三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)環(huán)節(jié)三正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（二）確定方案問題1

對于函數(shù)，我們一般要研究哪些性質(zhì)？如何研究？上節(jié)課我們已經(jīng)研究了正、余弦函數(shù)的周期性和奇偶性，那么，對它們其他的性質(zhì)又該如何研究？答案：對于函數(shù)，我們一般要研究奇偶性、單調(diào)性、最大（小）值等．研究函數(shù)性質(zhì)一般有兩種方法：一種方法是先通過觀察圖象得到性質(zhì)，然后再進行代數(shù)證明；另一種是直接由解析式推導函數(shù)的性質(zhì)．上節(jié)課已經(jīng)研究了正、余弦函數(shù)的周期性，由此，可以先研究它們一個周期上的性質(zhì)，再利用周期性，將性質(zhì)擴展到整個定義域．新知探究1．探究性質(zhì)問題2

觀察正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象，完成下面的表格．正弦函數(shù)余弦函數(shù)定義域

周期

奇偶性

對稱軸

對稱中心

單調(diào)遞增區(qū)間

單調(diào)遞減區(qū)間

最大值點

最小值點

值域

1．探究性質(zhì)追問1正弦函數(shù)y＝sinx是奇函數(shù)，所以點（0，0）是它的對稱中心．除此之外，它還有哪些對稱中心、對稱軸？請寫出它所有的對稱中心和對稱軸．請選擇一個對稱中心和一條對稱軸，試著利用代數(shù)方法進行證明．余弦函數(shù)呢？新知探究答案：

點(kπ，0)，k∈Z是正弦函數(shù)y＝sinx的對稱中心；直線x＝

+kπ，k∈Z是正弦函數(shù)y＝sinx的對稱軸．下面證明點（π，0）也是正弦函數(shù)y＝sinx的對稱中心．證明：因為對任意的x∈R，都有sin(π+x)=－sinx，sin(π－x)=sinx，所以sin(π+x)=－sin(π－x)，所以點（π，0）也是正弦函數(shù)y＝sinx的對稱中心．1．探究性質(zhì)新知探究下面證明直線x＝

是正弦函數(shù)y＝sinx的對稱軸．證明：因為對任意的x∈R，都有sin(

+x)=cosx，sin(

－x)=cosx，所以sin(

+x)=sin(

－x)，所以直線x＝

是正弦函數(shù)y＝sinx的對稱軸．1．探究性質(zhì)新知探究

追問2觀察正弦曲線，逐一列舉正弦函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間，它們與區(qū)間[－

，

]之間有怎樣的關(guān)系？試著表示正弦函數(shù)所有的單調(diào)遞增區(qū)間．類比這一過程，你能分別寫出正弦函數(shù)的所有單調(diào)遞減區(qū)間以及余弦函數(shù)的單調(diào)性嗎？答案：單調(diào)遞增區(qū)間與區(qū)間[－

，]之間間隔2π的整數(shù)倍，所以正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間[－

+2kπ，

+2kπ]（k∈Z）上都單調(diào)遞增．同理，正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間[

+2kπ，+2kπ]（k∈Z）上都單調(diào)遞減．余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間[(2k－1)π，2kπ]（k∈Z）上單調(diào)遞增；在每一個閉區(qū)間[2kπ，(2k+1)π]（k∈Z）上單調(diào)遞減．1．探究性質(zhì)新知探究

追問3教科書分別選擇了哪個區(qū)間研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性？為什么？答案：正弦函數(shù)選擇的區(qū)間為[－

