2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓內(nèi)有一條以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦，則直線的方程為()A． B．C． D．2．在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)．甲：我的成績(jī)比乙高．乙：丙的成績(jī)比我和甲的都高．丙：我的成績(jī)比乙高．成績(jī)公布后，三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)锳．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙3．下列函數(shù)中，圖象關(guān)于軸對(duì)稱的為（）A． B．，C． D．4．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．23 B．25 C．28 D．295．連接雙曲線及的4個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為，連接4個(gè)焦點(diǎn)的四邊形的面積為，則當(dāng)取得最大值時(shí)，雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．6．若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足，則公比（）A．1 B．2 C．3 D．47．音樂(lè)，是用聲音來(lái)展現(xiàn)美，給人以聽(tīng)覺(jué)上的享受，熔鑄人們的美學(xué)趣味．著名數(shù)學(xué)家傅立葉研究了樂(lè)聲的本質(zhì)，他證明了所有的樂(lè)聲都能用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)描述，它們是一些形如的簡(jiǎn)單正弦函數(shù)的和，其中頻率最低的一項(xiàng)是基本音，其余的為泛音．由樂(lè)聲的數(shù)學(xué)表達(dá)式可知，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍，稱為基本音的諧波．下列函數(shù)中不能與函數(shù)構(gòu)成樂(lè)音的是（）A． B． C． D．8．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是C． D．9．如圖所示，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若，則等于（）．A． B． C． D．10．若雙曲線：（）的一個(gè)焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則的方程為（）A． B． C． D．11．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A． B． C． D．12．正四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，它的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，則它的外接球的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，為虛數(shù)單位，且，則=_____.14．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載“今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？”設(shè)人數(shù)、物價(jià)分別為、，滿足，則_____，_____．15．在平行四邊形中，已知，，，若，，則____________．16．已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,,若函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)為,則_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為直線垂直于軸，垂足為，與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，且過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)且.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的取值范圍.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，為實(shí)數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線與曲線交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．（1）求線段長(zhǎng)的最小值；（2）求點(diǎn)的軌跡方程．19．（12分）設(shè)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).（1）若，證明在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；（2）在上恒成立，求的取值范圍.20．（12分）已知拋物線的準(zhǔn)線過(guò)橢圓C：（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F，且點(diǎn)F到直線l：（c為橢圓焦距的一半）的距離為4.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)F做直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，P是AB的中點(diǎn)，線段AB的中垂線交直線l于點(diǎn)Q.若，求直線AB的方程.21．（12分）2019年6月，國(guó)內(nèi)的運(yùn)營(yíng)牌照開(kāi)始發(fā)放.從到，我們國(guó)家的移動(dòng)通信業(yè)務(wù)用了不到20年的時(shí)間，完成了技術(shù)上的飛躍，躋身世界先進(jìn)水平.為了解高校學(xué)生對(duì)的消費(fèi)意愿，2019年8月，從某地在校大學(xué)生中隨機(jī)抽取了1000人進(jìn)行調(diào)查，樣本中各類用戶分布情況如下：用戶分類預(yù)計(jì)升級(jí)到的時(shí)段人數(shù)早期體驗(yàn)用戶2019年8月至2019年12月270人中期跟隨用戶2020年1月至2021年12月530人后期用戶2022年1月及以后200人我們將大學(xué)生升級(jí)時(shí)間的早晚與大學(xué)生愿意為套餐支付更多的費(fèi)用作比較，可得出下圖的關(guān)系（例如早期體驗(yàn)用戶中愿意為套餐多支付5元的人數(shù)占所有早期體驗(yàn)用戶的）.（1）從該地高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生愿意在2021年或2021年之前升級(jí)到的概率；（2）從樣本的早期體驗(yàn)用戶和中期跟隨用戶中各隨機(jī)抽取1人，以表示這2人中愿意為升級(jí)多支付10元或10元以上的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）2019年底，從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人，這三位學(xué)生都已簽約套餐，能否認(rèn)為樣本中早期體驗(yàn)用戶的人數(shù)有變化？說(shuō)明理由.22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

設(shè)，，則，，相減得到，解得答案.【詳解】設(shè)，，設(shè)直線斜率為，則，，相減得到：，的中點(diǎn)為，即，故，直線的方程為：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓內(nèi)點(diǎn)差法求直線方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.2．A【解析】

