1,

2,)時(shí),2僅當(dāng)x

k

u

v

.x

ysin

z

在復(fù)平面上不解析.例3

設(shè)

f

(

z)

x2

axy

by2

i(cx2

dxy

y2

),問(wèn)常數(shù)a,

b,

c,

d

取何值時(shí),

f

(

z)

在復(fù)平面內(nèi)處處解析?y解

u

2

x

ay,

u

ax

2by,x

yv

2cx

dy,

v

dx

2

y,u

v

,

u

v

,x欲使x

2cx

dy

ax

2by,x

y

y2

x

ay

dx

2

y,所求

a

2,

b

1,

c

1,

d

2.例4西－滿(mǎn)0

足)(

柯xy

在點(diǎn)z

證證明函數(shù)

zf

方程但在點(diǎn)z

因?yàn)?/p>

f

(z)

xy

,不可導(dǎo).0所以

u

xy

,v

0,x0xyx

0

y

uy

0u

0),(0lim

uy0yxu

(0,0)

lim

u(

x,0)

u(0,0)

0

v

(0,0),0)

0

v

(0,0),成立0.—

方程在點(diǎn)z

但當(dāng)z

沿第一象限內(nèi)的射線(xiàn)y

kx

趨于零時(shí),z

0f

(z)

f

(0)

xykx

iy

1

ik,

隨k

變化,故

lim

f

(z)

f

(0)

不存在,z

0z0函數(shù)

f

(

z)

xy

在點(diǎn)z

0

不可導(dǎo).例5解析,并且v

u2

,求f

(z).設(shè)f

(z)

u(x,y)

iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解(1)u

v

2u

u

,x

y

yu

v

2u

u

,

(2)y

x

x將(2)代入(1)得x由

(4u2

1)

0

u

0,xu

(4u2

1)

0,y由(2)得u

0,所以u(píng)

c

(常數(shù)),(常數(shù)).于是

f

(z)

c

ic

2課堂練習(xí)函數(shù),試確定l,m,n的值.設(shè)my3

nx2

y

i(x3

lxy2

)為解析答案l

n

3,

m

1.例6如果f

(z

)在區(qū)域D內(nèi)處處為零,則f

(z

)在區(qū)域D內(nèi)為一常數(shù).證

f

(z)

u

i

v

v

i

u

0,x

x

y

yu

v

u

v

0,x

y

y

x故所以u(píng)

常數(shù),v

常數(shù),因此f

(z)在區(qū)域D內(nèi)為一常數(shù).參照以上例題可進(jìn)一步證明:如果f

(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,則以下條件彼此等價(jià).(2)

f

(z)

0;(1)

f

(z)

恒取實(shí)值;(3)

f

(z)

常數(shù);(4)f

(z)解析;(5)Re[f

(z)]

常數(shù);(6)Im[f

(z)]

常數(shù);(7)

v

u2;(8)

arg

f

(z)

常數(shù).例7

設(shè)f

(z)

u

iv

為一解析函數(shù),且f

(z)

0,那末曲線(xiàn)族u(x,y)

c1

與v(x,y)

c2

必相互正交,其中c1

,c2

為常數(shù).證因?yàn)?/p>

f

(z)

v

1

u

0,y i

y所以v

與u

不全為零,y

y如果在曲線(xiàn)的交點(diǎn)處v

與u

都不為零,y

y根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則,曲線(xiàn)族u(x,y)

c1

與v(x,y)

c2

中任一條曲21線(xiàn)的斜率分別為

k

yxyxvuu

v,

k

,根據(jù)

－

方程得

y

u

v

ux

vx

k1

k2

y

1,

y

y

u

vv

y

uy

故曲線(xiàn)族u

x

y

c1

與v

x

y

(,c)2

(相,.

)互正交如果uy

和vy

中有一個(gè)為零,則另一個(gè)必不為零,兩族中的曲線(xiàn)在交點(diǎn)處的切線(xiàn)一條是水平的,另一條是鉛直的,它們?nèi)匀幌嗷フ?例8z

0

滿(mǎn)足Im

z

2

的實(shí)、虛部在點(diǎn)證明函數(shù)f

(z)證因?yàn)?/p>

f

(z)

2

xy

,

所以

u

2

xy

,

v

0,x0xyx

0

y

uy

0u

0),(0lim

uy0yxu

(0,0)

lim

u(

x,0)

u(0,0)

0

v

(0,0),0)

0

v

(0,0),成立0.—

方程在點(diǎn)z

26但在點(diǎn)z

0,zx

iy2xyf

(z)