，

]，原因主要有兩個：①這個區(qū)間上是完整的一個單調(diào)遞增區(qū)間和一個單調(diào)遞減區(qū)間．如果選擇區(qū)間[0，2π]，那么單調(diào)遞增區(qū)間將被分為兩部分，不利于表示和研究．②具備條件①的區(qū)間中，這個區(qū)間距離原點最近，我們相對更熟悉．余弦函數(shù)選擇的區(qū)間為[－π，π]，理由同上．1．探究性質(zhì)新知探究鑒于以上的分析，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)概括如下：正弦函數(shù)余弦函數(shù)定義域RR周期2π2π奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)對稱軸x＝+kπ，k∈Zx＝kπ，k∈Z對稱中心(kπ，0)，k∈Z(+kπ，0)，k∈Z單調(diào)遞增區(qū)間[－+2kπ，+2kπ]，k∈Z[(2k－1)π，2kπ]，k∈Z單調(diào)遞減區(qū)間[+2kπ，+2kπ]，k∈Z[2kπ，(2k+1)π]，k∈Z最大值點x＝+2kπ，k∈Zx＝2kπ，k∈Z最小值點x＝－+2kπ，k∈Zx＝(2k－1)π，k∈Z值域[－1，1][－1，1]2．應(yīng)用性質(zhì)新知探究

例1下列函數(shù)有最大值、最小值嗎？如果有，請寫出取最大值、最小值時的自變量x的集合，并說出最大值、最小值分別是什么．（1）y＝cosx+1，x∈R；（2）y＝－3sin2x，x∈R．

追問如何轉(zhuǎn)化為你熟悉的函數(shù)求解？

答案：通過換元法將問題轉(zhuǎn)化為y＝cosx或者y＝sinx的性質(zhì)問題．2．應(yīng)用性質(zhì)新知探究

使函數(shù)y＝cosx+1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函數(shù)y＝cosx，x∈R取得最小值的x的集合｛x｜x＝2kπ+π，k∈Z｝；函數(shù)y＝cosx+1，x∈R的最大值是1＋1＝2；最小值是－1＋1＝0．

解：容易知道，這兩個函數(shù)都有最大值、最小值．

（1）使函數(shù)y＝cosx+1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函數(shù)y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝；2．應(yīng)用性質(zhì)新知探究（2）令z＝2x，使函數(shù)y＝－3sin2x，x∈R取得最大值的x的集合，就是使y＝sinz，z∈R取得最小值的z的集合｛z｜z＝－

+2kπ，k∈Z｝．由2x＝z＝－

+2kπ，得x＝－

+kπ．所以，y＝－3sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝－

+kπ，k∈Z｝．同理，使函數(shù)y＝－3sin2x，x∈R取得最小值的x的集合是｛x｜x＝

+kπ，k∈Z｝．函數(shù)y＝－3sin2x，x∈R的最大值是3，最小值是－3．2．應(yīng)用性質(zhì)新知探究例2不通過求值，比較下列各數(shù)的大?。海?）sin（－

）與sin（－

）；（2）cos（－

）與cos（－

）．追問比較大小的依據(jù)是什么？答案：比較大小的依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性．對于（1），可直接應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求解；對于（2），首先要將所給的角化簡，使之位于同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，即轉(zhuǎn)化為第（1）題之后求解．2．應(yīng)用性質(zhì)新知探究解：（1）因為－

＜－

＜－

＜0，正弦函數(shù)y＝sinx在區(qū)間[－

，0]上單調(diào)遞增，所以sin（－

）<sin（－

）．

（2）cos（－

）=cos

=cos

，

cos（－

）=cos

=cos

，

且余弦函數(shù)在區(qū)間［0，π］上單調(diào)遞減，所以cos

＞cos

，即cos（－

）cos（－

）．你能借助單位圓直觀地比較上述兩對函數(shù)值的大小嗎？試一試．新知探究2．應(yīng)用性質(zhì)追問如何轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)求解？答案：通過換元將問題轉(zhuǎn)化為y＝cosx或者y＝sinx的單調(diào)性問題，然后求解．例3求函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間．解：令

，則

．

因為

的單調(diào)遞增區(qū)間是

，且由

得

，所以，函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間是

．新知探究2．應(yīng)用性質(zhì)變式：求函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間．解：令

，則

．

因為

的單調(diào)遞增區(qū)間是

，且由

，得

，

所以，函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間是

．歸納小結(jié)問題3

回顧本節(jié)的學習內(nèi)容，回答下面的問題：（1）你對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有了哪些新的認識？對于如何研究一個函數(shù)又有了哪些新的體會？（2）你