利用逐一驗(yàn)證的方法進(jìn)行求解.【詳解】若甲預(yù)測(cè)正確，則乙、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則甲比乙成績(jī)高，丙比乙成績(jī)低，故3人成績(jī)由高到低依次為甲，乙，丙；若乙預(yù)測(cè)正確，則丙預(yù)測(cè)也正確，不符合題意；若丙預(yù)測(cè)正確，則甲必預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，丙比乙的成績(jī)高，乙比甲成績(jī)高，即丙比甲，乙成績(jī)都高，即乙預(yù)測(cè)正確，不符合題意，故選A．【點(diǎn)睛】本題將數(shù)學(xué)知識(shí)與時(shí)政結(jié)合，主要考查推理判斷能力．題目有一定難度，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查．3．D【解析】

圖象關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù),用偶函數(shù)的定義及性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷可解.【詳解】圖象關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)為偶函數(shù)；A中，，，故為奇函數(shù)；B中，的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為非奇非偶函數(shù)；C中，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，為奇函數(shù)；D中，且，，故為偶函數(shù).故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查判斷函數(shù)奇偶性.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法:(1)定義法：對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)都有，則函數(shù)是奇函數(shù)；都有，則函數(shù)是偶函數(shù)(2)圖象法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)(軸)對(duì)稱．4．D【解析】

由可求，再求公差，再求解即可.【詳解】解：是等差數(shù)列，又，公差為，，故選：D【點(diǎn)睛】考查等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、運(yùn)算求解能力和推理論證能力，是基礎(chǔ)題.5．D【解析】

先求出四個(gè)頂點(diǎn)、四個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)菱形，求出菱形的面積，四個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正方形，求出其面積，利用重要不等式求得取得最大值時(shí)有，從而求得其離心率.【詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，四個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，四個(gè)頂點(diǎn)形成的四邊形的面積，四個(gè)焦點(diǎn)連線形成的四邊形的面積，所以，當(dāng)取得最大值時(shí)有，，離心率，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有共軛雙曲線的頂點(diǎn)，焦點(diǎn)，菱形面積公式，重要不等式求最值，等軸雙曲線的離心率，屬于簡(jiǎn)單題目.6．C【解析】

由正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，即，又，即，運(yùn)算即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，又，所以，又，解?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列基本量的求法，屬基礎(chǔ)題.7．C【解析】

由基本音的諧波的定義可得,利用可得,即可判斷選項(xiàng).【詳解】由題,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數(shù)倍,稱為基本音的諧波,由,可知若,則必有,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的周期與頻率,考查理解分析能力.8．D【解析】

首先求得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)除法運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由題意知復(fù)數(shù)，則，所以A選項(xiàng)不正確；復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是，所以B選項(xiàng)不正確；，所以C選項(xiàng)不正確；，所以D選項(xiàng)正確.故選：D【點(diǎn)睛】本小題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)的模，復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)；考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力，數(shù)形結(jié)合思想.9．A【解析】

由平面向量基本定理，化簡(jiǎn)得，所以，即可求解，得到答案．【詳解】由平面向量基本定理，化簡(jiǎn)，所以，即，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，其中解答熟記平面向量的基本定理，化簡(jiǎn)得到是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，數(shù)基礎(chǔ)題．10．D【解析】

求出直線的斜率和方程，代入雙曲線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合焦點(diǎn)的坐標(biāo)，可得的方程組，求得的值，即可得到答案.【詳解】由題意，直線的斜率為，可得直線的方程為，把直線的方程代入雙曲線，可得，設(shè)，則，由的中點(diǎn)為，可得，解答，又由，即，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，其中解答中屬于運(yùn)用雙曲線的焦點(diǎn)和聯(lián)立方程組，合理利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.11．A【解析】

將點(diǎn)代入解析式確定參數(shù)值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率，即可由點(diǎn)斜式求的切線方程.【詳解】曲線，即，當(dāng)時(shí)，代入可得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，求得導(dǎo)函數(shù)可得，由導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，由點(diǎn)斜式可得切線方程為，即，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在曲線上一點(diǎn)的切線方程求法，屬于基礎(chǔ)題.12．C【解析】

如圖所示，在平面的投影為正方形的中心，故球心在上，計(jì)算長(zhǎng)度，設(shè)球半徑為，則，解得，得到答案.【詳解】如圖所示：在平面的投影為正方形的中心，故球心在上，，故，，設(shè)球半徑為，則，解得，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐的外接球問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．4【解析】

解：利用復(fù)數(shù)相等，可知由有．14．【解析】

利用已知條件，通過(guò)求解方程組即可得到結(jié)果．【詳解】設(shè)人數(shù)、物價(jià)分別為、，滿足，解得，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，方程組的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．【解析】

設(shè)，則，得到，，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解．【詳解】由題意，如圖所示，設(shè)，則，又由，，所以為的中點(diǎn)，為的三等分點(diǎn)，則，，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的共線定理以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中解答中熟記向量的線性運(yùn)算法則，以及向量的共線定理和向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．16．4038.【解析】

由函數(shù)圖象的對(duì)稱性得：函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，,即，得解．【詳解】由知：得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱則函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱則故，即本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性來(lái)求值的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)函數(shù)解析式判斷出函數(shù)的對(duì)稱中心，屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）；（2）.【解析】

（1）設(shè)出的坐標(biāo)，代入，結(jié)合在拋物線上，求得兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo).（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，結(jié)合，求得的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【詳解】（1）可知，設(shè)則，又，所以解得所以.（2）據(jù)題意，直線的斜率必不為所以設(shè)將直線方程代入橢圓的方程中，整理得，設(shè)則①②因?yàn)樗郧覍ⅱ偈狡椒匠寓谑降盟杂纸獾糜?，所以令，則所以【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量模的坐標(biāo)運(yùn)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.18．（1）（2）【解析】

（1）將曲線的方程化成直角坐標(biāo)方程為，當(dāng)時(shí)，線段取得最小值，利用幾何法求弦長(zhǎng)即可.（2）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，設(shè)，由利用向量的數(shù)量積等于可求解，最后驗(yàn)證當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)也滿足.【詳解】解曲線的方程化成直角坐標(biāo)方程為即圓心，半徑，曲線為過(guò)定點(diǎn)的直線，易知在圓內(nèi)，當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)最小為當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，設(shè)，化簡(jiǎn)得當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，也滿足上式，故點(diǎn)的軌跡方程為【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)與普通方程的互化、直線與圓的位置關(guān)系、列方程求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題.19．（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】

（1）先利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式求出，再由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，可知在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn)；（2）由題意可將轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論研究其在上的單調(diào)性，由，即可求出的取值范圍．【詳解】（1）若，則，，設(shè)，則，，，故函數(shù)是奇函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，，這時(shí)，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，.綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.又，，故在區(qū)間上恒成立，所以在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).（2），由，所以恒成立，若，則，設(shè)，.故當(dāng)時(shí)，，又，所以當(dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，有，與條件矛盾，舍去；當(dāng)時(shí)，令，則，又，故在區(qū)間上有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)，設(shè)最小的零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增.，所以.于是，當(dāng)時(shí)，，得，與條件矛盾.故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和導(dǎo)數(shù)公式的應(yīng)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，涉及分類討論思想和放縮法的應(yīng)用，難度較大，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，屬于較難題．20．（1）；（2）或.【解析】

（1）由拋物線的準(zhǔn)線方程求出的值，確定左焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由點(diǎn)F到直線l：的距離為4，求出即可；（2）設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用根與系數(shù)關(guān)系和弦長(zhǎng)公式，以及兩直線垂直的條件和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得到所求直線的方程.【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線方程為，，直線，點(diǎn)F到直線l的距離為，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）依題意斜率不為0，又過(guò)點(diǎn)，設(shè)方程為，聯(lián)立，消去得，，，設(shè)，，，，線段AB的中垂線交直線l于點(diǎn)Q，所以橫坐標(biāo)為3，，，，平方整理得，解得或（舍去），，所求的直線方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系，要熟練應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系、相交弦長(zhǎng)公式，合理運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.21．（1）（2）詳見(jiàn)解析（3）事件雖然發(fā)生概率小，但是發(fā)生可能性為0.02，所以認(rèn)為早期體驗(yàn)用戶沒(méi)有發(fā)生變化，詳見(jiàn)解析【解析】

（1）由從高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生在2021年或2021年之前升級(jí)到，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解；（2）由題意的所有可能值為，利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式，分別求得相應(yīng)的概率，得到隨機(jī)變量的分布列，利用期望的公式，即可求解.（3）設(shè)事件為“從這1000人的樣本中隨機(jī)抽取3人，這三位學(xué)生都已簽約套餐”，得到七概率為，即可得到結(jié)論.【詳解】（1）由題意可知，從高校大學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生在2021年